1、机械工程控制基础机械工程控制基础p引言引言频率特性分析：将传递函数从复数域引到频域来分频率特性分析：将传递函数从复数域引到频域来分析系统的特性。析系统的特性。时域分析：重点研究过渡过程，通过阶跃或脉冲输时域分析：重点研究过渡过程，通过阶跃或脉冲输入下系统的入下系统的瞬态响应瞬态响应来研究系统的性能。来研究系统的性能。频域分析：通过系统在不同频率频域分析：通过系统在不同频率w w的谐波输入作用的谐波输入作用下的下的稳态响应稳态响应来研究系统的性能。来研究系统的性能。1 1、 时域分析的缺陷时域分析的缺陷 高阶系统的分析难以进行；高阶系统的分析难以进行； 难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影难
2、以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响；响； 当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。析工作将无法进行。 2 2、频域分析的目的、频域分析的目的频域分析频域分析：以输入信号的频率为变量，在频率域，研究系统：以输入信号的频率为变量，在频率域，研究系统的结构参数与性能的关系。的结构参数与性能的关系。 无需求解微分方程，图解无需求解微分方程，图解( (频率特性图频率特性图) )法法 间接揭示系统性能并指明改进性能的方向；间接揭示系统性能并指明改进性能的方向； 易于实验分析；易于实验分析； 优点：优点： 可推广应用于某些非线性
3、系统（如含有延可推广应用于某些非线性系统（如含有延 迟环节的系统）；迟环节的系统）； 可方便设计出能有效抑制噪声的系统。可方便设计出能有效抑制噪声的系统。5.1 5.1 频率特性频率特性5.5.1 5.5.1 频率响应频率响应22110110.)()()( sAasasabsbsbsXsGsXrnnnmmmionnnmmmioasasabsbsbsXsXsG .)()()(110110设线性系统传递函数为：设线性系统传递函数为：当正弦输入当正弦输入 x xi i( (t t)=)=A Ar rsinsin t t 时，相应的输出为：时，相应的输出为：线性系统在线性系统在正弦输入信号正弦输入信号
4、作用下的作用下的稳态稳态响应响应称为称为频率响应频率响应。（51）（52） （5 53 3）对于稳定系统，特征根对于稳定系统，特征根s si i(i=1,2,n)(i=1,2,n)都是负实根，都是负实根， 假定假定G(s)G(s)的极点为的极点为s si i(i=1,2,n)(i=1,2,n)互异，互异，则式则式(5(52)2)可展开成部分分式可展开成部分分式 1( )()nioiiCBDXssssjsj对上式取拉氏反变换，则对上式取拉氏反变换，则1( )ins tjtjtoiixtC eBeDe1lim0ins titiC e，因此系统的稳态响应为：，因此系统的稳态响应为：)(2)()(22
5、 jGjAjssAsGDrjsr 其中：其中：)(2)()(22 jGjAjssAsGBrjsr )()()()()( jjejGejGjG )(Re)(Im)()()()()( jGjGarctgjGejGjGj由于：由于：tjtjoDeBetx )(5(54)4)( sin()( cos()( jGtjjGtejGjtj )( sin()( cos()( jGtjjGtejGjtj 由于由于tjrtjroejAjGejAjGtx 2)(2)()(2)()( )( jGjtjjGjtjreejAjG 将将B,DB,D带入式（带入式（5 54 4）得）得(5(55 5）式（式（5 56 6）表
6、明：频率响应的显著特点是：）表明：频率响应的显著特点是：当输入为某一频率的正弦函数时，其稳定响应是与当输入为某一频率的正弦函数时，其稳定响应是与输入信号输入信号同频率同频率的正弦函数，只是的正弦函数，只是振幅振幅倍，相位移动了一个角度倍，相位移动了一个角度增大了增大了cA)( jG )( jG ) sin()( sin()()( tAjGtAjGtxcrorcAjGA )( )( jG （5 56 6）式中式中因此因此 式（式（5 55 5）变为）变为5.1.2 5.1.2 频率响应的定义频率响应的定义)()()( sin()()( jGjrroeAjGjGtAjGtx 0)(jrieAtx
