1、第四章指数函数、对数函数与幂函数第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算 公元前五世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希帕索斯思考了一个问题:边长为1的正方形的对角线的长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数表示,也不能用分数表示,希帕索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了.2情境导学 问题:若x2=3,则这样的x有几个?它们叫做3的什么?如何表示?答案答案这样的x有2个,它们都称为3的平方根,记作.31.有关幂的概念有关幂的概念一般地,an中的a称为 ,n称为 .教材研读 底数指数2.根式的相关概念和性质根式的相关概念和性质
2、(1)根式的概念: 一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得xn=a,则_ 称为a的n次方根;当 有意义的时候,称为根式,n称为 ,a称为 .naxna根指数被开方数(2)根式的性质:(i)()n=_.(ii)=nanna,| |,.a na n为奇数为偶数a思考1:类比平方根、立方根,猜想:当n为偶数时,一个数的n次方根有多少个?当n为奇数时呢?提示 a为正数:a为负数:零的n次方根为零,记为=0.,.nnnananana为奇数时 的 次方根有一个 为为偶数时 的 次方根有两个 为,.nnananan为奇数时 的 次方根只有一个 为为偶数时 的 次方根在实数范围内无意义0n
3、3.分数指数幂(1)定义:一般地,如果n是正整数,那么:当有意义时,规定= ;当没有意义时,称没有意义.(2)意义:分数指数幂正分数指数幂 = (a0), =( )m= 负分数指数幂 a-s= (as有意义且a0)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义na1nana1na1nanamnana*ma0,m,nN ,n且为既约分数(3)运算法则:(i)前提:s,t为任意有理数.(ii)法则:asat=as+t;(as)t=ast;(ab)s=asbs.思考2:分数指数幂的运算性质是什么?提示分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样.记忆分数指数幂的运算性质的
4、口诀:乘相加,除相减,幂相乘.4.实数指数幂 一般地,无理指数幂at(a0,t是无理数)是一个确定的 ,有理指数幂的运算性质对于无理指数幂同样适用.因此当a0,t为任意实数时,实数指数幂at都有意义,对任意实数s和t,类似有理指数幂的运算法则仍然成立.实数探究一探究一 n n次方根的化简与求值次方根的化简与求值例例1 (易错题)化简:(1);(2)()2+(a-10).44(3-)-1a2(1- )a33(1- )a解析解析(1)=|3-|=-3.(2)原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1+a-1+1-a=a-1.44(3-)易错点拨易错点拨n的奇偶性a的n次方根的表示a的取值范围n为奇数
5、aRn为偶数0,+)nana跟踪训练跟踪训练1.已知-3x3,求-的值.2-21xx269xx解析解析原式=-=|x-1|-|x+3|,-3x3,当-3x1时,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;当1x0) B.=(y0) D.=-(x0)(2)用指数幂的形式表示(x0,y0).x12)26y13y3-4x341x1-3x3x23yxxyC解析解析(1)A选项,-=-(x0);B选项,=(y2=-(y0);D选项,=(x0).故C正确.(2)解法一:由里向外化为分数指数幂.=x12x26y16)13y3-4x14)341x1-3x31x23yxxy1232yxxy=.解法二:由外向里化
6、为分数指数幂.=.13122-22yx yx14x34y23yxxy1223yxxy112232yxxy122yx134xy14x34y思维突破思维突破(1)记结论:=和=(a0).(2)明途径:一是由里向外化为分数指数幂;二是由外向里化为分数指数幂.mnamna-mna1mna1mna跟踪训练跟踪训练2.化简:(1)(a0);(2)(2)(-6)(-3).a a23a12b12a13b16a56b解析(1)=(=.(2)原式=2(-6)(-3)=4ab0=4a.a a12a a32a32a12)34a2 1 1-3 2 6a1 1 5-2 3 6b探究三指数幂的化简与求值探究三指数幂的化简与
7、求值例例3已知x+x-1=3,求x2+x-2的值.解析(x+x-1)2=x2+x-2+2,x2+x-2=(x+x-1)2-2=9-2=7.思维突破思维突破 式子中包含的指数互为相反数时,通常用平方法进行解决,平方后观察条件和结论的关系,变形求解即可.变式训练变式训练3.(1)(变结论)已知x+x-1=3,求x2-x-2的值.(2)(变条件)已知x-x-1=3,求x2+x-2的值.解析解析(1)由例3知x2+x-2=7,x4+x-4=47,(x2-x-2)2=x4-2+x-4=45,即x2-x-2=3.(2)(x-x-1)2=x2+x-2-2=9,x2+x-2=11.5课堂检测课堂检测1.下列各
8、式正确的是()A.=-3 B.=aC.()3=-2 D.=22(-3)44a3-233(-2)C2.已知a0,则=()A. B. C. D. 23aa12a32a23a13aD解析解析 =,则=.故选D.23a23a23aa23aa21-3a13a3.化简(a3()(a0,b0)结果为()A.a B.b C. D. 12b12)12a14babbaA解析解析原式=()= =a.故选A.32a14b12a14b3 1-2 2a1 1-4 4b4.化简:(x0,y0)= .84416x y2x2y解析解析x0,y0,=(24x8y4=2x2y.84416x y48442x y14)5.若10m=2
9、,10n=3,则103m-n= .解析解析由已知得103m=(10m)3=23=8,103m-n=.31010mn83逻辑推理指数运算与均值不等式的应用已知a0,b0,若2a2b=2,则ab的最大值是 .审:由指数运算法则以及2a2b=2,可得a+b=1,再根据均值不等式ab,当且仅当a=b时取得最大值得出答案.联:求积的最值,会联想到基本不等式,那就需要和为常数,这个和刚好由指数运算求得.22ab素养演练素养演练解:函数g(x)=2x,且有g(a)g(b)=2,_,a+b=1,a0且b0,_,当且仅当a=b=时,ab取得最大值.思:从已知条件中解出字母的值,然后代入求值,这种方法一般是不可取的,应设法从整体寻求结果与条件的联系,进而整体代入求值,体现了数据分析、逻辑推理的核心素养.1214
