1、高教社高教社 第三章第三章 函数函数 3.13.1函数的概念及表示法函数的概念及表示法授课教师授课教师: :游彦游彦我们学过哪些函数？我们学过哪些函数？)0(kkxy正比例函数：)0(kxky反比例函数：)0(kbkxy一次函数：)0(2acbxaxy二次函数： 设在一个变化过程中有两个变量设在一个变化过程中有两个变量x和和y，如果对于如果对于x的每一个值，的每一个值，y都有唯一的值与都有唯一的值与它对应，那么就说它对应，那么就说y是是x的函数的函数. .其中其中x叫自叫自变量，变量，y叫因变量叫因变量. .初中函数定义：初中函数定义：请同学们考虑以下两个问题：请同学们考虑以下两个问题：是是同
2、同一一个个函函数数吗吗？与与）（是是函函数数吗吗？xxyxyy221)1( 高教社高教社 在某一个变化过程中有两个变量在某一个变化过程中有两个变量x和和y，设变量，设变量x的取值范围的取值范围为数集为数集D，如果对于，如果对于D内的每一个内的每一个x值，按照某个对应法则值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值与它对应，那么，把都有唯一确定的值与它对应，那么，把x叫做叫做自变量自变量，把，把y叫做叫做x的的函数函数( )yf x高教社高教社 ( ),yf xxD函数函数对应法则对应法则自变量自变量定义域定义域函数两函数两个要素个要素函数值函数值 当当x= =x0时，函数时，函数y= =f( (
3、x) )所对应的值所对应的值y0= =f( (x0)值域值域 函数值的集合函数值的集合yy= =f( (x),),xD 高教社高教社 一般地，设A,B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y和它 对应 ，那么就称f: AB为从集合A到集合B的一个函数（function）,通常记为Axxfy ),( 其中, x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）； 与x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域（range）.函数的概念非空的数集某种确定的对应关系f唯对应每一个一高教社高教社 明确
4、三个关键点（又称三要素）：两个非空集合即定义域（自变量x的取值范围）与值域（与每一个x值对应的所有y值的取值范围）；对应关系.高教社高教社 ABf1224368可以是一对一也可是多对一，关键把握好集合B中元素的唯一性。4理解概念2：对对应关系的进一步理解高教社高教社 任务一：能利用函数的定义判断一些对应是否构成函数关系1.判断下列对应是否为数集A到数集B的一个函数：(1) A= 1,2,3,4,5，B=2,4,6,8，f(x)=2x.(2) A=1,2,3，B=7,8,9，f(1)=f(2)=7，f(3)=8是不是是12341234AB(3)11234AB(4)1231234AB(5)不是是高
5、教社高教社 23xyoxyoxyoxyo2142.( )yf x下列图象中不能作为函数的图象的是任务一：能利用函数的定义判断一些对应是否构成函数关系高教社高教社 3. 下列数集之间的对应，哪些不是函数？哪些是函数？.:,11,10)5(;:,10,11)4(;1:,1,) 3(; 1:,7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2,6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1)2(;2:,10,11) 1 (xyfyyMxxDxyfyyMxxDxyfNnnyyMNxxDxyfyyMxxDxyfyyMxxD对应法则对应法则对应法则对应法则对应法则任务一：能利用函数的定义判断一些对应是否构成函数关系高
6、教社高教社 .913191,91.:.)5(.,0,.)4()3()2(2,) 1 (对应与有两个值如与之对应有两个值时，根据对应法则因为不是函数无意义时且因为当不是函数都是函数、同理可求出是函数，因为对于任意解：xyDxyxyfDxxxDxMxyDx判断对应是否是函数，一般从两个方面入手：（1）D中的每一个值是否对对应关系都有意义；（2）由对应法则f得到的值是否惟一。任务一：能利用函数的定义判断一些对应是否构成函数关系分析分析如果函数的对应法则是用代数式表示的，那么函数的定义域就是使得 21x高教社高教社 若若f (x)是整式，则函数的定义域是实数集是整式，则函数的定义域是实数集R. 若若f
7、 (x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集的实数集. 若若f (x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于 或等于或等于0的实数集的实数集. 分析分析本题是求自变量x=x0时对应的函数值，方法是将x0到函数表达式中求值. 3113113132b高教社高教社 例3、已知函数f(x)=2x2+3x+1,求f(1),f(f(-2),f(2t)分析：将1, f(-2), 2t依次代入函数的解析式中.解：f(1)=212311=6. f(-2)= 2(-2)23(-2) 1=3 f(f(-2)=f(3)
