1、本章主要内容本章主要内容 线性相位线性相位FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点 用窗函数法设计用窗函数法设计FIR滤波器滤波器 用频率采样法设计用频率采样法设计FIR滤波器滤波器第六章第六章 有限长脉冲响应有限长脉冲响应(FIR)(FIR)数字滤波器的设计数字滤波器的设计方法方法1 1： 设计满足幅度指标要求的设计满足幅度指标要求的IIR滤波器滤波器，再加，再加线性相位校正网络线性相位校正网络（如全通网络）（如全通网络）；设计复杂，成本高；设计复杂，成本高；方法方法2 2： 用用FIR滤波器滤波器的设计方法，幅度特性满足技术要求，又保证严的设计方法，幅度特性满足技术要求，又保证严格的格的线性
2、相位线性相位。线性相位数字滤波器的实现线性相位数字滤波器的实现h(n)是是FIR滤波器的单位脉冲响应，长度为滤波器的单位脉冲响应，长度为N，则其系统函数为：，则其系统函数为：10()()( )()( )Njj nnjjgH eh n eH eHe H(z)=z-no 收敛域包括单位圆；收敛域包括单位圆；o z平面上有平面上有N-1个零点；个零点；o z=0是是N-1阶极点阶极点;特点：特点：FIR滤波器滤波器永远稳定和容易实现线性相位永远稳定和容易实现线性相位6.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点对于长度为对于长度为N的的h(n)，传输函数为：，传输函数为：注意：注意：
3、 H ()为为的实函数，可能取负值；的实函数，可能取负值； |H(ej)|称为幅度响应，总是正值称为幅度响应，总是正值H ()称为幅度函数，称为幅度函数，()称为相位函数称为相位函数一、线性相位条件一、线性相位条件10()()( )()( )Njj nnjjgH eh n eH eHe 10()()()()()NjjnnjjgHehneHeHe10()()( )()( )Njj nnjjgH eh n eH eHe =H ()但上两种情况都满足但上两种情况都满足群时延群时延是一个常数是一个常数第一类线第一类线性相位性相位第二类线第二类线性相位性相位() =, 为常数；为常数；()=0，0是起始
4、相位是起始相位线性相位是指线性相位是指()()是是的线性函数，即：的线性函数，即：1、什么是线性相位、什么是线性相位()dd ()dd -=h(n)是以是以(N-1)/2偶对称实序列偶对称实序列，即：，即： h(n) = h(N n 1)2 2、第一类线性相位条件、第一类线性相位条件N N为奇数的情况为奇数的情况n n21N 0 0h(n)N N为偶数的情况为偶数的情况n n21N 0 0h(n)h(n)是以是以(N-1)/2奇对称实序列奇对称实序列，即：，即： h(n) =h(N n 1)3 3、第二类线性相位条件、第二类线性相位条件N N为偶数的情况为偶数的情况N N为奇数的情况为奇数的情
5、况n n21N 0 0h(n)n n21N 0 0h(n)4、第一类线性相位特点、第一类线性相位特点1010( )( )( )(1)NnnNnnH zh n zH zh Nnz1010( )( )( )(1)NnnNnnH zh n zH zh Nnz11(1)(1)00(1)1( )( )( )( )()NNN mNmmmNH zh m zzh m zH zzH z令：令：m=N-n-1,则有则有11(1)(1)00(1)1( )( )( )( )()NNN mNmmmNH zh m zzh m zH zzH z11(1)(1)00(1)1( )( )( )( )()NNN mNmmmNH
6、zh m zzh m zH zzH z1(1)1(1)01111()222011( )( )()( )221( ) 2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh nzzzzh nzz 1(1)1(1)01111()222011( )( )()( )221( )2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh nzzzzh nzz 1(1)1(1)01111()222011( )( )()( )221( ) 2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh nzzzzh nzz 将将z=e j代入上式，得到：代入上式，得到：11()20101()( )cos()21()( )cos()
