1、2022一选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 设集合 A =x N | 0 x 9, B =-1, 2,3, 6,9,10,则 （ ）A. 0,1, 4, 5, 7,8 B. 1, 4,5, 7,8 C. 2, 3, 6, 9 D. 【答案】A 【解析】依题意 A =0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9, B =-1, 2, 3, 6, 9,10，所以 A 2, 3, 6, 9，故 0,1, 4, 5, 7,8，故选 A .2. 已知i 是虚数单位，若zz1 =1+ 2i, z2 = -1+i,则复数 1
2、z2在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】依题意z1z21+ 2i 1 3= = -i -1 2 2i,复数z1z21 3( ,- ) ，故选 D.对应的点是2 23. 若a 是钝角且sin 1 a = ，则 tan 2a = （ ）3A89B794 2C - D74 2722 1 7【答案】C 【解析】因为a 是钝角，所以cos 2 1 2sin 1 2 .a = - a = - = 3 9所以sin 2a = - 1- cos2 2a7 4 2 sin 2a 4 2= - 1- ( ) = - , tan 2a = = - .2
3、9 9 cos 2a 7x 2， + 4. 已知实数 x ， y 满足约束条件 x y 0， 则 z = 3x + y 的最小值为（ ） - x y+1 0， A4 B9 C4 D9【答案】A【解析】如图所示，目标函数即 y = -3x + z ，其中 z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最小.据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最小值，联立直线方程数学（理科）试题参考答案第 1 页 （共 19 页） =x 2，可得 A(2,-2).据此可知目标函数的最小值为： + =x y 0，zmin = 3x + y = 32 - 2 = 4 .故选 A.5.已知正
4、方形 ABCD中 E 为 AB 中点，H 为 AD 中点，F，G分别为 BC，CD 上的点，CF = 2FB，CG = 2GD，将 DABD 沿着 BD折起得到空间四边形A BCD ，则在翻折过程中，以下说法正确的1是（ ）A. EF / /GH B. EF 与GH 相交 C. EF 与GH 异面 D. EH 与 FG 异面【答案】B6先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的面的点数，则第一次点数大于第二次点数的概率为（ ）1 3A5B12C49D12【答案】B【解析】不妨用(x, y)表示两次投掷的基本事件，其中 x 代表第一次投掷的点数， y 代表第二次投掷的点数.故所有投掷的结
5、果所包含的基本事件有：(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4),(1, 5),(1, 6)，(2,1),(2, 2),(2, 3),(2, 4),(2, 5),(2, 6)，(6,1),(6, 2),(6, 3),(6, 4),(6, 5),(6, 6)共 36 种，其中满足第一次点数大于第二次点数基本事件(2,1),(3,1),(3, 2),(4,1),(4, 2),(4,3), (5,1),(5, 2),(5,3),(5, 4),(6,1),(6, 2),(6,3),(6, 4),(6,5)共 15 种.所以第一次点数大于第二次点数的概率15 5P = = .故选 B.36
6、127. 孙子算经一书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗问：五人各得几何？”其大意为“有5个人分 60 个橘子，他们分得的橘子数构成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？”根据上述问题的己知条件，则分得橘子最多的人所得的橘子个数为（ ）A.15 B.16 C.18 D. 2154【答案】C【解析】设第一个人分得橘子最少的人分到的橘子个数为 = 5 + 3 = 60.a ，则 S a1 5 12解得 a1 = 6, (5 1) 3 6 12 18a5 = a + - = + = 故分得橘子最多的人所得的橘子个数是1818. 在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，
7、O 为底面A B C D 的中心，E 为1 1 1 1AA 的中点，若该正方体的棱1长为 2，则下列结论正确的是（ ）A.OC / / 平面 BDE B.AC 平面1B CD1 1数学（理科）试题参考答案第 2 页 （共 19 页）C. 平面 BDE 平面ABB A D.三棱锥 A- BDE 的外接球体积为 4 3p1 1【答案】B【解析】图，对于 A 选项，易知AC O E .从而1 / / 1A1C / / 平面 BDE ，所以OC 不可能与平面 BDE 平行，故 A 选项错误；对于 B 选项，易知B E = D E ，所以OE B D .又CE = 3，1 1 1 1OE = ，CO =
