1、一. 有效数字v有效数字的基本概念有效数字的基本概念 有效数字有效数字= =准确数字准确数字+ +存疑数字存疑数字 有效数字来源于测量时所用的仪器有效数字来源于测量时所用的仪器v有效数字的特点有效数字的特点 （1 1）位数与小数点的位置无关。）位数与小数点的位置无关。 35.76cm = 0.3576m = 0.0003576km35.76cm = 0.3576m = 0.0003576km （2 2）0 0 的地位的地位 0.0003576 3.005 3.000 0.0003576 3.005 3.000 都是四位都是四位 （3 3）科学计数法）科学计数法 3.5763.5761010-1
2、-1 3.756 3.75610102 2 h=6.626 h=6.6261010-34-34 j js s 精12.2. 精2数 学：2500. 025. 0 物理实验：cm00.25m25. 0精3（1 1）有效数字位数越多，测量精度越高）有效数字位数越多，测量精度越高（2 2）有效数字位数与十进制单位的变换或小数点位）有效数字位数与十进制单位的变换或小数点位 置无关置无关222m/s8 . 9cm/s0 .980m/s800. 9g如可见可见：有效数字位数的多少取决于所用量具：有效数字位数的多少取决于所用量具或仪器的准确度的高低。或仪器的准确度的高低。 非十进制的单位换算有效数字会有一位
3、变化，非十进制的单位换算有效数字会有一位变化，应由误差所在位确定。如应由误差所在位确定。如(1.8(1.80.1)0.1)度度=(108=(1086)6)分，（分，（1.501.500.050.05）分）分= =（90903 3）秒等。）秒等。 精4（3 3）特大或特小数用科学记数法（小数点前只取一）特大或特小数用科学记数法（小数点前只取一 位非零数字）位非零数字）m10328. 6m6328. 07（4 4）纯数或常数，如）纯数或常数，如1/61/6、 、e e、c c等，不是由等，不是由 测量得到的，有效数字可以认为是无限的，需要几测量得到的，有效数字可以认为是无限的，需要几 位就取几位，
4、一般取与各测量值位数最多的相同或位就取几位，一般取与各测量值位数最多的相同或 再多取一位。再多取一位。 3（5 5）直接测量一般应估读到最小分度值下一位；间）直接测量一般应估读到最小分度值下一位；间 接测量运算结果的有效数字位数由绝对误差来决接测量运算结果的有效数字位数由绝对误差来决 定，间接测得值的末位应与绝对误差所在位对齐。定，间接测得值的末位应与绝对误差所在位对齐。精51.1.加减法：结果的有效数字加减法：结果的有效数字末位末位应与参与运应与参与运 算各数据中算各数据中误差最大误差最大的末位对齐。的末位对齐。10.10.1 1+4.17+4.178 8=14.2=14.27 7814.8
5、14.3 3 10.10.1 1-4.17-4.178 8=5.=5.9 9225.225.9 9 十分位十分位千分位千分位十分位！十分位！精62.2.乘除法：一般结果的有效数字乘除法：一般结果的有效数字位数位数和参与和参与运算各数中有效数字运算各数中有效数字个数最少个数最少的相同。若两的相同。若两数首位相乘有进位时则多取一位。数首位相乘有进位时则多取一位。 4.1784.17810.1=42.197842.2 10.1=42.197842.2 四个四个三个三个三个三个！1.11111.11111.11= 1.2333211.23 1.11= 1.2333211.23 4.1784.17890
6、.1376.4 90.1376.4 四个四个三个三个3 34 4有进位，取四个！有进位，取四个！精73.3.乘方、开方运算：结果的有效数字乘方、开方运算：结果的有效数字位数位数和和 底数的有效数字底数的有效数字个数个数相同。相同。24.62889. 72171.1045.103421006. 52250 .15225 精8课课 堂堂 练练 习习精9精10真值精11测量值精12平均值精13系统误差精14随机误差精15标准差22-21( )e2f精16置信区间和置信概率置信区间和置信概率%3 .68)(1dfP222%5 .95)(dfP333%7 .99)(dfp,2 ,23 ,3置信概率置信概
7、率置信区间置信区间精17随机误差和系统误差的形象表示子弹着靶点分布图（a）随机误差小，系统误差大（b）随机误差大，系统误差小（c）随机误差和系统误差都小精18测量的质量精19表征测量值分散性的量实验标准偏差为：标准差的计算与 的分布无关。 1)()(21nxxxsniiiix算术平均值的标准偏差：21()( )( )(1)niiixxs xs xn nn精20不确定度U精21二、确定下列仪表的仪器误差二、确定下列仪表的仪器误差 米尺米尺0.1mm 游标卡尺游标卡尺0.02mm 千分尺千分尺0.01mm 各类数字式仪表各类数字式仪表 物理天平物理天平0.1g 电表电表 （最小刻度的一半，最小刻度
8、的一半，0.5mm0.5mm）（最小刻度，最小刻度，0.02mm0.02mm）（最小刻度的一半，最小刻度的一半，0.005mm0.005mm）（仪器的最小读数）（仪器的最小读数）（0.1g，0.05g） 量程量程Xm * *级别级别P %精22直测U公式精23v例1.2.3： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分别为： 计算直径的测量结果。 解： 平均值d (cm)2.5942.5922.5962.5922.5902.592idd612.5942.5922.5962.5922.5902.5926)cm(5927. 2精24 测量的标准差 仪器误差 合成标准不确定度 测量结果 2()
9、( )0.021(mm)(1)idds dn0.002(cm)仪2222( )0.0210.020.029(mm)cu dsu仪2.59270.0029(cm)d 精25多次直接测量的数据处理多次直接测量的数据处理 例1 用量程为025mm的一级螺旋测微计（仪=0.004mm）对一铁板的厚度进行了8次重复测量，以mm为单位，测量数据为：3.784，3.779，3.786，3.781，3.778，3.782，3.780，3.778，求测量结果。 解：可求得mmSmmLx0029. 0781. 3精26精27间接测量的不确定度间接测量的不确定度)()()()()(22221221xuxfxuxfy
