1、1.5.3 定积分的概念 求曲线求曲线y=f(x)y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法对应的曲边梯形面积的方法 xiy=f(x)x yObaxi+1xix(1)(1)分割分割: : 在区间在区间a,ba,b上等间隔地插入上等间隔地插入n-1n-1个点个点, ,将将它等分成它等分成n n个小区间个小区间: : 每个小区间宽度每个小区间宽度x x 11211,iina xx xxxxb.ban(2)(2)取近似求和取近似求和: : 任取任取xixixi-1, xixi-1, xi，第第i i个小曲边梯形的面积个小曲边梯形的面积用高为用高为f(xi)f(xi)而宽为而宽为x x的的小矩形面积小矩形面
2、积 f(xi) f(xi) x x近近似之似之. .xiy=f(x)x yObaxi+1xi x取取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：的近似值：1( ).niiSfxx(3)(3)取极限取极限: :所求曲边梯形的面积所求曲边梯形的面积S S为为xiy=f(x)x yObaxi+1xi x1lim( ).niniSfxx1.1.定积分的计算和简单应用定积分的计算和简单应用.(.(重点重点) ) 2.2.利用定积分求平面区域围成的面积利用定积分求平面区域围成的面积. (. (难点难点) )探究点探究点1 1 定积分的定义定积分的定义 从求曲边梯形面积从求
3、曲边梯形面积S S的过程中可以看出的过程中可以看出, , 通过以通过以下四步下四步: : 分割分割近似代替近似代替求和求和取极限得到解取极限得到解决决. . 0111limlim.nniixniiSfxfnxx 曲曲边边梯梯形形面面积积11 ( )( ) nniiiibafxfnxx i-1iii-1ii 将将区区间间a,ba,b等等分分成成n n个个小小区区间间，在在每每个个小小区区间间x,x x,x 上上任任取取一一点点(i=1,2,.,n),(i=1,2,.,n),作作和和式式011iinaxxxxxb如如果果函函数数f(x)f(x)在在区区间间a,ba,b上上连连续续，用用分分点点定积
4、分的定义定积分的定义 0111limlim.nniitniisvtvnxx 变变速速运运动动的的路路程程1( )lim( ).nbianibaf x dxfnx即即( ) , ( )banf xa bf x dx 当当时时，上上述述和和式式无无限限接接近近某某个个常常数数，这这个个常常数数叫叫做做函函数数在在区区间间上上的的定定积积分分，记记作作 , ()(aba bff x dxxx 这这里里， 和和 分分别别叫叫做做积积分分下下限限和和积积分分上上限限, ,区区间间叫叫做做积积分分区区间间，函函数数叫叫做做被被积积函函数数，叫叫做做积积分分变变量量，叫叫做做被被积积式式. .定积分的定义的
5、理解定积分的定义的理解: : 定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分号，叫做积分号， f(x) 叫做被积函数，叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积式，叫做被积式， x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b 叫做积分区间叫做积分区间.Oabxy)(xfy 1( )lim( ).nbianibaf x dxfnx被积函数被积函数被积式被积式积分变量积分变量积分下限积分下限积分上限积分上限1( )lim( ).nbianibaf x dxfnx【规律总结】用定义法求积分的步骤【规律总结】用定义法求积分的步骤(1)(1)分
6、割：将积分区间分割：将积分区间a,ba,bn n等分等分. .(2)(2)近似代替：取点近似代替：取点iixi-1,xixi-1,xi，可取，可取i=xi-1i=xi-1或或者者i=xi.i=xi.(3)(3)求和：求和：(4)(4)求极限：求极限： nii 1baf.nx nbiaxi 1baf x dxlimf.nx【变式训练】【变式训练】利用定积分的定义计算利用定积分的定义计算 的值的值. .【解析】把区间【解析】把区间1,21,2分成分成n n等份等份, ,每个小区间的长度为每个小区间的长度为在在xixi1,xi= 1,xi= 上取上取i=xii=xi1= 1= 所以所以f(i)=f(
