1、一、共线四点的交比一、共线四点的交比交比 最根本的射影不变量 定义.1.共线四点P1, P2, P3, P4的交比交比(P1P2,P3P4)等于两个单比)()(),(4213214321PPPPPPPPPP称P1, P2为基点偶基点偶， P3, P4为分点偶分点偶.(1.1)(),(421321PPPPPP之比，即1一、共线四点的交比一、共线四点的交比324142314213214321)()(),(PPPPPPPPPPPPPPPPPP(1.2) 定理定理1.1 1.1 基点偶与分点偶交换基点偶与分点偶交换, ,交比的值不变交比的值不变, ,即即),(),(43212143PPPPPPPP(1
2、.3)2一、共线四点的交比一、共线四点的交比定理定理1.2),(1),(),(432134214312PPPPPPPPPPPP推论:),(),(43213412PPPPPPPP(1.4)(1.5)3一、共线四点的交比一、共线四点的交比定理定理1.3),(1),(),(432113244231PPPPPPPPPPPP（1.6）4一、共线四点的交比一、共线四点的交比r)21,43()43,21()12,34()34,12(（1.7）r11)13,42()42,13()31,24()24,31(1)32,14()41,23()14,32()23,41(rrr1)43,12()12,43()21,34
3、()34,21(r1)13,24()42,31()31,42()24,13(r11)32,41()41,32()14,23()23,14(5例例已知已知和和求求的值的值一、共线四点的交比一、共线四点的交比3),(4321PPPP),(4231PPPP),(1234PPPP定理定理1.一直线上的无穷点分其一直线上的无穷点分其上任何两点的单比等于上任何两点的单比等于6引理已知两不同的普通点为直线AB上一点,则且一、共线四点的交比一、共线四点的交比( ),( );()A a B b P ab)(ABP.33ab7则一、共线四点的交比一、共线四点的交比定理1.5 若共线四不同点0)(,),(21212
4、14321PPPP(1.11),(),(),(),(241321baPbaPbPaP8验证它们共线,并求(AB,CD)的值.例2 已知一、共线四点的交比一、共线四点的交比)5 , 1 , 6(),7 , 0 ,11(),2 , 1, 5(),3 , 2 , 1 (DCBABAC2BAD12),(CDAB9为a+ib(i=1,2,3,4). 则一、共线四点的交比一、共线四点的交比 定理1.6 设共线四点Pi的坐标.)()(),(413242314321PPPP(1.12).,4321彼此不相等其中10定理1.7 设四个不同的共线点中的三点及其交比值为已知，则第四点必惟一确定一、共线四点的交比一、
5、共线四点的交比114、调和比调和： 1.调解使和好;调和对立的观点 2. 配合得适当;和谐色彩调和 3. 折中;妥协 4. 混和;搀和 5. 调味 非调和之有异 6. 调味品 一、共线四点的交比一、共线四点的交比124、调和比定义1.2 若(P1P2,P3P4 )= 1, 则称一、共线四点的交比一、共线四点的交比交比值-1叫做调和比调和比点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和分离调和分离点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和共轭调和共轭点P4为P1,P2,P3的第四调和点第四调和点13一、共线四点的交比一、共线四点的交比 推论 相异四点P1, P2, P3, P4可按某次序构成调和比这四点
6、的6个交比值只有3个：.2,21, 1 定理1.8 若(P1P2,P3P4 )= 1则P4为无穷点的 P3是线段P1,P2的中点.14二、线束中四直线的交比二、线束中四直线的交比 定义1.3 设a, b, c是线束S中的三直线，则叫做a, b, c三直线的单比单比，称a, b为基线基线， c为分线分线.),sin(),sin()(cbcaabc15二、线束中四直线的交比二、线束中四直线的交比 定义1.4 设p1, p2, p3, p4是线束中四直线，则)()(),(4213214321pppppppppp(1.13)叫做p1, p2, p3, p4的交比交比. 其中称p1, p2为基线偶基线偶
7、， p3, p4为分线偶分线偶.),sin(),sin(),sin(),sin(32414231pppppppp16二、线束中四直线的交比二、线束中四直线的交比 设线束S(p)中四直线pi被任一直线s截于四点Pi(i=1,2,3,4). 则定理1.9).,(),(43214321PPPPpppp17二、线束中四直线的交比二、线束中四直线的交比4、调和比定义1.5 若(p1p2, p3p4)= 1, 则称交比值-1叫做调和比调和比线偶p1,p2与p3,p4(相互)调和分离调和分离线偶p1,p2,与p3,p4(相互)调和共轭调和共轭线p4为p1,p2,p3的第四调和线第四调和线18二、线束中四直线