7、21()(1)2NNjjnNgnNH eeh nnNHh nnN 11()20101()( )cos()21()( )cos()21()(1)2NNjjnNgnNH eeh nnNHh nnN 相位函数相位函数幅度函数幅度函数11()20101()( )cos()21()( )cos()21()(1)2NNjjnNgnNH eeh nnNHh nnN H第二类线性相位条件证明第二类线性相位条件证明110011(1)(1)00(1)1( )( )(1)( )( )( )( )()NNnnnnNNN mNmnnNH zh n zh NnzH zh m zzh m zH zzH z 110011(1
8、)(1)00(1)1( )( )(1)( )( )( )( )()NNnnnnNNN mNmnnNH zh n zh NnzH zh m zzh m zH zzH z 1(1)1(1)01111222011( )( )()( )221( )2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh n zzzzh nzz 1(1)1(1)01111222011( )( )()( )221( )2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh nzzzzh nzz 1(1)1(1)01111222011( )( )()( )221( )2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh n zzzzh
9、 nzz 1120112201()( )( )sin ()21( )sin ()2jNNjjz enNNjjnNH eH zjeh nnNeh nn 将将z=e z=e jj代入上式，得到：代入上式，得到：1120112201()( )( )sin ()21( )sin ()2jNNjjz enNNjjnNH eH zjeh nnNeh nn 1120112201()( )( )sin ()21( )sin ()2jNNjjz enNNjjnNH eH zjeh nnNeh nn 1120112201()( )( )sin ()21( )sin ()2jNNjjz enNNjjnNH eH z
10、jeh nnNeh nn 相位函数相位函数101()( )sin()21()()22NgnNHh nnNQ 11()20101()( )cos()21()( )cos()21()(1)2NNjjnNgnNH eeh nnNHh nnN 幅度函数幅度函数110011(1)(1)00(1)1( )( )(1)( )( )( )( )()NNnnnnNNN mNmnnNH zh n zh NnzH zh m zzh m zH zzH z 110011(1)(1)00(1)1( )( )(1)( )()()( )()NNnnnnNNNmNmnnNH zh n zh NnzH zh m zzh m zH
11、 zzH z m=011()20101()( )cos()21()( )cos()21()(1)2NNjjnNgnNH eeh nnNHh nnN 第一类相位函数条件第一类相位函数条件:h(n)偶对称偶对称)(02)1N( -第二类相位函数条件第二类相位函数条件:h(n)奇对称奇对称101()( )sin ()21()()22NgnNHh nnNQ 11()20101()( )cos() 21( )( )cos() 21( )(1)2NNjjnNgnNH eeh nnNHh nnN )()23(N0221、h(n)=h(N-n-1)，N=奇数奇数 由前面推导的幅度函数由前面推导的幅度函数H (
12、)为：为：二、线性相位二、线性相位FIR滤波器幅度函数的特点滤波器幅度函数的特点特点：特点：l h(n)对对(N-1)/2偶对称，余弦项也对偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称；偶对称；l 以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，因为中心，把两两相等的项进行合并，因N为奇数，余下中间项为奇数，余下中间项n=(N-1)/2101( )( )cos() 2NgnNHh nnH ()(3)/20(1)/20(1)/2011( )()2 ( )cos() 2211( )()2 ()cos22( )( )cosNgnNgnNgnNNHhh nnNNHhhmnHa nn(3)/20(1)/20
