1、5.3 二次曲线的切线二次曲线的切线定义定义 5.3.1如果直线与二次曲线相交于相互重合如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点这个重合的交点叫做切点.规定：如果直线全部在二次曲线上，我们也称规定：如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线。直线上的每一点都可以它为二次曲线的切线。直线上的每一点都可以看作切点看作切点.现在我们来求经过二次曲线现在我们来求经过二次曲线22111122132333( , )2220F x ya xa xya ya xa ya(1)的直线总可写成的直线总可
2、写成切线方程切线方程上的点上的点的切线方程的切线方程.因为通过因为通过(2)那么根据那么根据5.1 的讨论的讨论,知道直线知道直线(2)与二次曲线与二次曲线(1)的的交点的参数满足交点的参数满足00(,)xy00(,)xy00,.xxXtyyYt210020000(,)2(,)(,)(,)0,X YtF xyXFxyY tF xy容易知道直线成为二次曲线的切线的条件，容易知道直线成为二次曲线的切线的条件，210020000(,)(,)(, ) (,)0XF xyYF xyX Y F xy 因此因此0),(YX当当 时时),(00yx因为因为 在在(1)上，上，0),(00yxF所以所以 ；(3
3、)(, )0X Y00(,)xy00(,)0F xy100200(,)(,)0.XF xyYF xy 如果如果 与与 不全为零，那么得：不全为零，那么得：100(,)F xy200(,)F xy(3)200100:(,):(,),X YF xyF xy 当当 时，直线时，直线(2)成为二次曲线成为二次曲线(1)的切线的条件除了的切线的条件除了 外，唯一的条件仍外，唯一的条件仍然是然是(3).(, )0X Y00(,)0F xy200100:(,):(,),X YF xyF xy因此过因此过 的切线方程为的切线方程为00(,)x y02000100(,),(,),xxF xytyyF xyt或写
4、成或写成或或解法一解法一因为因为且且01000200()(,)()(,)0.xx F xyyy F xy例例 1 求二次曲线求二次曲线的点的点 的切线方程的切线方程.22243 0 xxyyxy (2,1)(2,1)4 2 1 4 4 3 0,F 15(2,1)0,2F2(2,1)20,F ),(),(00100020yxFyyyxFxx即即15(2,1),2F2(2,1)2,F (2,1)0,F奇点奇点 如果如果那么那么(3)变为恒等式，变为恒等式，(3)从而切线不确定，从而切线不确定，100200( ,)( ,)0,F x yF x y切线的方向切线的方向 不能唯一地被确定不能唯一地被确定
5、,:X Y01000200() ( ,) ()( ,)0.x x F x yyy F x y5(2)2(1)0,2xy5460.xy所以所以 是二次曲线上的正常点，因此得在点是二次曲线上的正常点，因此得在点 的切线方程为的切线方程为(2,1)(2,1)我们就把这样的直线也看成是二次曲线的切线我们就把这样的直线也看成是二次曲线的切线.这时通过这时通过的任意直线都的任意直线都和二次曲线相交于和二次曲线相交于相互重合的两点，相互重合的两点，210020000( , )2 ( ,)( ,)( ,)0,X Y tF x yXF x yY tF x y奇点奇点:00(,)xy定义定义 5.3.2 二次曲线
6、上满足条件二次曲线上满足条件 的点的点 叫做二次叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；曲线的奇异点，简称奇点；100200(,)(,)0F xyF xy 二次曲线的非奇异点叫二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点做二次曲线的正常点.00(,)x y100200(,)(,)0,F xyF xy定理定理 5.3.1 每一条直线都是二次曲线的切线每一条直线都是二次曲线的切线.(3)正常点才能正常点才能用用),(00yx如果如果 是二次曲线的正常点，是二次曲线的正常点，00(,)xy),(00yx如果如果 是二次曲线的奇异点，是二次曲线的奇异点，00( ,)x y那么通过那么通过 的切线方程是的切线方程是(