8、 =232331=28. f(2t)=2(2t)2 32t1 =8t2 6t1. 高教社高教社 .分析分析 定义域与对应法则都相同的函数视为同一个函数. 对于对于x的每一个的每一个值，值，y总有总有唯一唯一的值与它对应，的值与它对应，y才是才是x的函数的函数。 例例5.下列各式中，是自变量，请判断下列各式中，是自变量，请判断是不是的函数？是不是的函数？3y +1x4.y=1.y 2x 2.y x3x- 解解:1 y是是x的函数。的函数。 2、y是是x的函数。的函数。 3、y不是不是x的函数。的函数。 4、y是是x的函数的函数. 高教社高教社 例例6.6.下列图象中不能作为函数的是下列图象中不能
9、作为函数的是( ).( ).（A A）（B B）（C C）（D D）B BOOOOxyxxxyyy任意的任意的xAxA，存在唯一的，存在唯一的y y与之对应与之对应例例7.7.判断下列对应能否表示判断下列对应能否表示y y是是x x的函数的函数（1 1） y=|x| y=|x| （2 2）|y|=x |y|=x （3 3） y=xy=x2 2 （4 4）y y2 2=x =x (1)(1)能能 (2)(2)不能不能 (3)(3)能能 (4)(4)不能不能 例例8.8.已知已知f(x)=3xf(x)=3x2, x0,1,2,3,52, x0,1,2,3,5， 求求f(0), f(3)f(0),
10、f(3)和函数的值域和函数的值域. .(0)3 022,f= -= -解：解：(3)3 327.f= -=2,1,4,7,13 .-值域为值域为练习练习1：下列数集之间的对应，哪些不：下列数集之间的对应，哪些不是函数，哪些是函数？是函数，哪些是函数？2:0,2xyfyRyyBRA，对应法则）（12:10, 9 , 5 , 3, 7,5 , 3 , 1, 33xyfBA，对应法则）（xyfRBRA1:,4，对应法则）（xyfyyBxxA:11,105，对应法则）（1:4 , 3 , 2,3 , 2 , 11xyfBA，对应法则）（练习练习2：xyxfA21:.xyxfB32:.281:.xyxf
11、CxyxfD:.2y0yP,4x0 xM已知集合已知集合 , ,下列下列M M到到P P的各种对应中，不是函数的是（的各种对应中，不是函数的是（ ） B练习练习3：判断下列图象能表示函数图象的是（：判断下列图象能表示函数图象的是（ ）xy0(A)xy0(B)xy0(D)xy0(C)D-11-111-1-111ax 设函数 则它的图像与直线 的交点个数为( ) , 0,xxfyA.0B.1C.0或1D.2练习练习4：C练习练习5 判断下列函数组表示同一个函数的是判断下列函数组表示同一个函数的是( ) 2)(,.xxgxxfA 2)(,.xxgxxfB 22) 1(,)(.xxfxxfC 2)(,
12、.xxgxxfDD作业：作业：1、下列数集之间的对应，哪些不是函数，哪些是函数？、下列数集之间的对应，哪些不是函数，哪些是函数？4:4,012xyfyRyyBxxA，对应法则）（xyfMD:3 , 2 , 1,3 , 1 , 1, 2, 32，对应法则）（3:0,03xyfyyBxxA，对应法则）（xyfBNA1:1 , 1,4，对应法则）（2、下列函数与函数、下列函数与函数 是同一个函数吗？说明理由。是同一个函数吗？说明理由。1 xy1212xxy）（1122xxy）（aaxy）（3(a是实数常数)高教社高教社 1.1. 某城市某城市2008年年8月月16日至日至8月月25日的日最高气温统计
13、表：日的日最高气温统计表：日 期16171819202122232425最高气温29292830252829282930表示函数的方法是：表示函数的方法是： .它的优点是：它的优点是： .列表法列表法不需不需 计算，自变量的值与函数值一目了然计算，自变量的值与函数值一目了然高教社高教社 2. 天津市温度自动记录仪记录的气天津市温度自动记录仪记录的气温时段图：温时段图：表示函数的方法是：表示函数的方法是： .它的优点是：它的优点是： .直观形象地表示自变量和函数值变化的趋势直观形象地表示自变量和函数值变化的趋势图像法图像法高教社高教社 3.用用 S 来表示半径为来表示半径为r的圆的面积，则的圆的
14、面积，则S=r2这个公式清楚地反映了这个公式清楚地反映了半径半径r与圆的面积与圆的面积S之间的函数关系，这里函数的定义域为之间的函数关系，这里函数的定义域为R+表示函数的方法是：表示函数的方法是： .他的优点是：他的优点是： .常用的函数表示方法有常用的函数表示方法有列表法列表法、图像法图像法和和解析法解析法三种三种. 简明、全面地概括了变量间的关系简明、全面地概括了变量间的关系解析法解析法高教社高教社 .下面的表格是某商家销售计算机的统计表，你能从表格中得到哪些信息？下面的表格是某商家销售计算机的统计表，你能从表格中得到哪些信息？ 季季 度度第一季度第一季度第二季度第二季度第三季度第三季度第
15、四季度第四季度数量数量( (台台) )400405632605 类似的类似的, ,在生活中你还见过哪些表格？在生活中你还见过哪些表格？列表法：列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系 . 优点优点：不需要计算，直接看出与自变量的值相对应的函数值.高教社高教社 . 类似的类似的, ,在生活中你还见过哪些图像？在生活中你还见过哪些图像？图像法图像法：用函数图像表示两个变量之间的关系. 优点优点：直观形象地表示出自变量和相应的函数值变化的趋势.下面是下面是某商店一年的销售额随季度的变化曲线某商店一年的销售额随季度的变化曲线，你能从表格中得到哪些信息？，你能从表格中得到哪些信息？ 高教社高教社 .在匀