7、i)=作积求和作积求和所以所以21x1 dx1x,n i1i1,1nni11(i1,2,n),ni1i11 12.nn nnii 1i 1i1 15n 1f() x(2)nn2nx ，21n5n 15x1 dxlim.2n2探究点探究点 2 定积分定积分( )baf x dx的几何意义：的几何意义： 如果在区间如果在区间a,b上函数上函数 f(x)连续且恒有连续且恒有 f(x) )0,0, 那么定积分那么定积分( )baf x dx表示表示 由直线由直线 x=a,x=b,y=0 和曲线和曲线 y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积. Ox yab yf (x)思考：试用定积
8、分的几何意义说明思考：试用定积分的几何意义说明【提示】【提示】x=0,x=2, y=0, x=0,x=2, y=0, 围成图形的面积围成图形的面积24yxab yf (x)Ox y( )yg xab yf (x)Ox y1()baSfx dx( )yg x12( )( )bbaaSSSf x dxg x dx2( )baSg x dx探究点探究点3 3 用定积分表示图中阴影部分的面积用定积分表示图中阴影部分的面积定积分可能是负值吗？定积分可能是负值吗？013dxx根据定义计算根据定义计算结论：定积分可以为负值，结论：定积分可以为负值，ba11( )lim( )lim( )nniinniibab
9、af x dxffnnxx当当, 0)(xf总有总有,0)(ifx此时，此时，ba( )f x dx为负值为负值变式训练：变式训练： 当当f(x)f(x)0 0时，定积分时，定积分 的几何意义：的几何意义： baf (x)dx，即013dxx-11表示表示103dxx的相反数的相反数即即103013dxxdxxx yO 当当f(x)f(x)0 0时，由时，由y yf (x)f (x)、x xa a、x xb b 与与 x x 轴所围成的曲边梯形位于轴所围成的曲边梯形位于 x x 轴的下方，轴的下方，dxxfSba)( ab yf (x) yf (x)dxxfSba)(baf (x)dx f (
10、x)dxf (x)dx。 Sdxxfba)( ( ).baf x dxS在几何上在几何上积分积分dxxfba)( 表表示示上上述述曲曲边边梯梯形形面面积积的的负负值值. .设物体运动的速度设物体运动的速度v=v(t)v=v(t)，则此物体在时间区间，则此物体在时间区间a, ba, b内运动的距离内运动的距离s s为为 sbav(t)dt。 对速度求定积分物理意义：对速度求定积分物理意义：Oab( )vv ttv定积分的几何意义定积分的几何意义 表示各部分面积的代数和表示各部分面积的代数和abyf (x)S1S2S3321)(SSSxfba【拓展延伸】【拓展延伸】1.1.用定积分表示图中四个阴影
11、部分面积用定积分表示图中四个阴影部分面积20图图积积解解：数数连连续续积积义义阴阴积积为为aAx dx2 2（1 1）在在中中，被被函函f f( (x x) )= = x x 在在 0 0，a a 上上，且且f f( (x x) ) 0 0, ,根根据据定定分分的的几几何何意意，可可得得影影部部分分的的面面0ayxf(x)=x2【变式训练】【变式训练】2 22222-1-1（2）2）在在中中，被被函函f(x)= x 在f(x)= x 在-1，-1，22上上，且且f(x) 0,根f(x) 0,根据据定定分分的的几几何何意意，可可得得影影部部分分的的面面A =x dxA =x dx图图积积数数连连
12、续续积积义义阴阴积积为为0 xyx-12f(x)=x2x-1b ba a（3）3）在在中中，被被函函f(x)=1在f(x)=1在a，a，bb上上，且且f(x)0,根f(x)0,根据据定定分分的的几几何何意意，可可得得影影部部分分的的面面A =dxA =dx图图积积数数连连续续积积义义阴阴积积为为0yxabf(x)=12 202220222-10-10（4）4）在在中中，被被函函f(x)=(x-1) -1在f(x)=(x-1) -1在-1，-1，22上上，且且在在-1，-1，0上0上f(x) 0,在f(x) 0,在0，0，2上2上f(x) 0，f(x) 0，根根据据定定分分的的几几何何意意可可得
13、得影影部部分分的的面面A =(x-1) -1 dx-(x-1) -1 dxA =(x-1) -1 dx-(x-1) -1 dx图图积积数数连连续续积积义义阴阴积积为为0yx-12f(x)=(x-1)2-1探究点探究点4 定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1 12( )( )baf xfxdx12( )( )bbaaf x dxfx dx性质性质2 ( )bakf x dx ( )bakf x dx(k(k为常数为常数) )性质性质3.3.定积分关于积分区间具有可加性定积分关于积分区间具有可加性1212 ( )( )( )( )bccbaaccf x dxf x dxf x dxf x