13、(1)/2011( )()2 ( )cos() 2211( )()2 ()cos22( )( )cosNgnNgnNgnNNHhh nnNNHhhmnHa nnm=1令令m=(N-1)/2-n(3)/20(1)/20(1)/2011( )()2 ( )cos() 2211( )()2 ()cos22( )( )cosNgnNgnNgnNNHhh nnNNHhhmnHa nnH ()1(0)()211( )2 (),1,2,3,22NahNNa nhnn1(0)()211( )2 (),1,2,3,22NahNNa nhnn其中其中，幅度函数特点：幅度函数特点：(1) 式中式中 cos n 项对
14、项对 =0, , 皆为偶对称，则幅度特性对皆为偶对称，则幅度特性对 =0, , 是偶对称是偶对称的。的。(2) 可实现所有滤波特性（低通、高通、带通、带阻）。可实现所有滤波特性（低通、高通、带通、带阻）。 H ()=2、h(n)=h(N-n-1)，N=偶数偶数 推导情况和前面推导情况和前面N为奇数相似，不同点是由于为奇数相似，不同点是由于N为偶数，为偶数，Hg()中没有单独项，相等的项合并成中没有单独项，相等的项合并成N/2项。项。/21/211( )2 ()cos ()221( )( )cos ()2( )2 (),1,2,)22NgmNgnNHhmmHb nnNNb nhn n/21/21
15、1( )2 ()cos ()221( )( )cos ()2( )2 (),1,2,)22NgmNgnNHhmmHb nnNNb nhn n/ 21/ 211()2 ()cos()221()( )cos()2( )2 (),1,2,)22NgmNgnNHhmmHb nnNNb nhnn其中：其中：令令m=N/2-n101201( )( )cos() 212 ( )cos ()2NgnNnNHh nnNh nn101201( )( )cos() 212 ( )cos ()2NgnNnNHh nnNh nnH ()幅度特点：幅度特点：(1) 当当= 时，时，故故H ( )=0，即，即H(z)在在z
16、= 1处，有一零点处，有一零点；(2) 由于由于cos(n )对对w= 奇对称，所以奇对称，所以H()在在 = 呈奇对称呈奇对称；(3) 用这种滤波器设计方法用这种滤波器设计方法不能实现高通、带阻滤波器不能实现高通、带阻滤波器；H ()3、h(n)=-h(N-n-1)，N=奇数奇数由前面推导的幅度函数可得：由前面推导的幅度函数可得：(1)/21( )( )sin11( )2 (),1,2,22NgnHc nnNNc nhn n(1)/21()( )sin11( )2 (),1,2,22NgnHc nnNNc nhnn)-(-=-=-21Nh)121NN(h)21N(h由于由于h(n)=-h(N
17、-n-1)，当，当n=(N-1)/2时：时：h(n)和和正弦项都对正弦项都对(N-1)/2奇对称，相同项合并，共合并奇对称，相同项合并，共合并(N-1)/2项。项。h(N-1)/2=0(1)/21( )( )sin11( )2 (),1,2,22NgnHc nnNNc nhn n(1 ) / 21()() s in11()2() ,1, 2 ,22NgnHcnnNNcnhnn n0(N-3)/22h(n)Sin( - n)(1) / 21()( )sin11( )2 (),1,2,22NgnHc nnNNc nhnn 令令m=(N-1)/2-n101( )( )sin ()2NgnNHh nn
18、H ()幅度特点：幅度特点：(1) 幅度函数幅度函数H()在在 =0, , 呈呈奇对称。奇对称。(2) H()在在 =0、 、2 处值为处值为0，即，即H(z)零点在零点在z= 1处处，只能，只能实现实现带通滤波器带通滤波器;H ()4 h(n)=h(N-n-1)，N=偶数偶数令：令：m=N/2-n，则有：，则有：/21/211( )2 ()sin ()221( )( )sin ()2( )2 (),1,2,3,22NgmNgnNHhmmHd nnNNd nhn n/21/211()2 ()sin()221()( )sin()2( )2 (),1,2,3,22NgmNgnNHhmmHd nnN