8、 6 ，故OE2 + CO2 = CE2 , OE CO.3所以OE 平面B CD .1 1而AC1 / /OE ，所以AC 平面1B CD 故 B 选项正确；1 1对于 C 选项，易知 BC 平面ABB A ，而 BC 与平面 BDE 相交，所以平面 BDE .1 1不可能与平面ABB A 垂直，故 C 选项错误；对于 D 选项，设三棱锥 A- BDE 的外接球半径为 R ，1 1则 4R2 =4+4+1=9 ，从而3 4 4 27 9R= ，所以V = p R3 = p = p球 ，故 D 选项错误.2 3 3 8 29已知圆 O1 :(x +3)2 + y2 =1，圆 O2 :(x -1
9、)2 + y2 =1 ，过动点 P 分别作圆O 、圆1O 的切线2PA PB （ A, B 为切点），使得| PA|= 2 | PB |，则动点 P 的轨迹方程为（ ）,Ax + y = B2 219 5x2 = 4y Cx23- 2 =1 D(x -5)2 + y2 = 33y【答案】D【解析】由| PA|= 2 | PB |得| PA|2 = 2 | PB |2 .因为两圆的半径均为 1，则( )PO - = PO - ，则 (x + 3)2 + y2 -1= 2(x -1)2 + y2 -1 即2 21 1 2 2 1 (x -5) + y = 33.2 2所以点 P 的轨迹方程为(x
10、-5) + y = 33.2 210已知m 0， n 0 ，命题 p : 2m + n = mn ，命题q:m+ n 3+ 2 2 ，则 p 是 q的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为 m 0， n 0 ，由2m + n = mn得 1 2 1 2+ = ，则( )1 m + n + =m n m n n = 2m n 2m ，3+ + 3+ 2 2 ，当且仅当 m n 即 m = 2 +1 ， n = 2+ 2 时取等号.m n + =2m n m n，数学（理科）试题参考答案第 3 页 （共 19 页）因此 p q .因为m 0
11、， n 0 ，由m+ n 3+ 2 2 ，取m =1,n =10，则2m+ n =12， mn =10，即2m+ n mn ， q p，所以 p 是 q的充分不必要条件.故选 Ax y2 211已知 F 是椭圆 E ： + = ( )的左焦点，经过原点O的直线l 与椭圆 E 交于 P ，Q 两2 2 1 a b 0a b点，若 PF = 5 QF 且PFQ =120 ，则椭圆 E 的离心率为（ ）A 76B1 3C 216D 215【答案】C【解析】设椭圆右焦点 F，连接 PF，QF，根据椭圆对称性可知四边形 PFFQ 为平行四边形，则 QF = PF .因为PFQ =120 ，可得 = .所
12、以 PF + PF = 6 PF = 2a ，则 PF = 1 a ， 5FPF PF = a .由余弦定603 3理可得(2c) = PF + PF - 2 PF PF cos 60 ( )2 32 2 2 = PF + PF - PF PF 即2 2 5 2 7 24c = 4a - a = a ，故椭圆离心率e3 3c 7 212= = = ，故选 Ca 12 6212. 设大于 1 的两个实数 a ，b 满足nln b b2 e a 2a，则正整数 n 的最大值为（ ）A7 B9 C11 D12【答案】B【解析】易知ln b bn2 等价于e a2a nln2 2ab e1)，则xn(
13、 )f xx ln x(2 - nln x) ln x(2 - nln x)n-1= = .x x2n n+1令 f (x) = 0得2x = e .当 f (x) 0时n 2x1,en ;当 f (x)1)，则 ( ) x ( )e x e 2x - n2 2n 时不符合，舍去，所以 n 1.g x = .当 1x x +n 2n 1 2n则 g (x)= 0, x = .当 g (x) 0 时2n nx ;当 g (x) 0 时1 x .2 2数学（理科）试题参考答案第 4 页 （共 19 页） n 所以 g(x)在 1, 2 + n上单调递减，在 , 2 上单调递增，则 g(x)有最小值
14、g = nn e 2nn 2 .若ln2 b e2a 成立，只需b an n 2n nf e g 2 ，即2 2 ne2enn n 2 n-2n n2+ ，即e . 2 n两边取自然对数可得 n + 2 (n - 2) ln .当n = 2时等式成立;当n 3时有2n n+ 2 lnn - 2 2.j = + -x lnx 2 x令 ( )x - 2 2j = -4 - 1 0 的最大的正整数. ( )(x 2) x- 2恒成立，则j (x)在3,+)上单调递减.因为 (8) 5 ln 4 011 9 3j = - ，j ( ) = - - ， ( )9 ln 1.5714 1.51 0 j
