1、绝对值绝对值主讲：刘文峰主讲：刘文峰专题简析专题简析 绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题 下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析分析 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零即,00,0,0aaaaaa=-当时当时当时 绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值 结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反
2、数反之，相反数的绝对值相等也成立由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数例例 1 、a，b 为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ (1)|a+b|=|a|+|b|；(2)|ab|=|a|b|； (3)|a-b|=|b-a|； (4)若|a|=b，则 a=b； (5)若|a|b|，则 ab； (6)若 ab，则|a|b|解：解：(1)不对当 a，b 同号或其中一个为 0 时成立 (2)对 (3)对 (4)不对当 a0 时成立 (5)不对当 b0 时成立 (6)不对当 ab0 时成立 例例 2、 设有理数 a，b，c 在数轴上的对应点如图 1-1 所示，化简|b-a|+|
3、a+c|+|c-b| 解：解：由图1-1可知，a0，b0，c0， 且有|c|a|b|0根据有理数加减运算的符号法则，有b-a0，ac0，c-b0 再根据绝对值的概念，得 |b-a|=a-b，|a+c|=-(a+c)，|c-b|=b-c于是有 原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2cc b 0 a x 图11例 3 、已知x-3，化简： |3+|2-|1+x| 分析：分析： 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外从里往外一层一层地去绝对值符号 解：解：原式=|3+|2+(1+x)|(因为因为 1+x0) =|3+|3+x| =|3-(3+x)|(因为因为 3
4、+x0) =|-x| =-x例例 4 、 若若 的所有可的所有可能值是什么？能值是什么？ 解：解： 因为 abc0，所以 a0，b0，c0 (1)当 a，b，c 均大于零时，原式=3； (2)当 a，b，c 均小于零时，原式=-3； (3)当 a，b，c 中有两个大于零，一个小于零时， 原式=1； (4)当 a，b，c 中有两个小于零，一个大于零时， 原式=-1 所以 的所有可能值是3, 1 说明本例的解法是采取把 a，b，c 中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用0,|abcabcabc+则|abcabc+例例 5 、若|x|=3，|y|=
5、2，且|x-y|=y-x， 求 x+y 的值 解：解： 因为因为|x-y|0， 所以所以 y-x0，yx 由由|x|=3，|y|=2 可知，可知，x0， 即即 x=-3 (1)当当 y=2 时，时，x+y=-1； (2)当当 y=-2 时，时，x+y=-5 所以所以 x+y 的值为的值为-1 或或-5 例例 6、 若 a，b，c 为整数， 且|a-b|19+|c-a|99=1， 试计算|c-a|+|a-b|+|b-c|的值 解解 ：a，b，c 均为整数， 则 a-b，c-a 也应为整数， 且|a-b|19，|c-a|99为两个非负整数，和为 1，所以只能是 |a-b|19=0 且|c-a|99
6、=1， 或 |a-b|19=1 且|c-a|99=0 由有 a=b 且 c=a1，于是|b-c |=|c-a|=1； 由有 c=a 且 a=b1，于是|b-c|=|a-b|=1 无论或都有|b-c|=1 ，且|a-b|+|c-a|=1， 所以|c-a|+|a-b|+|b-c |=2例例 7 、若|x-y+3|与|x+y-1999|互为相反数，求 的值。 解：解： 依相反数的意义有|x-y+3|=-|x+y-1999| 因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有|x-y+3|=0 且|x+y-1999|=0即2xyxy+-例例 8 、化简：|3x+1|+|2x-1| 分析：分析： 本题是两个绝对
7、值和的问题解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事 例如，化简|3x+1|，只要考虑 3x+1 的正负，即可去掉绝对值符号这里我们是分 两种情况加以讨论的，此时 是一个分界点，类似地，对于|2x-1|而言， 是一个分界点，为同时去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点 标在数轴上，把数轴分为三部份(如图如图12所示所示)即 ，这样我们就可以分类讨论化简了。1133xx -与13x = -12x =1132-和1111,3322xxx- 说明说明 ：解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴
8、分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”例例 9 、已知 y=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|， 求 y 的最大值 分析：分析：首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者 解：解： 有三个分界点：-3，1，-1 (1)当 x-3 时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1， 由于 x-3，所以 y=x-1-4，y 的最大值是-4 (2)当-3x-1 时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11， 由于-3x-1，所以-45x+116，y 的最大值是 6 (3)当-1x
9、1 时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3， 由于-1x1，所以 0-3x+36，y 的最大值是 6 (4)当 x1 时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1， 由于 x1，所以 1-x0，y 的最大值是 0 综上可知，当综上可知，当 x=-1 时，时，y 取得最大值为取得最大值为 6例例 10、 设 abcd， 求|x-a|+|x-b|+|x-c |+|x-d|的最小值 分析：分析：本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦若能利用|x-a|，|x-b|，|x-c |，|x-d|的几何意义来解题，将显得更加简捷便利 解：解：设a，b，c，d，x在数轴上的
10、对应点分别为A，B，C，D，X，则|x-a|表示线段AX 之长， 同理，|x-b|，|x-c|，|x-d|分别表示线段BX，CX，DX之长现要求|x-a|，|x-b|，|x-c|，|x-d|之和的值最小，就是要在数轴上找一点 X，使该点到 A，B，C，D 四点距离之和最小 因为 abcd，所以 A，B，C，D 的排列应如图 13 所示： 所以当 X 在 B，C 之间时，距离和最小， 这个最小值为 AD+BC，即(d-a)+(c-b)例例 11、 若 2x+|4-5x|+|1-3x|+4 的值恒为常数，求 x 该满足的条件及此常数的值 分析与解分析与解 要使原式对任何数 x 恒为常数，则去掉绝对
11、值符号，化简合并时，必须使含 x 的项相加为零，即 x 的系数之和为零故本题只有 2x-5x+3x=0 一种情况因此必须有 |4-5x|=4-5x 且且|1-3x|=3x-1 故 x 应满足的条件是 解之得： 此时，原式原式=2x+4-5x-(1-3x)+4=7450310 xx- 1435x 1x 是什么实数时，下列等式成立： (1)|(x-2)+(x-4)|=|x-2|+|x-4|； (2)|(7x+6)(3x-5)|=(7x+6)(3x-5) 2化简下列各式： (1) (2)|x+5|+|x-7|+|x+10| 3若 ab0，化简|a+b-1|-|3-a-b| 4已知 y=|x+3|+|x-2|-|3x-9|，求 y 的最大值|xxx- 5设 T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|， 其中 0p15，对于满足 px15 的 x 来说，T 的最小值是多少？ 6已知 ab，求|x-a|+|x-b|的最小值 7不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果|a-b|+|b-c|=|a-c|， 那么B点应为( ) (1)在 A，C 点的右边； (2)在 A，C 点的左边；(3)在 A，C 点之间； (4)以上三种情况都有可能