16、速直线运动中，位移与时间之间有确定的依赖关系，在匀速直线运动中，位移与时间之间有确定的依赖关系，比如当速度为比如当速度为5m/s时，位移时，位移s=5t.解析法解析法：用一个等式表示两个变量的函数关系（解析式） . 优点优点：简明、全面地概括了变量间的关系，可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值. 正方形的周长正方形的周长C和边长和边长a之之间也有类似的依赖关系，间也有类似的依赖关系，能写出它们的函数关系式吗？能写出它们的函数关系式吗？高教社高教社 .解解 （1）关系式y=0.12 x就是函数的解析式， 故函数的解析法解析法表示为 y=0.12 x， x 1,2,3,4,5,6例例
17、 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示这个函数高教社高教社 .例例 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示这个函数解解 （2）依照售价，分别计算出购买1-6支铅笔所需款数， 列成下面的表格，即为函数的列表法列表法表示x（支）（支）123456y（元）（元） 高教社高教社 .解解 :（3）以上表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次作出点（1 ， 0.12）、（2 ， 0.24）（3 ， 0.36）、（4，0.
18、48）、（5，0.6）、（6，0.72），则函数的图像法图像法表示如图所示例例 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示这个函数高教社高教社 作函数图像的一般方法作函数图像的一般方法描点法描点法 1.确定函数的定义域；确定函数的定义域； 2.2.选取自变量选取自变量x的若干值（一般选取某些代表性的值）计算出它们的若干值（一般选取某些代表性的值）计算出它们 对应的函数值对应的函数值y，列出表格，列出表格； 3.3.以表格中以表格中x值为横坐标，对应值为横坐标，对应y值为纵坐标，在直角坐标系中描出值为纵坐标，在直角坐
19、标系中描出 相应的点（相应的点（x，y）；）； 4.4.根据题意确定是否将描出的点联结成光滑的曲线根据题意确定是否将描出的点联结成光滑的曲线高教社高教社 .分析分析 按照“描点法”的步骤进行高教社高教社 .高教社高教社 高教社高教社 P49/A组 4、作出各函数的图像：（1）y=2x+1，x-1,0,1,2,3解：x、y的函数关系列表如下： 画函数图像如下： y 7 6 5 4 3 2 1 -1 0 1 2 3 4 x -1X X-1-10 01 12 23 3y-11357高教社高教社 (2)y=2-x,x0,2解：列表 画图 y 2 1 0 1 2 x X X0 01 12 2y210高教
20、社高教社 P50/A组（3）一根弹簧不挂重物是长12CM，挂重物后伸长的长度与所管重物的质量成正比的函数。 解：设弹簧总长为y（单位：cm），所挂重物x（单位：kg），弹簧的弹性系数为k，则变化的函数解析式为： y=kx+12，（k为任意正数，xx/0 x限重） y(cm) 12 0 限重 x(kg)弹簧挂重物不能超过弹性限度！高教社高教社 P50/BP50/B组组 A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡、从A城往C、D两乡运肥料的费用分别是每吨20元和25元；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别是每吨15元和24元，现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨
21、，怎样调运总运费最少？（提示：可以把调运总费用看成运往某地肥料数量的函数）解：设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为（200 x）吨，则B城运往C的肥料量为（240 x）吨，B城运往D乡的肥料量260（200 x）=（60+x）吨 由总运费与各运输量的关系可知，反映y与x之间的函数关系为：y=20 x+25（200 x）+15（240 x）+24（60+x） 化简得y=4x+10040（0 x200） 由解析式和图象可看出：当x=0时，y的最小值10040 即：从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨； 从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨， 此时总运费最少，总运费最小
22、值是10040元 1解析法解析法数学表达式数学表达式y10 x，x1,2,3,4用_表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式练习 1：某种钢笔的单价是 10 元，买 x(x1,2,3,4)支钢笔需要 y 元，则 y 关于 x 的函数表达式为_.5732习题习题2图象法横坐标横坐标纵坐标纵坐标图象图象 以自变量x的取值为_，对应的函数值y为_，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数yf(x)的图象，这种用_表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法【问题探究】1已知 f(x)x2x1，则 f(x1)_.2已知 f(x1)x2x1，则 f(x)_.