15、10 = - ln 5 0 的最大正整数为 9.故选 B.二填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 已知向量 a = (1，2) ，b = ( 2，- 2) ，c = (1,l) ，若 c 0 ，则实数l =_【答案】12【解析】易得 a - 2b = (-3, 6).因为 c 0 所以 -31+6l = 0解得 1 = .214. 某医院现临时安排 2 名医护工作者到社区完成 3 项疫情防控宣传工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有 种.(结果用数字作答)【答案】6 【解析】将 3 项工作看做两项“工作”有C2 种分法,所以不同的安排
16、方式共有C A =2 23 2 6. 3115. 已知数列a 的前 n 项和为 Sn ，满足 1 - 2 SSn = a ， a2 =12 ，则 = n 4n+2a 1 1【答案】160【解析】因为 Sn = a 1 - 2 ,当 n 2 时， 1 = - 2 nS 两式相减化简得： +1 = 3 n+ - nn a .a 2 2n1 4(1-34 )当 n =1时 1 = a - 2 2 = 1 = 4 =S ， a 12 ，解得 a 4.则 S = 160.2 1-3216.设 f (x) = 3 cos2 x - sin xcos x 在-m, m上单调递减，则实数 m 的最大值是 x
17、【答案】 【解析】因为 f (x) = 3 - sin 2x= - ( sin 2x - cos 2x)= - sin(2x - ) 12 2 2 2 2 2 2 31+cos2 1 3 1 3 3 5 在- , 上是减函数，故 m 的最大值是.12 12 12三解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试数学（理科）试题参考答案第 5 页 （共 19 页）题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答。17. （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 从 (ccos B + bcosC)2 + 3bc = b2 + c2 ； si
18、n( + ) = cos ； A C Ab 3ab(2 - 3 cos A) = asin B .选取一个作为条件，补充在下面的划线处，并解决该问题.已知ABC 中内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c. 若 .(1)求角 A 的大小；(2) 设 a = 4 ， b = 4 3 ,求ABC 的面积 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【说明】若考生选择两种或者3种条件依次作答的按照第一个选择条件判定分数。考生若不写清楚选择条件但是写了具体三个条件中的一个具体等式，请正常阅卷判分。解:（1）若选,因为 (ccos B + bcosC)2 = b2 + c2 - 3bc 及a b
19、c = =sin A sin B sinC得 (sinC cos B + sin BcosC)2 = sin2 B + sin2 C - 3 sin BsinC .1 分【说明】只写正弦定理原始公式1分，正弦定理写错了，没有进行边化角判0分；未写出正弦定理，直接得到边角互化的正确等式。(sinC cos B + sin BcosC) = sin B + sin C - 3 sin BsinC ，判1分2 2 2所以sin2 (C + B) = sin2 B + sin2 C - 3 sin BsinC .因为 A + B + C = 所以sin2 A = sin2 B + sin2 C - 3
20、 sin BsinC . .1 分【说明】写清楚sin2 (C + B) = sin2 A ,或者sin(C + B) = sin A ，判1分表述为因为 A + B + C = 所以sin(C + B) = sin A ，判1分 其他表述例如sin(C + B) = -sin A ， sin(C + B) = cos A等错误表述判0分所以 a2 = b2 + c2 - 3bc .1 分（3 分）【说明】写由正弦定理角化边得到 a2 = b2 + c2 - 3bc ，判1分 b2 + c2 - a2 = 3bc ，b2 c2 a2 3+ - = 等其他等价形式都可以判1分2bc 2又 cos
21、Ab + c - a2 2 2= .1 分2bc3所以 cos A = .1 分2因为 0 A 0所以sin A + 3 cos A = 2 . 1 分(3 分)【说明】不写清楚， sin B 0 或者 sin B 0，只要化简得到 sin A + 3 cos A = 2 ，判 1分化简得不到 sin A + 3 cos A = 2 或者等价形式判 0分 + =即 sin A 1. 2 分 3 + = 【说明】能体现辅助角公式得到 A ，判 2分sin 1 3 + = 得其他形式例如sin A 1或者其他错误结论判，0 分 6 数学（理科）试题参考答案第 7 页 （共 19 页）因为 0 A