10、uCCc)()ln()()ln()(22221221xuxfxuxfyyuCCc精28示例v已知某圆盘的直径D2=10.0120.004cm，高度h=2.124 0.004cm ，求它的体积。精29示例1. 体积hDV24124. 2012.10414159. 32)(219.1673cm精302.计算不确定度)()()()()(2222huhVDuDVVuccC)()4()()2(22222huDDuDhcc22222)004. 0()4012.10()004. 0()2124. 2012.10()(34.03421.03cmhDV24)()()()()(22221221xuxfxuxfyu
11、CCc精31方法相对不确定度-不确定度hDVlnln24lnln取对数)()ln()()ln()(2222huhVDuDVVVuccc22)()(2(hhuDDucc22)124.2004.0()012.10004.02(%2046.0002046.0334. 03421. 0%2046. 0219.167)()(cmVVuVVucc)()ln()()ln()(22221221xuxfxuxfyyuCCc精32结果表达精331.2.6 测量结果的表示测量结果的表示 意义：真值以一定的概率（意义：真值以一定的概率（95）落在）落在 （ ， ）内。）内。UxXUx Ux 精34取舍原则精35取舍实
12、例精36精精精精40精4164+0.02 *9=64.18 mm精42132.45mm精43精44精45精46实实 验验 1 精47精48（砝码允许误差（砝码允许误差四等）四等） 精491.5 处理实验数据的几种方法v列表法v作图法v逐差法 v最小二乘法精50作图要求精51作图实例精522 2 逐逐 差差 法法v逐差法用于等间隔连续测量中的数据处理。 v充分利用测量数据，减小测量结果的误差。精53以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依次加1g、2g、8g的砝码，记下弹簧端点在标尺上位置n1、n2、n8。对应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：787232121nnnnnnnnn精54伸长量平均值：中
13、间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，应采用以下逐差法。7)(7)()()(7.18782312721nnnnnnnnnnnn精55逐差法：v连续测偶数个测量值； v将实验数据前后对分为两组； v取对应项的差值（逐差）；v再求平均值。精56对本例，先将数据分为两组n1、n2、n3、n4n5、n6、n7、n8再取对应差值勤的平均值即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。4)()()(482615nnnnnnn精57逐差法当当X X等间隔变化，且等间隔变化，且X X的误差可以不计的的误差可以不计的条件下，对于条件下，对于 nnnnYYYYYXXXXX221221,:,:将其分成两组将其分成两组，进
14、行逐差可求得：，进行逐差可求得： YYYnnn 2 YYYn111 iyny1精58逐差法举例例：对下表伏安法测量电阻的数据进行处理，应用逐差法例：对下表伏安法测量电阻的数据进行处理，应用逐差法求电阻值。求电阻值。表表1 伏安法测伏安法测100 电阻数据表电阻数据表数据分为两组，隔数据分为两组，隔3 3项逐差，再取平均。即：项逐差，再取平均。即： IURmAIIIIIIIIk4 .985 .300 .3)(5 .3030 .302 .314 .3033333625143逐差法的优点：逐差法的优点：利用逐差法求物理量，可以充分利用数据，利用逐差法求物理量，可以充分利用数据，消除一些定值系统误差，
15、减小随机误差的影响消除一些定值系统误差，减小随机误差的影响精59最小二乘法 是从统计的角度处理数据，并能得到测量是从统计的角度处理数据，并能得到测量结果不确定度的一种方法。结果不确定度的一种方法。 假设两个物理量之间满足线性关系，其函数形式可写为 y=a+bx。现由实验测得一组数据 nny,y,y;x,x,x2121为了讨论简便起见，认为xi值是准确的，而所有的误差都只与yi联系着。那么每一次的测量值yi与按方程（y=a+bxi）计算出的y值之间的偏差为 )bxa(yviii精60根据最小二乘法原理，a、b的取值应该使所有y的偏差平方之和 niniiii)bxa(yvS1122为最小值，根据极
16、值条件niii)bxay(aS102niiii)bxay(xbS102由此可得：精61niiniiyb )x(na11niiiniiniiyxb )x(a)x(1121由此可求得a和byi和a、b的误差估算以及相关系数)y(S)x(xnx)a(S222)y(S)x(xn)b(S221niiinii)bxay()n(v)n()y( S12122121)y(y)x(xyxxy2222精62最小二乘法应用举例为确定电阻随温度变化的关系式，测得不同温度下的电为确定电阻随温度变化的关系式，测得不同温度下的电阻如表一。试用最小二乘法确定关系式：阻如表一。试用最小二乘法确定关系式：R = a + b t。
17、表一表一 电阻随温度变化的关系电阻随温度变化的关系t/19.025.030.136.040.045.150.0R/76.30 77.8079.7580.8082.35 83.90 85.10解：解：1. 列表算出：列表算出：iiiiitRtRt,22. 写出写出a、b的最佳值满足方程的最佳值满足方程nRtntbntanRntba2；精63nt/R/t2/2R t/ 119.176.303651457225.077.806251945330.179.509062400436.080.8012962909540.082.3516003294645.183.9020343784750.085.1025004255n=7 =245.3 =566.00 =9326 =20044 it iR 2it iitR精64Cbababa/2873. 079.707200447932673 .245700.56673 .245解出：列表数据代入方程：3. 写出待求关系式：写出待求关系式：；tRtR2873. 079.70精65
