1、1了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最值问题考纲要求一一. .知识梳理知识梳理1.()2abababR基本不等式：，ab当且仅当时，等号成立.3.基本不等式的变形：(1)2(),abab abRab，当且仅当时取等号.222(),abab abRab，当且仅当时取等号.(2)2( ,aba babba同号)，当且仅当时取等号.2.重要不等式：注意：各项皆为正数；各项皆为正数； 和为定值或积为定值；和为定值或积为定值； 注意等号成立的条件注意等号成立的条件. .一一“正正”，二二“定定”，三三“相等相等”. .4 4、利用基本不等式求最大值、最小值问题、利用基本不等式求最大值、最
2、小值问题知识梳理知识梳理二二. .典例分析典例分析题型一题型一: :拼凑法求最值拼凑法求最值典例分析典例分析典例分析典例分析222(2),22,(12).a babab已 知都 是 正 数的 最 值 是3 (1),22,(1),a bababa b例 ：已知都是正数求的最值和此时的值.22,2211 2(1)139(1)=2 (1)222228312 =1=42931(1)=.842a babababababababab(1)因为都是正数所以当且仅当，即，时，等号成立，此时取得最大值 ，解析：典例分析典例分析222(2),22,(12).a babab已 知都 是 正 数的 最 值 是3 (1
3、),22,(1),a bababa b例 ：已知都是正数求的最值和此时的值.典例分析典例分析2222222222,221212312.22261= 12=22312.2a bababababababab (2)因为都是正数所以当且仅当，即，时，等号成立，此时取得最大值解析：思考思考思考思考思考思考题型二题型二: :换元法求最值换元法求最值典例分析典例分析思考思考思考思考例例1:1:（1 1）已知已知 且且 ，求，求 的最小值的最小值. .（2 2）已知正数）已知正数 满足满足 ，求，求 的的最小值最小值. .,0 x y 1xy, x y112xy2xy21xy21212=()()332 22
4、=2- 2,21xyxyxyxyyxxyxyyx（解析：1）当且仅当，即时等号成立.111123(2)2(2 )()(3)222221212=,2224yxxyxyxyxyyxxyxy当且仅当，即时等号成立.题型三：常数代换法求最值题型三：常数代换法求最值典例分析典例分析(1)14 14991491101104 14 199212114 192154913122514925.1xxxxyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyxxyxx 当且仅当即时等号成立的最小值为解析：例例2 2：当：当 时，求时，求 的最小值的最小值. .xxy19401x典例分析典例分析正解正解:5225log,2
5、logxxx 当且仅当-即时等号成立.一正二定三相等三、错题辨析三、错题辨析2251( )log(01).logf xxxx例 ：求函数的范围222255( )log2 log2 5loglogf xxxxx解：解法是解法是否正确？否正确？注意注意: :各项各项必须为正必须为正2222222201log0,log055( )loglogloglog52log2 5logxxxf xxxxxxx max( )2 5f x 阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方。11,2 2221111(2 )()222,221a bRababababab，解 法 一 ：1121.abRabab例2
6、：已知 ，且，求的最小值111121,(2 )()111222,42.ababRabababababab由及 、的最小值法为解二：错题辨析错题辨析1112,111121,26.1 133 3abababababab ，当且仅当时成立又解法三：正确解法“1”代换法1121.abRabab例2：已知 ，且，求的最小值错题辨析错题辨析正解：正解：223当且仅当当且仅当baab2即即:ba2时取时取“=”号号122baba而222221ab即此时即此时223minzba11bbaaba22baab231121.abRabab例2：已知 ，且，求的最小值错题辨析错题辨析223,( ).1xxfxx例3：
7、已知求的最小值2(1)2(1)3( )1xxf xx解：3113.1xxx 当且仅当即时，等号成立3( )(1)21fxxx正 解 ：1(2)txt记，3=22 +y tt原式在 ， ）上单调递增，3112222y 所以，23.tx当且仅当即时等号成立3(1)21xx2 3+2错题辨析错题辨析例例4 4：求函数：求函数 的最小值的最小值. .2254xyx2222222254+11=4+244414=4xxyxxxxxx当解仅：且当时取等号解法是否解法是否正确？正确？错题辨析错题辨析正解正解: :例例4 4：求函数：求函数 的最小值的最小值. .2254xyx2222222min54+11=4
8、+44414,(2)152,0.2xxyxxxxtxytttytttxy 令 =则在2,+ )上是增函，解数当即时：错题辨析错题辨析求函数求函数41622 xxy的最大值的最大值3)1(164162222 xxxxy解：解：226311xx 3213122 xx3326 y22,131222 xxxx即即当且仅当当且仅当 时取得最大值时取得最大值 四四. .求参数的取值范围求参数的取值范围五五. .实际应用实际应用实际应用实际应用实际应用实际应用六六. .拓展延伸拓展延伸拓展延伸拓展延伸2222,1,3,103.2.5.2x y m nxymnmxnyBCD例 3： 设 实 数满 足那 么的
9、最 大 值 是 （）A.sin ,ycos ,m3sin,3cos,R.3sinsin3coscos3cos()3xnmxny方法一：设其中 ，解析 222222222222222223,+=+233.xymnm xn yn xm ym xn ynxmymxnymxny方 法 二 ： 由 已 知即33， 即拓展延伸拓展延伸2160()abab ab例4：已知，求的最小值.22222222220,0.()().24166464216.()64=2 2,21616.()ababbabab abaaab abaaab ababaab ab 当且，即时等号成立.的最小值为解析拓展延伸拓展延伸1.(20
10、17山东高考)若直线 (a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.1xyab七七. .高考再现高考再现2.(2018天津,13,5分)已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为 .18b高考再现高考再现33363112222 222 22 2,842 =23 ,360,3,1113,12.84aabababbababab ababab 由已知，得当且仅当时等号成立，由得，故当时，取得最小值解析:高考再现高考再现3.(2017天津,12,5分)若a,bR,ab0, 则 的最小值为 .4441abab解析：解析：a4+4b42a22b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成
