1、26.1.2反比例函数性质的应用反比例函数性质的应用宁宁晋县第六中学晋县第六中学 柳彦红柳彦红 1、反比例函数的图象是什么？2、反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？反比例函数的图象是双曲线 当 k 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.温故而知新温故而知新1.1.能根据函数图象上的点的坐标求函数解析式，并能判断一个点能根据函数图象上的点的坐标求函数解析式，并能判断一个点是否在图象上是否在图象上. .2.2.根据反比例函数的图象和性质判断自变量或函数值的大小关系根据反
2、比例函数的图象和性质判断自变量或函数值的大小关系. .3.3.知道反比例函数的比例系数知道反比例函数的比例系数K K的意义，并能应用其解决有关问题的意义，并能应用其解决有关问题4.4.能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. . 学习目标学习目标用待定系数法求反比例函数的解析式 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？解： 点 A (2，6) 在第一象限， 这个函数的图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.1例1(2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，
3、5)是否在这个 函数的图象上？122445解：设这个反比例函数的解析式为 点 A (2，6)在其图象上， 有 ，解得 k =12. kyx62k B，C 在， D不在反比例函数的解析式为 .12yx归纳：判断一个点是否在反比例函数图象上，归纳：判断一个点是否在反比例函数图象上，只需验证这个点的横纵坐标的乘积是否等于只需验证这个点的横纵坐标的乘积是否等于0 0反比例函数图象和性质的综合(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？Oxy 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题：5myx解： 这个反比例函数图象的一支位于 第一象限 另一支必位于第三象限.这个函数
4、图象位于第一、三象限m50， 解得m5.2例2(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和 点B (x2，y2). 如果x1x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？解： m5 0 在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小 当x1x2时， y1y2.练一练：1、已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3) (1) 求这个函数的表达式；kyx(2) 判断点 B (1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的 图象上，并说明理由； (3) 当 3 x 0 当当 x 0 时，时，y 随随 x 的增大而减小，的增大而减小， 当当 3 x 1 时，时，6 y 2. 2、如
5、图，是反比例函数 的图象，则 k 的值可以是 ( )1 kyxA1 B3 C1 D0OxyB反比例函数解析式中 k 的几何意义1. 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形， 填写下页表格： 4yx35123415xyOPP (2，2) Q (4，1)S1的值S2的值 S1与S2的关系猜想 S1，S2 与 k的关系4yx 4 4S1=S2S1=S2=k5432143232451QS1的值 S2的值S1与S2的关系猜想与 k 的关系P (1，4)Q (2，2)2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：4yx4yx
6、4 4S1=S2S1=S2=kyxOPQ由前面的探究过程，可以猜想： 若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.xky yxOPS我们就 k 0 的情况给出证明：设点 P 的坐标为 (a，b),AB点 P (a，b) 在函数 的图象上，kyx ，即 ab=k.kba S矩形 AOBP=PBPA=ab=ab=k.若点 P 在第二象限，则 a0，若点 P 在第四象限，则 a0，bSBSC B. SASBSCC. SA =SB=SC D. SASC0) 图像上的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴. 设
7、 POA 的面积为 S1，则 S1 = ；梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.4yx2S1S2S36.如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点， AOC 的面积 S1、 BOD 的面积 S2、 POE 的面积 S3 的大小关系为 .S1 = S2 S3解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知，SOFE = S1 = S2，而 S3SOFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1 = S2 0b 0k1 0k2 0b 0
8、 xyOxyO4k2 0b 0k1 0k2 0 xyOk1 0 xyO 1.函数 y=kxk 与 的图象大致是 ( ) )0( kxkyD.xyOC.yA.yxB.xyODOOk0k0k0k0由一次函数增减性得k0由一次函数与y轴交点知k0，则k0 x提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案. 2.在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax+1 (a0) 的图象可能是 ( )ayx A.yxOB.yxOC.yxOD.yxOB3.如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1y2 时，x 的取值范围为 .23yx0
9、 2 x 32myx解析：y1y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知2 x 3.方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.4. 如图，一次函数 y1= k1x + b (k10) 的图象与反比例函数 的图象交于 A，B 两点，观察图象，当y1y2时，x 的取值范围是 22kyx12yx0A B 1 x 25. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x +b 的解集是_2kyx2kx1x5OBAxy15xyOBA6. 如图，直线 y=ax + b 与双曲线 交于两点 A(1，2)，B(m，
10、4)两点， (1) 求直线与双曲线的解析式；kyx所以一次函数的解析式为 y = 4x2. 把A，B两点坐标代入一次函数解析式中，得到a =4，b =2.解：把 B(1，2)代入双曲线解析式中， 得 k = 2，故其解析式为 . 当y =4时，m= . 2yx12(2) 求不等式 ax + b 的解集. kxxyOBA解：根据图象可知，若 ax + b ，kx则 x1或 x0.127. 如图，反比例函数 与一次函数 y =x + 2 的图象交于 A，B 两点. (1) 求 A，B 两点的坐标；AyOBx8yx 解：8yx ，y=x + 2 ， 解得 x = 4， y =2 所以A(2，4)，B(4，2). 或 x = 2， y = 4. 作ACx轴于C，BDx轴于D，则AC=4，BD=2. (2) 求AOB的面积.解：一次函数与x轴的交点为M (2，0)， OM=2.OAyBxMCDSOMB=OMBD2=222=2，SOMA=OMAC2=242=4，SAOB=SOMB+SOMA=2+4=6.
