1、3 3. .1.11.1 函数的概念函数的概念1.复习旧知 初中学习的函数概念是什么？初中学习的函数概念是什么？设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数；其中自变量x的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值叫做函数的值域。思考请同学们考虑以下两个问题：请同学们考虑以下两个问题：仅用初中函数的概念很难回答这些问题。仅用初中函数的概念很难回答这些问题。因此，需要从新的高度认识函数。因此，需要从新的高度认识函数。是函数吗？）（11y是同一函数吗？与）（xxyxy222.2.函数概念的生成为了给出函数更精准的概念，我
2、们接着思考下面几个问题问题1有人说：“根据对应关系S350t，这趟列车加速到350 km/h后，运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗?某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t(单位：h）的关系可以表示为S=350t.思考 这里，这里，t t和和S S是两个变量，而且对于是两个变量，而且对于t t的每一个确定的值，的每一个确定的值，S S都有唯一确定的值与之对应，所以都有唯一确定的值与之对应，所以S是是t的函数。的函数。 根据问题的条件，我们不能判断列车以350 km/h运行半小时后的情况，所以上述说法不正
3、确、显然，其原因是没有关注到t的变化范圈。下面用集合的语言表示问题1中S与t的对应关系。 列车行进的路程列车行进的路程S S与运行时间与运行时间t的对应关系是列车行进的路程的对应关系是列车行进的路程S与运行时间与运行时间/的对应关系是的对应关系是S=350t. t. , 其中其中t t的变化范围是数集的变化范围是数集A1 1=t|0=t|0t0.5，S的变化范围是的变化范围是数集数集B1 1=S|0=S|0S175对于数集对于数集A1 1中的任一时刻中的任一时刻t t，按照对应，按照对应关系，在数集关系，在数集B1 1中都有唯一确定的路程中都有唯一确定的路程S S和它对应和它对应2.2.函数概
4、念的生成 刚才我们通过集合的语言来描述了两个变量间的对应关系，下面沿着这个思路继续看几个问题某电气维修公司要求工人每周工作至少某电气维修公司要求工人每周工作至少1 1天，至多不超过天，至多不超过6天如果公司确定的工资标准是每人每天天如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付元，而且每周付一次工资。那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一次工资。那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数（单位：元）是他工作天数d的函数吗？的函数吗？问题2 其中其中,d,d的变化范围是数集的变化范围是数集A2 21,2,3,4,5,6,w1,2,3,
5、4,5,6,w的变化范围是数的变化范围是数集集B2 2350,700,1050,1400,1750,2100.350,700,1050,1400,1750,2100.对于数集对于数集A2 2中的任一个中的任一个工作天数工作天数d d，按照对应关系，在数集，按照对应关系，在数集B2 2中都有唯一确定的工资中都有唯一确定的工资w w与它对应与它对应工资工资w w是一周工作天数是一周工作天数d的函数，其对应关系是的函数，其对应关系是w=350d. 思考问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么?2.2.函数概念的生成问题3 图3.1-1是北京市2016年11月23日的空
6、气质量指数变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数的I值？你认为这里的I是t的函数吗？从图3.1-1中的曲线可知，t的变化范围是数集A3=t|0=t=24AQI的值都在数集B3=I|0I150中。对于数集A3中的任一时刻t,按照图3.1-1中曲线所给定的对应关系，在数集B3中都有唯一确定的AQI的值I与之对应.因此，这里的I是t的函数.2.2.函数概念的生成 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表是我国某高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，
7、从表中可以看出，该省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高省城镇居民的生活质量越来越高. .问题4我国某省城镇居民我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况时间（年）y2006200720082009201020112012201320142015恩格尔系数恩格尔系数r(%)36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57请用集合的语言描述上面表格揭示的恩格尔系数r与年份y的对应关系3.3.函数概念归纳1： 上述问题1问题4中函数有哪些共同特征？（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示：（2）都有一个对应关系：（3
8、）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中部有唯一确定的数y和它对应归纳：函数概念4个问题：问题1问题2问题3问题42个数集：1个对应：时间t路程s对应关系天数d工资w时刻t年份y质量值I系数r对应关系对应关系对应关系3个对象：5 . 00|1ttA1750|1ssB6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 12A240|3ttA的整数201520064A2100,1050,700,3502B1500|3IIB10|4rrBtS350dw350图3.1-1表3.1-1ttS350S（t）ddw350w（d）t图3.1-1I（t）y表3.