11、立), =4ab+ ,由于ab0, 4ab+ 2 =4 当且仅当4ab = 时“=”成立 ,故当且仅当 时, 的最小值为4.4441abab2241a bab1ab1ab14abab1ab4441abab222,14ababab4.（2017全国卷）已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16 B14 C12 D10高考再现高考再现解析： 根据题意可知直线l1，l2的斜率存在且不为零，抛物线C的焦点F的坐标为(1，0)，设直线l1的方程为yk(x1)，代入抛物线方程得，k2x2
12、(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ，根据抛物线定义得|AF|x11，|BF|x21，所以|AB|AF|BF|x1x224 .因为l2l1，所以用 代替k，得|DE|44k2，所以|AB|DE|8 842 16，当且仅当k1时，等号成立，故所求的最小值为16.212222442kxxkk24k1k2214kk221kk5.(2018江苏,13,5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=120,ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为 .解析解析依题意画出图形,如图所示.易知SABD+SBCD=SABC,即csin 60+as
13、in 60=acsin 120,a+c=ac,+=1,4a+c=(4a+c)=5+9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”.1212121a1c11acca4acca4ac32高考再现高考再现一题多解一题多解1作DECB交AB于E,BD为ABC的平分线,=,DECB,=,=,=.=+.=,1=+2|,1=,ac=a+c,+=1,4a+c=(4a+c)=5+9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”.BABCADDCcaADACAEABDEBCcacBEaacBAEDcacBCBDaacBAcacBC2BD2acBABCacac2aBAac2cBCacaaccacBABC1222()()acac1
14、a1c11acca4acca4ac32高考再现高考再现一题多解一题多解2以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,则D(1,0).AB=c,BC=a,A,C.A,D,C三点共线,+c=0,ac=a+c,+=1,4a+c=(4a+c)=5+9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”.3,22cc3,22aaADDC12c32a3212a1a1c11acca4acca4ac32高考再现高考再现6.（2018全国卷）已知函数 ，则 的最小值是 . ( )2sinsin2f xxx( )f x222342( )2sinsin22sin (1 cos ),( )4sin(1 cos )4
15、(1 cos )(1 cos )43(1 cos )(1 cos )(1 cos )(1 cos )3427.413(1 cos )1 cos ,cos2273 33 3( )( ).422(f xxxxxf xxxxxxxxxxxxf xf xf x 因为所以当且仅当即时取等号，所以0，所以所以解析：3 3).2的最小值为高考再现高考再现7.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .解析解析本题考查基本不等式及其应用.设总费用为y万元,则y= 6+4x=4 240
16、.当且仅当x = ,即x=30时,等号成立.600 x900 xx900 x高考再现高考再现高考再现高考再现8.（2014新课标全国卷）已知点A(0，2)，椭圆E： 的离心率为 ，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为 ，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程22221(0)xyabab322 33解析：(1)设F(c，0)，由条件知， ，得c .又 ，所以a2，b2a2c21.故E的方程为 .22 33c332ca2214xy高考再现高考再现34(2)当lx轴时不合题意，故可设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)
17、将ykx2代入 得(14k2)x216kx120，当16(4k23)0，即k2 时， ，从而|PQ|x1x2| .又点O到直线l的距离 .所以OPQ的面积 .设 ，则t0， .因为 ，当且仅当t2，即 时等号成立，满足0，所以，当OPQ的面积最大时， ，l的方程为 或 .2214xy21,2282 4341kkxk222414341kkk 221dk2214 43241opQkSd PQk243,tk24444opQtSttt44tt72k 72k 722yx722yx 七七. .巩固练习巩固练习1 1、下列函数中，最小值为、下列函数中，最小值为4 4的是的是_._. 4yxx4sin0sin
18、yxxx4x-xyee3loglog 3 01xyxx1(12 )2xyxx2、己知0,求的最大值.1:8答案2,20,lglg_;x yxyxy3、正数满足的最大值224,26,.a bR abab、设则的最小值是6cos ,3sin,.6cos3sin3sin().abRabab 令的最小分析：值是-3.巩固练习巩固练习九、作业九、作业110(1 3 ).3xyxx、已知，求函数的最大值2yxz作业作业5、已知函数f(x)=ex+e-x,其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式mf(x)e-x+m-1在(0,+)上恒成立,则实数m的取值范围为.6、设a0,b0,且不等式 0恒成立,则实数k
19、的最小值等于.解法二解法二:(利用均值不等式性质利用均值不等式性质)1030 , 1 303xxx解析解析: :2max11 31 3131 3332121131 3 ,.612xxyxxxxxy 当且仅当即时有解法一：解法一： 2 2函函数数y y= =x x 1 1- -3 3x x = =- -3 3x x + +x x, , 然然后后利利用用二二次次函函数数的的性性质质即即可可求求解解. .110(1 3 ).3xyxx、已知，求函数的最大值作业解析作业解析作业解析作业解析作业解析作业解析作业解析作业解析2yxz作业解析作业解析5、已知函数f(x)=ex+e-x,其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式mf(x)e-x+m-1在(0,+)上恒成立,则实数m的取值范围为.作业解析作业解析6、设a0,b0,且不等式 0恒成立,则实数k的最小值等于.作业解析作业解析