14、dxOx yab yf (x) ( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx( (其中其中a ac cb)b) 性质性质3 3 不论不论a a，b b，c c的相对位置如何都有的相对位置如何都有ab y=f(x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxbcf (x)dx。 cOx y( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx 10111.f x dxf x dx_.【解析解析】由定积分的运算性质可知由定积分的运算性质可知 101110f x dxf x dxf
15、 x dx. 10f x dx2.2.已知已知 则则 等于等于( )( )2-6 2-32-6 2-3-1 D.e2-1-1 D.e2-12x20e dxe1，2x03e dx【变式训练】【变式训练】22xx2003e dx3e dx3e3.【解析解析】选选B.B.由定积分的性质可知由定积分的性质可知B B2 22 20 0例例2 2利利用用定定积积分分的的定定义义, ,计计算算 (-t +5)dt.(-t +5)dt.2 2令令f(t)=f(t)=解解-t-t：+5.+5.(1)分(1)分割割在在0,2 上0,2 上等等隔隔地地插插入入n-1分n-1分, ,2(i-1) 2i2(i-1) 2
16、i把把0,2 等0,2 等分分成成n小n小,(i=1,2,(i=1,2,nnnn2i2(i-1)22i2(i-1)2n),每n),每小小的的度度x =-=.x =-=.nnnnnn区区间间间间点点区区间间个个区区间间个个区区间间长长为为则则i innnn2 22 2n n0 0i=1i=1i=1i=12i2i(2) 近(2) 近似似代代替替、作作和和取取 =i=1,2,n ,=i=1,2,n ,n n2i2i22i2i2f(t)dtS =ff(t)dtS =fx =-() +5x =-() +5nnnnnnn n2 23333i=1i=188 188 1=10-i =10-n(n+1)(2n+
17、1)=10-i =10-n(n+1)(2n+1)nn6nn6411411=10- (1+)(2+)=10- (1+)(2+)3nn3nn2 22 2n n0 0nn (3)取(3)取极极限限(-t +5)dt=limS(-t +5)dt=limS411lim10(1)(2)3nnn82210.3322022(5).3所所以以 tdt解 令 f(x)3x2. (1)分割 在区间1,2上等间隔地插入 n1 个分点，把区间1,2等分成 n 个小区间ni1n，nin(i1,2，n)每个小区间的长度为 xninni1n1n 变式练习 利用定积分定义，计算12(3x2)dx 的值 1.1.定积分定积分 的
18、值为的值为( )( )A.0 B.2 C.1 D.4A.0 B.2 C.1 D.4【解析】选【解析】选B. B. 表示由直线表示由直线y=1y=1，x=0,x=2x=0,x=2及及x x轴轴围成的矩形的面积围成的矩形的面积, ,由于矩形的面积为由于矩形的面积为2 2，所以，所以20dx20dx20dx2.222.sin xdx0利用定积分的几何意义说明等式成立.解：解：图图积积数数连连续续2 212122121- -2 2在在右右中中，被被函函f(x)=sinxf(x)=sinx 在在-，-， 上上，且且在在-，-，002 222 22上上sinx0,在sinx0,在0，0， 上上sinx0,
19、并sinx0,并2 2有有A = A ,所A = A ,所以以f(x)dx = A -A =0f(x)dx = A -A =0222A1Axyf(x)=sinx1-1(x)0,(x)0,则当则当abab时，定积分时，定积分 的的符号符号 ( ) ( )A.A.一定是正的一定是正的B.B.一定是负的一定是负的C.C.当当0ab0ab时是正的，当时是正的，当ab0ab0时是负的时是负的D.D.以上结论都不对以上结论都不对 baf x dxA A=0,y=cos x,x=0,x= =0,y=cos x,x=0,x= 围成的图形的面积用定围成的图形的面积用定积分的形式表示为积分的形式表示为_._.答案：答案：220cos xdx5.5.1 12 20 0计计算算积积分分1-x dx.1-x dx.：由由定定分分的的几几何何意意知知，定定等等解解分分值值于于积义积2 2曲曲y =1-x ,x，y =1-x ,x，x =0及x =0及x =1所x =1所的的面面线线轴轴围围积积面积值为圆的面积的面积值为圆的面积的14.1 12 20 0所所以以1-x dx =1-x dx =4 41.1.求曲边梯形面积求曲边梯形面积分割分割近似代替近似代替求和求和取极限取极限2.2.定积分定义定积分定义3.3.定积分几何意义定积分几何意义4.4.定积分计算性质定积分计算性质