22、p ,所以 A + = 得3 2A = . . 1 分(6 分)6【说明】 书写规范：因为 0 A p ,所以 A + = 得 A = .判 1分3 2 6不写因为 0 A p ,所以 A + = 直接下结论得到 A = .判 1分 3 2 6只写A = .判 1分6（2）由 a = 4 ， b = 4 3 及正弦定理b a= 且sin B sin AA p= , 6得4 3 4=psin sinB6. 1 分【说明】第二问只写对正弦定理公式不带入具体数据，判 0分直接带入数据得到正确表达式4 3 4=psin sinB6，判 1分化简得sin3B = . . 1 分2【说明】化简得到sin3
23、B = ，判 1分，23化简得到其他非 sin B = 的正确等价形式判 0分2B B= 或 2pp3 3【说明】 不写因为 0 B p ，写对了B= 或 2p pB = ，判 1分3 3只写B= 或 2p pB = 其中一个判 0分3 3若Bp= 则C3p 1= .则 SD = absinC .1 分ABC2 2= 8 3 .1 分若B2p= 则C3= .则 1 sin 4 3pSD = ab C = .ABC6 2所以 DABC 的面积为8 3 或 4 3 . 1 分(12 分)【说明】写对了三角形面积公式1SD = absinC 判 1分ABC2分类讨论后能得到两个正确答案，并作答正确的
24、判 3分分类讨论过程正确，结论正确，未作答 DABC 的面积为8 3 或 4 3 .扣结论分 1分，判 2分数学（理科）试题参考答案第 8 页 （共 19 页）18.（本小题满分 12 分）我国是一个水资源严重缺乏的国家，2021 年全国约有 60%的城市供水不足，严重缺水的城市高达 16.4%. 某市政府为了减少水资源的浪费，计划通过阶梯式水价制度鼓励居民节约用水，即确定一户居民月均用水量标准 x(单位：t)，用水量不超过 x 的部分按平价收费，超出 x 的部分按议价收费. 现通过简单随机抽样获 得了 100 户居民用户的月均用水量数据(单位：t)，并将数据按照0，4)，4，8)，16，20
25、)分成 5 组，制成了如下频率分布直方图. （1）设该市共有 20 万户居民用户，试估计全市居民用户月均用水量不高于 12(t)的用户数； （2）若该市政府希望使 85%的居民用户月均用水量不超过标准 x(t)，试估计 x 的值（精确到 0.01）；（3）假设该市最终确定三级阶梯价制如下： 级差 水量基数 x (单位：t) 水费价格 (元/t)第一阶梯 x 14 1.4第二阶梯 14 20 2.8小明家上个月需支付水费共 28 元，试求小明家上个月的用水量.解:（1）由频率分布直方图可得（a+0.06+0.11+ a +0.02）4 =1.1 分解得a = 0.03.1 分(2 分)【第1、2
26、分说明】写清楚 （频率/组距）*组距 之和等于1或体现概率和为1的其他等价形式，结果正确判2分概率之和为1的式子列正确，结果错误判1分。1- 0.02 + 0.06 + 0.11)4 =(若以“ a = 0.03”形式书写：列式和结果都正确判2分；列式8 正确结果错判1分，列式错结果错判0分。居民用户月均用水量不超过 12 (t)的频率为（0.03+0.06+0.11）4 = 0.80 .1 分(3 分)所以估计全市 20 万居民用户中月均用水量不高于 12 (t)的用户数为：200.80 =16 （万）；.1 分(4 分)【第3、4分说明】第一个列式结果0.8正确，结果写了16 不写单位判2
27、分若书写为：“（0.03+ 0.06 + 0.11）420 =16”结果正确判2分，列式对结果错判1分第一个结果“0.8”正确，“16”的结果错判1分第一个结果“0.8”错误判0分（2）由频率分布直方图知居民用户月均用水量不超过12 (t)的频率为：0.80.月均用水量不超过 16 (t)的频率为 0.92. .1 分(5 分)【第5分说明】过程中只体现正确答案“0.92”或其正确的分式形式，不体现“0.8”判1分。过程中只体现正确答案“0.8”，不体现“0.92”判0分。则 85%的居民用户月均用水量不超过的标准 x （12,16）.1 分(6 分)故 0.80 + 0.03(x -12)
28、= 0.85.1 分(7 分)【第6、7分说明】过程中不说明“ x(12,16) ”.直接列出“ 0.8+ 0.0（3 x -12) = 0.85”、“0.85-0.8 12 + 0.85- 0.8 x =12 + ”、“ x = 4”等正确式子判2分。0.03 0.12数学（理科）试题参考答案第 9 页 （共 19 页）过程中体现了“ x(12,16) ”，列式错误判1分。过程中不体现“ x(12,16) ”，列式错误判0分。解得 x 13.67 即 x 的值为 13.67 (t).1 分( 8 分)【第8分说明】答案不写单位不扣分。“13.67 (t)，13.67”以外的其他结果判0分。(