19、Nd nhnn1120011( )( )sin ()2 ( )sin)22NNgnnNNHh nnh nnH ()/21/211( )2 ()sin ()221( )( )sin ()2( )2 (),1,2,3,22NgmNgnNHhmmHd nnNNd nhn nH ()幅度特点：幅度特点：(1)由于由于sin(n-)在在 =0、2 处都为处都为0，因此，因此H ()在在 =0，2 处也处也为为0，H(z)在在z=1处为零点；处为零点；不能实现低通、带阻滤波器不能实现低通、带阻滤波器。(2)由于由于sin(n)在在 =0、2 处都呈奇对称，对处都呈奇对称，对 = 呈偶对称，呈偶对称，故幅度
20、函数故幅度函数H()在在 =0, 也呈也呈奇对称，在奇对称，在 = 处呈偶对称处呈偶对称。H ()第一类和第二类线性相位的系统函数综合起来用下式表示：第一类和第二类线性相位的系统函数综合起来用下式表示：三、零点位置三、零点位置表明：表明：l 如果如果z=zi是是H(z)的零点的零点，则则z=zi-1也是也是H(z)的零点的零点。l 由于由于h(n)为实序列，零点必定共轭成对。则为实序列，零点必定共轭成对。则zi*和和(zi-1)*也是也是 H(z)的零点；即的零点；即H(z)的的零点必定互为倒数的共轭对。零点必定互为倒数的共轭对。01Re(z)jIm(z)Zi-1ZiZi*(Zi-1)*(1)
21、分析：分析：(1) 当当zi不在实轴上，不在不在实轴上，不在|z|=1上，则上，则零点零点是互为倒数的两组共轭对；是互为倒数的两组共轭对；确定了一个零确定了一个零点，其它三个确定了。点，其它三个确定了。(2) 当当zi不在实轴上，但在不在实轴上，但在|z|=1上，由于共上，由于共轭对的倒数是它们本身，故此时轭对的倒数是它们本身，故此时零点是零点是一组共轭对一组共轭对；Re(z)jIm(z)Zi01ZI*(2)(3) zi在实轴上，不在在实轴上，不在|z|=1上，则零点是上，则零点是互为倒数两个实数零点互为倒数两个实数零点；-1(4)01jIm(z)Re(z)(4) zi在实轴上，也在在实轴上，
22、也在|z|=1上，则零点只有上，则零点只有一个，或位于一个，或位于z=1，或位于，或位于z = 1。ZI101jIm(z)Zi(3)Re(z)例：如果系统的单位脉冲响应为例：如果系统的单位脉冲响应为(1) 判断该系统是否具有线性相位，说明理由。判断该系统是否具有线性相位，说明理由。(2) 求出该系统的频率响应，画出幅度、相位和群时延特性曲线。求出该系统的频率响应，画出幅度、相位和群时延特性曲线。,()0 ,jacjdceHeh(n)1，0n 50，其他，其他n一、设计思想一、设计思想 设希望设计的滤波器传输函数为设希望设计的滤波器传输函数为H Hd d(e(ejj) )，h hd d(n)(n
23、)是与其对应的是与其对应的单位脉冲响应，因此单位脉冲响应，因此 ： 6.2 6.2 用窗函数法设计用窗函数法设计FIRFIR滤波器滤波器n问题问题：一般情况下一般情况下H Hd d(e(ejj) )是逐段恒定的，在边界频率处有不连续是逐段恒定的，在边界频率处有不连续点，所以点，所以h hd d(n)(n)是无限时宽，且为非因果，这样的系统不能实现。是无限时宽，且为非因果，这样的系统不能实现。例例：一理想低通滤波器的传输函数：一理想低通滤波器的传输函数Hd(ej)为为,()0,jacjdceHe相应的单位脉冲响应相应的单位脉冲响应h hd d(n) (n) 为为)()(sin)(2121)()(
24、ananwanjedweenhCwwanjwjwnwwjwadCCCC hd(n)nhd(n)是无限时宽，非因果序列是无限时宽，非因果序列0c-c|Hd(ej)|1要求要求: (1) 得到一得到一因果序列因果序列h(n)； (2) 构造构造一个长度为一个长度为N的线性相位滤波器的线性相位滤波器； 将将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称对称(线性相位线性相位)。设截取的一段用设截取的一段用h(n)表示，即表示，即h(n)=hd(n)RN(n)RN(n)n0N-1hd(n)nh (n)na(N-1)/2矩形窗的长度为矩形窗的长度为N N，且，且a
25、a(N-1)/2(N-1)/2时时，满足，满足上述两个要求。上述两个要求。10( )( )NnnH zh n z1sin()( )2()ccj aj ncdnah needna1sin()( )2()ccj aj ncdnahneedna二、加窗处理对二、加窗处理对FIR滤波器幅频特性的影响滤波器幅频特性的影响 设计过程中，加窗后的单位响应序列为设计过程中，加窗后的单位响应序列为 h(n)= hh(n)= hd d(n)(n) R RN N(n)(n)。即。即用一个用一个有限长的序列有限长的序列h(n)h(n)去代替一个去代替一个无限长的序列无限长的序列h hd d(n)(n)，会产生会产生误