8、的交比二、线束中四直线的交比 定理1.10 交比经中心射影后不变. 定理1.11 若a, b, a+1b, a+ 2b是四条不同的普通共点直线l1, l2, l3, l4的齐次坐标,则0)(,),(2121214321lll l19为a+ib(i=1,2,3,4). 则 推论 设共点四线li的坐标.)()(),(413242314321l ll l(1.15).,4321彼此不相等其中二、线束中四直线的交比二、线束中四直线的交比20二、线束中四直线的交比二、线束中四直线的交比例已知四直线l1, l2, l3, l4的方程顺次为023 , 02321321xxxxxx05 , 073121xxx
9、x求证四直线共点，并求（ l1 l2, l3 l4 ）（ l1 l2, l3 l4 ）=2121二、线束中四直线的交比二、线束中四直线的交比例已知共点四直线l1, l2, l3, l4的方程顺次为求（ l1 l2, l3 l4 ）)4,3,2, 1( ixkyi例求证：一角的两边与这个角的内外角平分线调和共轭22完全四点形ABCD完全四线形abcd顶点顶点DCBA,4个边边utsrqp,;,;,6条对边对边(没有公共顶点的边);,qp;,srut,3组对边点对边点(对边的交点), qpX, srYutZ3个对边三点形对边三点形 XYZ边边dcba,4条顶点顶点UTSRQP,;,;,6个对顶对顶
10、(不在同一边上的顶点);,QP;,SRUT,3组对顶线对顶线(对顶的连线),PQx,RSyTUz3条对顶三线形对顶三线形 xyz请课后画图，熟悉图形及名称. 今后将专门研究其重要性质23我们来看看；有可能(,)1.?sstt 以直线AB截此四直线，得).,() , (PZABttssX只要有(AB, PZ)=1. ).,(),(QZDCPZAB以点Y分别与上述等式两边的四点相连，据定理2.6可得(,)(,)(,).AB PZDC QZBA PZ也就是),(1),(),(PZABPZBAPZAB. 1),(2PZAB注意到A, B, P, Z四点互异，必有(AB, PZ)=1. 证毕.再以直线C
11、D截此四直线，得24 定理1.12 完全四点形的一对对边被过此二边交点的对边三点形的两边调和分离. 定理1.12 完全四线形的一对对顶被在此二对顶连线上的对顶三线形的二顶点调和分离. 如图, 经过三个对边点X,Y,Z各有一个调和直线组, 比如X. 1) , (ttss 如图, 在三条对顶线x, y, z上各有一个调和点组, 比如x. 1) , (TTSS此二定理说明：上述两图中各有三个调和元素组25 推论1 在完全四点形的对边三点形的每条边上, 有一个调和点组, 其中一对为对边点, 另一对为该边与第三组对边的交点. 推论1 通过完全四线形的对顶三线形的每个顶点有一个调和直线组, 其中一对为对顶
12、线，另一对为该顶点与第三对对顶的连线. 1),(PQXY比如经过顶点T, 有. 1),(pqxy此二推论说明：上述两图中又各有三个调和元素组比如在边t上, 有26 推论2 在完全四点形的每条边上有一个调和点组, 其中一对为顶点, 另一对中一个为对边点, 一个为该边与对边三点形的边的交点. 推论2 通过完全四线形的每个顶点有一个调和直线组, 其中一对为边，另一对中, 一条为对顶线, 一条为该顶点与对顶三线形顶点的连线. 1),(PZAB比如经过顶点ab, 有. 1),(pzab此二推论说明：上述两图中又各有六个调和元素组比如在边AB上, 有27第四调和元素的作图 例7 已知直线l上相异三点P1,
13、 P2, P3. 求作第四调和点P4. 分析：利用推论1, 构造一个完全四点形, 以l为其对边三点形的一边, P1, P2是对边点, 使第三对对边中, 一条过P3, 则另一条与l的交点即为P4. 解. 作法: (1). 在l外任取一点A, 连AP1, AP2. (2). 过P3作直线分别交AP1, AP2于B, D. (3). 连P1D, P2B交于C.(4). 连AC交l于P4为所求.证明: (略)请自行补出.注1 上述实际上也是利用推论2作图.注2本例引申28第四调和元素的作图 例7 已知直线l上相异三点P1, P2, P3. 求作第四调和点P4.注2本例引申1、给定三点如图，如何作图? 2、给定共点三直线如图，求作第四调和直线. 3、给定共点三直线如图，求作第四调和直线.注3由上述作图，(P1P2, P3P4)=1 存在一个完全四点形, 以P1, P2为两个对边点, 并使P3, P4在另一对对边上.注4注3的对偶命题.由上述注3, 4，你想到了什么？29今日作业今日作业P.58: 2; 3; 430