7、3)，是它的切点是它的切点.00(,)xy00(,)xy),(00yx那么通过那么通过 的切线不确定，的切线不确定，),(00yx或者说通过点或者说通过点 的的00( , )x y00(,)xy01000200() ( , ) () ( , ) 0.x x F x yy y F x y(5.3-4)对比对比 公式公式(5.3-4)便于记忆，记忆的方法是在原方程便于记忆，记忆的方法是在原方程(1)中，把中，把写成写成就得出就得出(5.3-4).推论推论 如果如果 是二次曲线的正常点，是二次曲线的正常点，那么通过那么通过 的切线方程是的切线方程是00(,)xy00(,)xy11 012002201
8、3023033()()()0a x xax yxya y yaxxayya22111222132333( , )2220F x ya xa xy a ya xa y a22222xxyyxyxxxyxyyyxxyy000000 x xx yxyy yx xyy然后每项中的一个然后每项中的一个 或或 用用 或或 代入后，写成代入后，写成xy0 x0y证证把把(5.3-3)改写为改写为1002000 1000 200( ,)( ,) ( ,)( ,) 0 xF x yyF x yx F x yy F x y再根据本章开始时介绍得恒等式，上式又可写为再根据本章开始时介绍得恒等式，上式又可写为(5.3
9、-5)(5.3-3)即即从而得从而得(5.3-4).123( , )( , )( , )( , )0F x yxF x yyF x yF x y01000200() ( ,) ()( ,)0.x x F x yyy F x y100200300( ,)( ,)( ,)0.xF x yyF x yF x y11 01201312 02202313 023 033()()()0,x a xa yay a xa yaa xa ya所以点所以点 不在曲线上不在曲线上,)2 , 0(解法一解法一所以不能直接应用公式所以不能直接应用公式(5.3-3)或或(5.3-4).因为因为利用切线定义来做利用切线定义
10、来做.例例 2 求二次曲线求二次曲线 通过点通过点 的切线方程的切线方程.221 0 xxyy (0,2)(0,2)3,F,2,xXtyYt因为过点因为过点 的直线可以写成的直线可以写成(0,2)其中其中 为参数，为参数， 为直线的方向数为直线的方向数. 又因为又因为t,X Y所以根据直线与二次曲线的相切条件所以根据直线与二次曲线的相切条件(5.3-1)得得化简得化简得从而有从而有210020000( , )2 ( ,)( ,)( ,)0,X Y tF x yXF x yY tF x y,2,YtyXtx即即:1:211.X Y 或：1(0,2)1,F 2(0,2)2,F2222 3()0,X
11、YXXYY2220,XXYY(2)()0.XY XY再由过点再由过点 的直线方程得的直线方程得(0,2)消去参数得消去参数得, 022 yx, 02 yx这两直线的方向分别为这两直线的方向分别为1:2与与1:(-1)，显然它们都不，显然它们都不是已知二次曲线的渐近方向，所以这两直线就是是已知二次曲线的渐近方向，所以这两直线就是所求的过点所求的过点 的切线的切线.)2 , 0(,22 ,xtyt或或,2,xtyt 或或设过设过 的切线与二次曲线相切于的切线与二次曲线相切于解法二解法二)2 , 0(),(00yx那么切线方程为那么切线方程为00001()10,2x xx yxyy y 即即(3)因
12、为它通过因为它通过 ,所以所以 满足方程满足方程,将将 代代入化简得入化简得)2 , 0()2 , 0()2 , 0(4)另一方面点另一方面点 在曲线上，所以又有在曲线上，所以又有),(00yx(5)00001()1 0,2x xx y xyy y 0000111 0,22xyxxyy 00210,xy 22000010,xx yy 联立解联立解(4),(5)得切点坐标得切点坐标;0, 100yx与与.1,100yx将切点坐标代入将切点坐标代入(3)得所求的切线方程为得所求的切线方程为与与,01200yx, 01200020yyxx(4)(5)22 0 x y 2 0.x y 作业作业: 第第200页页. 1.(1),(2).