26、差，时域中是误差，时域中是截断处理截断处理，在频域表现出的现象就是，在频域表现出的现象就是通带和阻带中通带和阻带中有波动有波动，也称为吉布斯效应，也称为吉布斯效应( (截断效应截断效应) )。 这样设计出来的这样设计出来的频响频响 H(eH(ejwjw) ) 只能是尽量逼近要求的只能是尽量逼近要求的H Hd d(e(ejwjw) )h(n)= hd(n)RN(n)(1()()()2jjjdNH eHeRed (1()()()2jjjdNH eHeRed (1()()()2jjjdNH eHeRed (1()()()2jjjdNH eHeRed *(1()()()2jjjdNH eHeRed (
27、1()()()2jjjdNH eHeRed 分析：频域卷积定理111(1)200sin(/2()( )( )sin(/2)NNjNjj nj njaNNNnnNReRn eeeRe111(1)200sin(/2()( )( )sin(/2)NNjNjj nj njaNNNnnNReRn eeeRe)()( )jj addHeHe()()jjaddHeHe()( )jj addHeHe1,()0,cdcH矩形窗的幅度函数理想低通滤波器的幅度特性理想低通滤波器的幅度特性()1()( )()21( )()2jj ajadNj adNH eHeRedeHRd ()1()( )()21( )()2jj
28、ajadNj adNH eHeRedeHRd ()( )1( )( )()2jj adNH eHeHHRd()()jjaddHeHesin(/21(),sin(/2)2NNNR*()( )1( )( )()2jj adNH eHeHHRd结论：结论：设计出来的滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度设计出来的滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性特性H Hd d()()与矩形窗幅度特性与矩形窗幅度特性R Rd d()()的卷积。的卷积。Hd()与与Rd()卷积形成卷积形成H()的过程的过程()1()( )()21( )()2jj ajadNj adNH eHeRedeHRd ()( )1
29、( )( )()2jj adNH eHeHHRdWc+2/NWc2/NH(w)H(w)最大的正峰与最大的正峰与最大的负峰对应的最大的负峰对应的频率相差频率相差4/N4/NH()与原理想低通与原理想低通 Hd()差别有以下差别有以下2点：点： H()在在 =C附近形成过渡带附近形成过渡带，过渡带，过渡带宽度宽度B=4 /N，近似于矩，近似于矩形序列形序列幅度谱幅度谱RN()的主瓣宽度的主瓣宽度； 通带内增加了通带内增加了波动波动，最大的峰值在，最大的峰值在 =C 2 /N 处，阻带内产生处，阻带内产生了了余振余振，最大的负峰值在，最大的负峰值在 =C+2 /N 处。幅度谱处。幅度谱RN()波动越
30、快波动越快(N加大加大)，通带、阻带内波动越快，其旁瓣的大小直接影响，通带、阻带内波动越快，其旁瓣的大小直接影响H()波波动的大小。动的大小。 Hd()在加窗后在频域中的现象称为吉布斯效应在加窗后在频域中的现象称为吉布斯效应影响影响: : (1)(1)通带内的波动影响滤波器通带的通带内的波动影响滤波器通带的平稳性平稳性；(2)(2)阻带内波动影响阻带内波动影响阻带的衰减阻带的衰减，可使最小衰减不满足技术要求；，可使最小衰减不满足技术要求；减小吉布斯效应措施减小吉布斯效应措施1、增加、增加N值值l 可减小过渡带宽度可减小过渡带宽度，由于，由于主瓣与旁瓣幅度也增加，且主瓣和旁主瓣与旁瓣幅度也增加，
31、且主瓣和旁瓣的瓣的相对值不变相对值不变， H(w)的波动幅度没有改变。的波动幅度没有改变。l 带内最大肩峰比带内最大肩峰比H(0)高高8.95%，阻带最大负峰比零值超过，阻带最大负峰比零值超过8.95% 。使阻带最小的使阻带最小的衰减只有衰减只有21dB。l 谱间干扰未减小，波动更明显，因此谱间干扰未减小，波动更明显，因此加大加大N并不是减少吉布斯并不是减少吉布斯效应的有效方法效应的有效方法；2、改善窗函数的形状、改善窗函数的形状 减少带内波动以及加大阻带的衰减只能从减少带内波动以及加大阻带的衰减只能从窗函数的形状窗函数的形状找出解找出解决方法，主要考虑以下决方法，主要考虑以下2点因素：点因素