23、x2x1x23x3x1题型 1作函数的图象【例 1】 作出下列函数的图象：(1)y2x1(xZ)；(2)yx22x2(0 x3)；(3)y|x1|；(4)yx.思维突破：作函数的图象，首先应分析函数定义域，在定义域内对解析式进行化简作函数的图象一般有两种思路：一是利用描点法；二是转化为基本函数，利用基本函数图象作复杂函数的图象解：(1)函数定义域为 xZ，这个函数的图象是直线y2x1 上的所有整点如图 D8(1)(2)0 x3，这个函数的图象是抛物线 yx22x2在 0 x3 之间的一段曲线如图 D8(2)图 D8先观察函数的定义域，在定义域内化简函数式，转化为熟悉的函数，然后利用列表描点法或
24、利用基本函数图象去作复杂函数的图象【变式与拓展】1(2013 年湖北)小明骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.)与以上事件吻合得最好的图象是(ABCD解析：时间越长，离学校越远，A 显然错误； 途中因交通堵塞停留了一段时间，距离不变，D 错误； 开始时匀速行驶，后为了赶时间加快速度行驶，后面的直线应该陡一些故选 C.答案：C题型 2待定系数法求函数的解析式【例 2】 已知二次函数 yf(x)的最大值为 13，且 f(3)f(1)5，求 f(x)的解析式解：方法一：利用二次函数的一般式求解设 f(x)ax2bxc(a0)由条件知，点(3,5)，(
25、1,5)，(1,13)在 f(x)的图象上，f(x)2x24x11.方法二：利用二次函数的顶点式求解由 f(3)f(1)，可知：对称轴为 x1，又最大值为 13，故可设 f(x)a(x1)213.将 x3，f(x)5 代入，得 a2.f(x)2(x1)213，即 f(x)2x24x11.对于求二次函数解析式的问题，应注意已知条件，选择恰当的待定形式【变式与拓展】2已知 f(x)是一次函数，且 ff(x)4x3，求 f(x)的解析式解：设 f(x)axb，则 ff(x)f(axb)a2xabb.a2xabb4x3.故所求的函数为 f(x)2x1 或 f(x)2x3.题型 3换元法求函数的解析式【
26、例 3】 已知 f(x1)x21，求 f(x)的解析式解：方法一：f(x1)x21(x1)22x2(x1)22(x1)，令 tx1，则有 f(t)t22t，故 f(x)x22x.方法二：令 x1t，则 xt1.代入原式，有 f(t)(t1)21t22t，所以 f(x)x22x.【变式与拓展】3设 f(x2)2x3，则 f(x)()BA2x1C2x3B2x1D2x7题型 4赋值法求函数的解析式本题是通过赋值法构造方程组，通过变量替换【变式与拓展】的值易错分析：没有理解分段函数的意义，f(3)的自变量是 3，应代入 f(x2)中去，而不是代入 x5 中解：f(x)x5 x6，fx2 x6，f(3)f(32)f(5)f(52)f(7)752.方法规律小结1函数图象(1)在直角坐标系下，判断一个曲线是不是某函数的图象，只需验证过曲线上任一点作垂直于 x 轴的直线，若此直线与图象有唯一的交点，则曲线是函数的图象(2)作函数图象的方法：描点作图法：其步骤是列表、描点和连线三大步，作图时要考虑定义域，必须在定义域内作图；图象变换法：利用基本初等函数的图象，通过平移、旋转等变换作出所求图象，这是在画草图时常用到的重要方法2在函数 f(x)中，符号 f 表示一种对应关系，可以是解析式，可以是图象，也可以是图表