29、3)因为 19.6=141.428141.4+(2014)2.132.2. .1 分( 9 分)【第9分说明】过程中体现了“19.6”及“32.2”或正确的分式形式，判1分。只体现“19.6”或“32.2”的单边数据的判0分“19.6”、“32.2”两个数据都没有的判0分所以小明家上个月的用水量达到第二阶梯收费. .1 分( 10 分)设小明家上个月的用水量为 m (t)，由 28=141.4+(m14)2.1.1 分( 11 分)【第10、11分说明】过程中不说明“在第二阶梯收费”.直接列出正确式子的判2分。过程中体现了“在第二阶梯收费”，但列式错误判1分。过程中不说明“在第二阶梯收费”，且
30、列式错误判0分。得 m=18 (t). 所以小明家上个月的用水量为 18 (t). .1 分(12 分)【第12分说明】答案正确得小明家上个月的用水量为18 (t) ，18，判1分；结果错误，判0分。19（. 本小题满分 12 分）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，点A 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点O，1底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，AA = .1 2 3(1)求证：AA B C ;1 1 1(2)求直线AB 与平面1BB C C 所成角的正弦值.1 1解法一：（1） 底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,O为 BC 的中点，连接 AO , BC AO .1
31、分点A 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点O，1BC AO .1 分1【说明】可以根据其他的方法得到BC AO 合理均给分。1而 AO ， BC 平面AAO .1 分(3 分)1又AA 平面1AAO 1BC AA .1 分1BC / /B C ，.1 分1 1数学（理科）试题参考答案第 10 页 （共 19 页）AA B C .1 分(6 分)1 1 1（2）由（1）可知O A，O B，O A1 两两垂直，分别以OB，O A，O A1 所在直线为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 O - xyz .1 分则 由 题 意 有 A（0， 3 ，0）， B（1，0，0）， C（-1，0
32、，0），A（0，0， ），1 3B（1 1，- 3，3）.所以AB1 =（1，-2 3 ，3）， BC =（-2，0，0）， 1 3 3BB =（0，- ， ）.1 分(8 分)设 m = (x，y，z)为平面BB C C 的法向量，1 1 ，则 得 ，m B B1 = 0- + = 3y 3z 0， .1 分-2x = 0，【说明】法向量不正确时，列对 ，即可给1分。m B B1 = 0 ，令 z =1，则 y = 3 ， x = 0 .所以 m = (0， 3，1) 是平面B 的一个法向量. 。.1 分(10 分)1BCC1设所求角为q ，则sinq = cos 1= .1 分m AB1【
33、说明】结果不正确时，向量夹角公式正确即可给分3 3 22= =2 22 44即直线AB 与平面 BB C C 所成角的正弦值为1 1 13 2244.1 分(12 分)【令建系方法】（2）由（1）可知O A，O B，O A1 两两垂直，分别以O A，O B，OA 所在直线为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系1O - xyz .1 分则由题意有 A（ 3,0，0）， B（0，1，0），C（0，-1，0），A（1 0，0，3），B（1 - 3，1，3）.所以AB =（-2 ，1， ），BC =（0，-2，0），1 3 3BB =（- ，0， ）.1 分(8 分)1 3 3数学（理科）试题
34、参考答案第 11 页 （共 19 页）设 m = (x，y，z)为平面BB C C 的法向量，1 1则 m BCm BC，得0，- + = 3x 3z 0，.1 分-2 = 0y ， ，【说明】法向量不正确时，列对 ，即可给1分。 ，m B B1 = 0 令 z =1，则 y = 0， x = 3 .所以 m = ( 3，0，1) 是平面B1BCC 的一个法向量. .1 分(10 分)1设所求角为q ，则sinq = cos 1= .1 分m AB1【说明】结果不正确时，向量夹角公式正确即可给分3 3 22= =2 22 44即直线AB 与平面 BB C C 所成角的正弦值为1 1 13 2244.1 分(12 分)解法二：（1） 底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,O为 BC 的中点,连接 AO ， BC AO .