32、：(1) 尽量尽量减小主瓣宽度减小主瓣宽度，以获得较窄的过渡带；，以获得较窄的过渡带；(2) 尽量使窗函数的尽量使窗函数的最大副瓣最大副瓣相对于主瓣要小，使设计出来的滤波相对于主瓣要小，使设计出来的滤波器幅度特性中器幅度特性中肩峰和余振较小肩峰和余振较小，阻带衰减较大。，阻带衰减较大。三、几种常见的窗函数三、几种常见的窗函数1、矩形窗、矩形窗 (Rectangle Window) wR(n)=RN(n) 其频率响应其频率响应为为1(1)2sin(/2)()sin(/2)jNjRNWee05 . 00 . 1)(nw1Nn21N WR(ejw)主瓣宽度为主瓣宽度为4 /N，第一副瓣比主瓣低，第一
33、副瓣比主瓣低13dB。dB0806020400)e(Wlg20jN2w2、三角窗、三角窗 (Bartlett Window)，巴特利特窗，巴特利特窗21,0(1)12( )212,(1)112BrnnNNnnNnNN05 . 00 . 1n)(nw1N21N W WBrBr(e(ejwjw) )主瓣宽度为主瓣宽度为8 8 /N/N； 第一副瓣比主瓣低第一副瓣比主瓣低26dB26dB。dB0204060800N2)e(Wlg20jw1()22sin()4()2 sin( /2)NjjBrNNWee1()22sin()4()2 sin( /2)NjjBrNNWee1()22sin()4()2 si
34、n( /2)NjjBrNNWee1()22sin()4()2 sin( /2)NjjBrNNW ee2 3. 汉宁汉宁(Hanning)窗窗升余弦窗升余弦窗1211222( )0.51cos()( )1()( )()2()( )0.5()0.25()12()()1HnNNjjRNRjHnHnRRNNjjRHnnnRnNWeFT RnWeWeFT WnWWNWeWeN频响函数频响函数22()0.5()0.25()()HnRRRWWWWNN其幅度函数其幅度函数05 . 00 . 1)(nw1Nn21NW WHnHn(e(ejwjw) )主瓣宽度为主瓣宽度为8 8 /N/N，第一副瓣比，第一副瓣比主
35、瓣低主瓣低33dB33dB。0N2dB020406080w w)e(Wlg20j1211222( )0.51cos()( )1()( )( )2()( )0.5( )0.25()12()( )1HnNNjjRNRjHnHnRRNNjjRHnnnRnNWeFT RnWeWeFT WnWWNWeWeN1211222( )0.51cos()( )1()( )( )2()( )0.5( )0.25()12()( )1HnNNjjRNRjHnHnRRNNjjRHnnnRnNWeFT RnWeWeFT WnWWNWeWeN| |4哈明窗哈明窗 (Hamming Window)改进的余弦窗改进的余弦窗2(
36、)0.540.46 cos()( )1HmNnnRnN22()()11()0.54()0.23()0.23()22()0.54()0.23()0.23()11jjjjNNHmRRRjHmRRRWeWeWeWeWWeWWNN22()()11()0.54()0.23()0.23()22()0.54()0.23()0.23()11jjjjNNHmRRRjHmRRRWeWeWeWeWWeWWNN05 . 00 . 1)(nwn21N1NW WHmHm(e(ejwjw) )主瓣宽度为主瓣宽度为8 8 /N/N，第一副瓣比，第一副瓣比主瓣低主瓣低40dB40dB。dB0806020400N2)e(Wlg2
37、0jw5布莱克曼窗布莱克曼窗 (Blackman Window):二阶升余弦窗二阶升余弦窗24( )0.420.5 cos0.08 cos( )11BlNnnnRnNN22()()11R22()()11()0.42()0.25()()0.04()()jjjjNNBlRRjjNNRRWeWeWeWeWeWe22()0.42()0.25()()11440.04()()11BlRRRRRWWWWNNWWNN21N05 . 00 . 1n)(nw1NW WBlBl(e(ejwjw) )主瓣宽度为主瓣宽度为1212 /N/N，第，第一副瓣比主瓣低一副瓣比主瓣低57dB57dB。22()()11R22()
