1、 条件分布条件分布 条件数学期望条件数学期望 条件数学期望的性质条件数学期望的性质3.5 条件数学期望条件数学期望1回顾上节课知识点回顾上节课知识点 1、n维随机变量函数的数学期望及求解维随机变量函数的数学期望及求解 2、最值数学期望的求解、最值数学期望的求解 3、 n维随机变量函数的数学期望的性质维随机变量函数的数学期望的性质 及应用及应用 4、相关系数及性质、相关系数及性质21、n维随机变量函数的数学期望及求解维随机变量函数的数学期望及求解32、最值数学期望的求解、最值数学期望的求解43、 n维随机变量函数的维随机变量函数的数学期望的性质及应用数学期望的性质及应用54、相关系数及性质回顾、
2、相关系数及性质回顾6相关矩阵相关矩阵7相关系数的性质相关系数的性质8习题讲解91011对二维随机变量(X, Y), 在给定Y取某个值的条件下, X的分布; 在给定X取某个值的条件下, Y的分布.回顾条件分布回顾条件分布1213一、回顾条件分布一、回顾条件分布（1）、事件 ， ， ，（2）、 ， 条件分布： 条件密度 ,A B()0p B. .,r v X Y,p Xx Yyp Yy Xxp Xx ,xxY XY xXfx yFy xp Yy Xxfy x dydyfx()()( )p ABp A Bp B ,Y XXfx yfx yfxY XAp YA Xxfy x dy14 设随机变量设随机
3、变量X与与Y的联合分布列的联合分布列为为 (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，(i, j1, 2, )，X和和Y的边际分布列分别为的边际分布列分别为,.2, 11ippxXPjijii离散型：离散型：,.2, 11jppyYPiijjj15为为Y yj的的条件下，条件下，X的条件分布列的条件分布列;,.2 , 1,|ippyYxXPpjijjiji 若对固定的若对固定的j, p.j0, 则称则称同理，同理，对固定的对固定的i, pi. 0, 称称,.2 , 1,|jppxXyYPPiijijij为为X xi的的条件下，条件下，Y的条件分布列。的条件分布列。jijijippppYX，
4、独立时，有与显然，当16总之，(1) 条件分布列：|(|)iji jijjpP XxYypp(2) 条件密度函数：(|)( , )( )p x yp x yp y17(3) 条件分布函数：( , )( )(|)( |)( |)diixxxxp t yp yP XxYyF x yp t y dtt18二、条件数学期望二、条件数学期望 定义：若随机变量定义：若随机变量X在在Y=yj条件下的条件分条件下的条件分布列为布列为 则称则称为为X在在Y=yj条件下的数学期望，简称条件期望，条件下的数学期望，简称条件期望，记为记为，又1,ijiijipxp1ijiipxjyYXE19的联合分布律为设例Y)(X
5、,1XY123-1010.20.100.100.30.10.10.1.0Y|XE)2(;2X|YE1）求（即可求得；的概率分布，再按定义的条件下）写出在（解题思路：Y2X1即可求得；的概率分布，再按定义的条件下）写出在（X0Y220练习：练习：某射手进行射击，每次射击击中目标的某射手进行射击，每次射击击中目标的概率为概率为p(0p1)，射击进行到击中目标两次停止。射击进行到击中目标两次停止。令令X表示第一次击中目标时的射击次数，表示第一次击中目标时的射击次数，Y表示第表示第二次击中目标时的射击次数，试求联合分布列二次击中目标时的射击次数，试求联合分布列pij，条件分布列条件分布列pi/j及及p
6、j/i条件期望条件期望EX/Y=n.21 随机变量函数的条件期望如何？随机变量函数的条件期望如何？ 设设g(x)是关于随机变量是关于随机变量X的函数，请问其的函数，请问其条件数学期望如何定义？条件数学期望如何定义？思 考22，定义机变量（对于一个二元连续型随)YX,dyy|xyxX)(|YE的概率分布。的条件下为在YXx定义dxx|yxy)(Y|XE的概率分布。的条件下为在XYy的的条件下分别是在和其中YxX)y|x()x|y(的条件概率密度。的条件下条件概率密度和在XyY 23 随机变量函数的条件期望如何？随机变量函数的条件期望如何？ 设设g(x)是关于随机变量是关于随机变量X的函数，请的函
7、数，请问其条件数学期望如何定义？问其条件数学期望如何定义？ 定理定理3.5.1思思 考考24 由脚印估计罪犯身高? 公安人员根据收集到的罪犯脚印， 通过公式876. 6脚印长度身高算出罪犯的身高算出罪犯的身高. 这个公式是如何推这个公式是如何推导出来的？导出来的？25X设一个人身高为 ,脚印长度为 .Y显然，两者之间是有统计关系的，故),(YX应作为二维随机变量 来研究. 由于影响人类身高与脚印的随机因素是大量的、相互独立的，且各因素的影响又是微小的,可以叠加的. 故由中心极限定理知 可以近似看),(YX成服从二维正态分布. );,(222211uuN26;,;,222211uu其中参数 因区
8、域、民族、生活习惯的不同而有所变化 ，但它们都能通过统计方法而获得.现已知罪犯的脚印长度为 , 要y估计其身高就需计算条件期望 , 条件密度为)(),()|(|yfyxfyxfYYX272)(exp)()(2)()1 ( 21exp.12222222222212122122212uyuyuyuxux 这正是正态分布 )1 (),(2212211uyuN)()|(2211uyuyYXE 如果按中国人的相应参数代入上式，即可得出以脚印长度作自变量的身高近似公式.思考：思考：例3.5.228连续型与离散型条件数学期望性质连续型与离散型条件数学期望性质定义(|)(|)( |)diiix P XxYyE
9、 X Yyxp x yx29E(X| Y=y) 是 y 的函数.注 意 点所以记 g(y) = E(X| Y=y).进一步记 g(Y) = E(X| Y).302、若若a,b是两个常数，又是两个常数，又 CyYCEj,1jyYXE2jyYXE存在，则存在，则 21jyYbXaXE存在，且存在，且 21jyYbXaXE1jyYXaE.2jyYXbE 以上两条性质是在固定以上两条性质是在固定“Y=yi”的条件下考察条件的条件下考察条件期望的性质。期望的性质。 1、 3、随机变量、随机变量X对对Y求条件期望后再求期望，等于求条件期望后再求期望，等于对这个随机变量直接求期对这个随机变量直接求期望。望。条件分布数学期望的性质314.若X与Y独立，则5.条件期望有所谓平滑性： 6.对随机变量X，Y的函数 恒有：EXyYXE YXEEydFyYXEEXYYX,yYyXEyYYXE,条件分布数学期望的性质条件分布数学期望的性质32 1、条件分布 2、条件数学期望及运算 3、条件数学期望性质及证明小 结33