9、1-1r（y）归纳：函数概念一般地，设一般地，设A A，B B是非空实数集是非空实数集，AB如果对于集合如果对于集合A A中的任意一个数中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系按照某种确定的对应关系 f ，f在集合在集合B B中在集合中在集合B B中都有唯一确定的数中都有唯一确定的数 y和它对应和它对应， 那么就称那么就称 f ：AB为集合为集合A到集合到集合B的一个的一个函数函数，记作，记作y=f(x) , xAxff(x)定义域值域: f(x)| xA 函数符号函数符号f( (x) )表示表示x对应的函数值，不是相乘对应的函数值，不是相乘4.4.练习函数函数对应法则对应法则定义域定义域值
10、域值域正比例正比例 函数函数反比例反比例 函数函数一次函数一次函数二次函数二次函数)0( kkxy) 0(2 acbxaxy)0( kxky)0( kbkxyRR0|xx0| yyRRR44|044|022abacyyaabacyya 时时时时填表判断正误1 1、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应2 2、函数的定义域和值域一定是无限集合、函数的定义域和值域一定是无限集合3 3、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定4 4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素、若函数的定义域只
11、有一个元素，则值域也只有一个元素5 5、对于不同的、对于不同的x , y的值也不同的值也不同 6 6、f (a)表示当表示当x = a时时，函数函数f (x)的值，是一个常量的值，是一个常量4.4.练习4.4.练习判断下列对应能否表示判断下列对应能否表示y是是x的函数的函数（1） y=|x| （2）|y|=x （3） y=x 2 （4）y2 =x （5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1 能 不能 能 不能 不能 不能 3.3.函数概念判断下列图象能表示函数图象的是（判断下列图象能表示函数图象的是（ ）xy0(A)xy0(B)xy0(D)xy0(C)D3.1.1函数的概念2 函数的概念函数
12、的概念函数的三要函数的三要素素函数的符号表示函数的符号表示特殊函数的定义域、值域特殊函数的定义域、值域定义域定义域值域值域对应法则对应法则fy=f(x) 和都可以称作半开半闭区间在研究函数的时候经常会遇到区间的概念，设在研究函数的时候经常会遇到区间的概念，设a,b是两个实数，且是两个实数，且ab,我们规定：我们规定： 常见区间的含义及表示方法如下表所示： (1)区间是集合，并且是数集；(2)区间上的左端点必须小于右端点；(3)区间中的元素是数，可以用用数轴上的数表示；(4)任何区间都可在数轴上表示出来；(5)以-，+为区间的一端时，这一端必须用小括号； 求函数的定义域和函数值（1）求函数的定义
13、域 求函数定义域的一般原则：(1)f(x)是整式,则函数的定义域为R(2)f(x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数的集合；(3)f(x)是偶次根式,则函数的定义域是使根号下的式子大于等于0；(4)f(x)=x0,则函数的定义域是要求x0.(5)若函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合(即取各个部分的交集)；(6)若函数f(x)是实际应用题,则应另外考虑变量本身的实际意义；(7)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接,而应该用并集符号“”连接 求下列函数的定义域：；）（x213y1
14、;2) 1(y20 xx）（;35y3xx）（;431)(42xxxxf）（ 规律总结从函数的概念可知，函数有定义域、值域、对应法则三要素，其中，定义域是前提，对应法则是核心，值域是由定义域和对应法则确定的因此，(1)当两个函数的定义域不同或对应法则不同，它们就不是同一个函数只有当定义域和对应法则都相同时它们才是相等函数(2)对应法则f是函数关系的本质特征，要深刻理解，准确把握，它的核心是“法则”通俗地说，就是给出了一个自变量后的一种“算法”，至于这个自变量是用x还是用t或者别的符号表示，那不是“法则”的本质，因此，对应法则与自变量所用的符号无关 下列各组函数是同一个函数的是：xxxgxxf2)(2)(13与）（;1)()(200 xxgxxf与）（; 12)(12)(322tttgxxxf与）（ P67 1， 2