38、()11()0.42()0.25()()0.04()()jjjjNNBlRRjjNNRRWeWeWeWeWeWe0N2dB020406080w)e(Wlg20j6、凯塞、凯塞-贝塞尔窗贝塞尔窗 (Kaiser-Basel Window),)112(1;10,)()()(200 NnNnIInWk 其其中中 120)2(!11)(kkxkxI 参数用以参数用以控制窗的形状控制窗的形状，影响滤波器的性能参数，影响滤波器的性能参数， 加大，主瓣加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为：加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为：44 99；当；当 5.445.44时，窗函时，窗函数接近哈明窗，数接近哈明窗， 7
39、.8657.865时，窗函数接近布莱克曼窗。时，窗函数接近布莱克曼窗。凯塞窗的幅度函数为：凯塞窗的幅度函数为：I0(x)取取1525项，可项，可满足精度要求满足精度要求,)112(1;10 ,)()()(200 NnNnIInWk 其其中中I I0 0(x) (x) 是零阶第一类修正贝塞尔函数是零阶第一类修正贝塞尔函数(1)/21( )(0)2( )cosNkkknWnn凯塞窗参数对滤波器的性能影响凯塞窗参数对滤波器的性能影响 六种窗函数的基本参数六种窗函数的基本参数 四、窗函数法的设计步骤四、窗函数法的设计步骤1确定希望逼近的滤波器的频响函数确定希望逼近的滤波器的频响函数Hd(ej)2 2、
40、根据、根据Hd(ej)确定其对应的单位脉冲响应确定其对应的单位脉冲响应h hd d(n)(n)22101( )()MjkjknMMMdkhnHeeMIDFT( )()MdrhnhnrMRM(n)1( )()2jjddh nHee dn(1) Hd(ej)可封闭求解，则：可封闭求解，则：(2) Hd(ej) 不可封闭求解，对不可封闭求解，对Hd(ej) 从从 =0 2 采样采样M点，采样值点，采样值为为 Hd(ej2 k/M)，k=0,1,M-1，用，用2 /M 代替上式中代替上式中d ，则：，则：(3) 如果已知通带如果已知通带(或阻带或阻带)衰减和边界截止频率衰减和边界截止频率c，选，选理想
41、滤波器理想滤波器作作为逼近函数，对理想滤波器频响函数作为逼近函数，对理想滤波器频响函数作 IFT ，求出，求出 hd(n)。,()0,jacjdceHe)()(sin)(2121)()(ananwanjedweenhCwwanjwjwnwwjwadCCCC )()(sin)(2121)()(ananwanjedweenhCwwanjwjwnwwjwadCCCC 2 2、选择窗函数、选择窗函数 根据根据过渡带过渡带与与阻带衰减阻带衰减的要求，选择满足条件的的要求，选择满足条件的窗函数形式窗函数形式，并并估计窗口长度估计窗口长度N。原则是保证阻带衰减的前提下，尽量选主瓣窄。原则是保证阻带衰减的前提
42、下，尽量选主瓣窄的窗函数。的窗函数。3、计算所要设计的滤波器的单位采样响应、计算所要设计的滤波器的单位采样响应h(n) 计算滤波器的单位取样响应计算滤波器的单位取样响应 h(n)= hd(n) w(n)。其中。其中 w(n)是上面是上面选择好的窗函数，选择好的窗函数，hd(n)与与w(n)都应满足线性相位要求。都应满足线性相位要求。 4 4、验证技术指标是否满足要求、验证技术指标是否满足要求 已设计出的滤波器的频率响应已设计出的滤波器的频率响应 。验算。验算H(ej)是否满足设计要求，若不满足要求，重复上面是否满足设计要求，若不满足要求，重复上面2，3，4过程。过程。10()( )Njj nn
43、H eh n e窗函数法优点：窗函数法优点： 从时域出发的一种设计方法，设计简单，方便，实用。从时域出发的一种设计方法，设计简单，方便，实用。缺点是：缺点是： 要求用计算机实现，边界频率不易控制。要求用计算机实现，边界频率不易控制。Hd(ej)h(n)hd(n)IFT加窗截断加窗截断FT比较，满足设计要求，则设计完毕，不合格则修改窗函数比较，满足设计要求，则设计完毕，不合格则修改窗函数H (ej)例：例：用矩形窗设计法设计一个用矩形窗设计法设计一个FIR线性相位低通滤波器，已知线性相位低通滤波器，已知c =0.5，N=21， (N-1)/2，画出画出h(n)和和20lg|H()/H(0)|曲线
44、，再计曲线，再计算正、负肩峰的位置和过渡带宽带度。算正、负肩峰的位置和过渡带宽带度。单位脉冲响应单位脉冲响应h hd d(n)(n)为为: :1sin()( )2()ccj aj ncdnah needna)an( )an( 5 . 0sin-=1sin()( )2()ccj aj ncdnah needna,()0,j acjdceHe,()0,j acjdceHe,()0,j acjdceHe,()0,j acjdceHe解解：理想滤波器的频响为：理想滤波器的频响为：计算得：计算得：hd(n)，0，1/9，0，1/7，0， 1/5， 0，1/3， 0， 1/， 0.5， 1/， 0， -1
