1、二面角教学目的：1. 掌握二面角 的概念。2.掌握二面角的一般作法。3.熟练掌握二面角的求解方法。4.能在复杂图形中找到二面角。5.提高空间想象能力和综合解题能力返回主页二面角的定义二面角的定义从空间一直线出发的从空间一直线出发的两个半平面所组成的两个半平面所组成的图形叫做二面角。图形叫做二面角。二面角二面角返回主页这条直线叫做二面角的棱二面角的棱，每个半平面叫做二面角的二面角的面面记作l二面角的平面角的定义二面角的平面角的定义 以二面角的以二面角的棱棱上任意一点为端点，在上任意一点为端点，在两个面内两个面内分别作分别作垂直垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的于棱的两条射线，这两条射线所成的角
2、角叫做叫做二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角的三个特征二面角的平面角的三个特征: :1.点在棱上点在棱上2.边在面内边在面内3.边与棱垂直边与棱垂直AOBl二面角的平面角范围二面角的平面角范围：001800点点P在棱上在棱上AB定义法定义法二面角p返回主页讲解例题常见的图形例例1.1.如图，已知如图，已知P P是二面角是二面角-ABAB-棱上一点，过棱上一点，过P P分分别 在别 在 、 内 引 射 线内 引 射 线P MP M 、 P NP N， 且， 且 M P N = 6 0 M P N = 6 0 BPM=BPN=45BPM=BPN=45 ，求此二面
3、角的度数。，求此二面角的度数。ABPMNCDO解解：在PB上取不同于P 的一点O，在内过O作OCAB交PM于C，在内作ODAB交PN于D，连CD，可得COD是二面角-AB-的平面角设PO = a ，BPM =BPN = 45CO=a， DO=a， PC a ， PD a22又MPN=60 CD=PC a2COD=90因此，二面角的度数为因此，二面角的度数为90aOPC二面角返回主页.23大小的，求二面角，且，的三个侧面与底面全等已知三棱锥ABCDBCACABABCDO90垂面法垂面法点点P在二面角内在二面角内ABO二面角p返回主页讲解例题常见的图形例例2 2如图如图P P为二面角为二面角 内一
4、点，内一点，PA,PBPA,PB,且且PA=5PA=5，PB=8PB=8，AB=7AB=7，求这二面角的度数。，求这二面角的度数。 过过PA、PB的平面的平面PAB与与 棱棱 交于交于O点点PA PA PB PB 平面PABAOB为二面角的平面角又PA=5，PB=8，AB=721cosP由余弦定理得由余弦定理得P= 60 AOB=120 这二面角的度数为这二面角的度数为120解：解：ABPO二面角返回主页0120,10,.PaPPa变式： 为的二面角内一点到 和 的距离均为 求 到棱 的距离aPNMO三垂线法三垂线法点点P在一个半平面上在一个半平面上pAB返回主页讲解例题常见的图形OABPC取
5、取AB 的中点为的中点为E，连连PE，OEO为为 AC 中点中点， ABC=90OEBC且且 OE BC212221在RtPOE中， OE ，PO 22tanPEO22所求的二面角所求的二面角P-AB-C 的正切值为的正切值为例例3 3如图，三棱锥如图，三棱锥P-ABCP-ABC的顶点的顶点P P在底面在底面ABCABC上的射影上的射影是底面是底面RtRtABCABC斜边斜边ACAC的中点的中点O O，若，若PB=AB=1PB=AB=1，BC= BC= ，求二面角，求二面角P-AB-CP-AB-C的正切值的正切值。2PEO为二面角为二面角P-AB-C 的平面角的平面角23在在RtPBE中中，B
6、E ，PB=1，PE21OEAB ，因此因此 PEABE解：解：EOP二面角返回主页ABCOcos =SS射三角形ABC在平面N内的射影为BCO 三角形ABC的面积为S，三角形BCO的面积为S射面积法面积法返回主页讲解例题常见的图形例4、如图，设E为正方体的边CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。 AB1E在底面A1B1C1D1上的射影为A1B1C1，故这两个平面所成二面角的余弦值为 321111EABCBASSABCDA1B1C1D1E返回主页M二面角的求法总结二面角的求法总结定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个
7、面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。我们首选的方法。三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。算简便，所以我们常用此法。垂面法需在二
8、面角之间找一点向两面作垂线，因为这垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用。一点不好选择，所以此法一般不用。以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式, ,这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。二面角的平面角求二面角的平面角方法求二面角的平面角方法点P在棱上点P在一个半平面上点P在二面角内小结ABppABpABO定义法三垂线法垂面法二面角射影法