45、/3， 0， 1/5，0， -1/7，0， 1/9，0 ，n=0加矩形窗：加矩形窗：h(n)=hd(n).RN(n) h(n) 0，0.0354，0，-0.0455，0，0.0637，0，-0.1061，0，0.3183， 0.50，0.3183，0， -0.1061，0，0.0637，0，-0.0455，0，0.0345，0 h(n)0，1/9，0，1/7，0， 1/5， 0，1/3， 0， 1/， 0.5， 1/， 0， -1/3， 0， 1/5，0， -1/7，0， 1/9，0 20lg|H()/H(0)|曲线如下：曲线如下：正肩峰正肩峰A点：点：c- 2/N0.5- 2/21 20lg
46、(1.0895) = 0.74dB临界频率临界频率B点：点：c0.5 20lg(0.5) = -6dB负肩峰负肩峰C点：点：c2/N0.52/21 20lg(0.0895) = -21dB过渡带过渡带AC宽度为：宽度为：c2/N (c-2/N) = 4/N = 0.19 一、频率采样法基本原理一、频率采样法基本原理设设 Hd(ej) 为所要设计的数字滤波器的频率响应，则为所要设计的数字滤波器的频率响应，则:1、在、在 = 范围内对范围内对 Hd(ej) 进行进行N点等间隔采样，得到点等间隔采样，得到Hd(k)6.3 用频率采样法设计用频率采样法设计FIR滤波器滤波器2210( )(),0,1,
47、2,11( )( ),0,1,2,1jddkDNjknNdkHkHekNh nHk ekNN2210( )(),0,1,2,11( )( ),0,1,2,1jddkDNjknNdkHkHekNh nHk ekNN2210( )(),0,1,2,11( )( ),0,1,2,1jddkDNjknNdkH kH ekNh nH k ekNN2210( )(),0,1,2,11( )( ),0,1,2,1jddkDNjknNdkHkHekNh nHk ekNN2210( )(),0,1,2,11( )( ),0,1,2,1jddkDNjknNdkHkHekNh nHk ekNN2210( )(),0
48、,1,2,11( )( ),0,1,2,1jddkDNjknNdkHkHekNh nHk ekNN2、对、对N点点Hd(K)进行进行IDFT，得所设计的滤波器的单位脉冲响应，得所设计的滤波器的单位脉冲响应h(n)3对求出的对求出的h(n)进行进行z变换，得到滤波器的系统函数变换，得到滤波器的系统函数H(z)10( )( )NnnH zh n z12011( )( )1NNdjkkNzHkH zNez或利用频域内插公式（或利用频域内插公式（P88P88）Hd(ej)Hd(k)h(n)H(ej)等间隔采样等间隔采样IDFT内插函数内插函数是否满足指标是否满足指标二、线性相位的约束二、线性相位的约束
49、(1) 第一类线性相位：第一类线性相位：h(n)偶对称，偶对称，N为奇数为奇数kNNkNNk1221kkjkjkNjeHekNHeHkH)2()()(221)()()()(NjjjeHeHeH特点：特点：幅度函数幅度函数H()关于关于=0，2偶对称，偶对称， H () = H(2 )采样值：采样值： Hk关于关于N/2偶对称，即：偶对称，即： Hk= HN-k 相位采样值：相位采样值：(2) 第一类线性相位：第一类线性相位：h(n)偶对称，偶对称，N为偶数为偶数kNNkNNk1221kkjkjkNjeHekNHeHkH)2()()(221)()()()(NjjjeHeHeH特点：特点：幅度函数
50、幅度函数H()关于关于=奇对称，奇对称， H () = -H(2 )采样值：采样值： Hk关于关于N/2奇对称，即：奇对称，即： Hk= -HN-k ，且，且HN/2 =0 相位采样值：相位采样值：(3) 第二类线性相位：第二类线性相位：h(n)奇对称，奇对称，N为奇数为奇数212221kNNkNNkkkjkjkNjeHekNHeHkH)2()()(2)221()()()()(NjjjeHeHeH特点：特点：幅度函数幅度函数H()关于关于=0，2奇对称，奇对称， H () = -H(2 )采样值：采样值： Hk奇对称，即：奇对称，即： Hk= -HN-k 相位采样值：相位采样值：(4) 第二类