7、线性系统在正弦信号的作用下，其稳态输出与输入的线性系统在正弦信号的作用下，其稳态输出与输入的复数之比与频率之间的关系称为系统的复数之比与频率之间的关系称为系统的频率特性频率特性。很明显，将正弦输入信号很明显，将正弦输入信号（5 56 6）分别表示成复数，再取输出与输入之比，）分别表示成复数，再取输出与输入之比，即可得到系统的频率特性如下：即可得到系统的频率特性如下：tAtxri sin)( 和稳态输出式和稳态输出式()()0()()()( )()j G jrj G josjjirG jA exjG jeG sxjA e)( jG jnnnmmmajajabjbjbjG .)()(.)()()(
8、110110 所以频率特性为所以频率特性为所以频率特性所以频率特性可以将传递函数可以将传递函数G(s)G(s)中的中的s s用用代替完成，即代替完成，即（5 58 8）（5 57 7） jssGjG )()(由此可见：频率特性是传递函数中的复变量由此可见：频率特性是传递函数中的复变量s s仅在虚轴上的特殊情况。因此和传递函数仅在虚轴上的特殊情况。因此和传递函数一样，式（一样，式（5 58 8）中各项系数完全取决于系）中各项系数完全取决于系统本身的结构参数，而与输入信号的形式无统本身的结构参数，而与输入信号的形式无关，它所描述的也是系统本身的固有特性，关，它所描述的也是系统本身的固有特性，这就是
9、运用频率特性可以研究系统动态特性这就是运用频率特性可以研究系统动态特性的缘故。频率特性是在频率域内描述系统运的缘故。频率特性是在频率域内描述系统运动规律的又一种数学模型。动规律的又一种数学模型。 2)2(1)2()()()(22222nnnnnnnioBsssssssXsXsG 2)()(222 nnnBjjG )( 4)()(22222 nnnBjG 解：系统的闭环传递函数为解：系统的闭环传递函数为其频率特性为：其频率特性为：幅频特性为：幅频特性为：)2arctan()(22 nn 224)(4)1(2222 nnn 相频特性为：相频特性为：由已知条件知：当由已知条件知：当1 时，时，45)
10、12arctan()(2 nn 122 nn ，也即，也即 由已知条件和式（由已知条件和式（5 57 7）得：）得：联立以上两式，求得：联立以上两式，求得：244. 1 22. 0 n )(1teidtCRidtdiLi )()()1(sEsIsCRLsi 111)()()(2 RCsLCssCsCRLssEsIsGi解：根据回路电压定律有解：根据回路电压定律有对上式进行拉式变换得对上式进行拉式变换得系统的传递函数为系统的传递函数为 RCjLCCjjG 1)(22)()1()( RCLCCjG LCRCjG 1arctan2)(系统的频率特性系统的频率特性系统的幅频特性系统的幅频特性系统的相频
11、特性系统的相频特性)1arctan2sin()()1()(22 LCRCtRCLCCtiss )1arctancos()()1()(22 LCRCtRCLCCtiss 根据系统频率特性的定义有根据系统频率特性的定义有也即：也即：jjjG 4131010)(2 222216)13(110)( jG2134arctanarctan)()( jG解：系统的频率特性为解：系统的频率特性为幅频特性幅频特性 相频特性相频特性 编写编写MATLABMATLAB程序，源代码如程序，源代码如eg5_3.m eg5_3.m 选取不同的选取不同的值分别代入以上两式值分别代入以上两式运行上述程序得到如图运行上述程序得
12、到如图5 53 3所示的频率特性曲线。所示的频率特性曲线。w=0:0.1:10A=10*sqrt(w.2+1)dd=(13-w.2).2+16*w.2dd=sqrt(dd)A=A./ddsubplot(211)plot(w,A,k)xlabel(omega)ylabel(|G(jomega)|)grid subplot(212)x=atan(w)-atan(4*w/(13-w.2) plot(w,x,k) xlabel(omega) ylabel(phi(omega) %grid on grid在在MATLAB中，有一种特殊的中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关运算，因为其运算符是在有关
13、算术运算符前面加点，所以叫算术运算符前面加点，所以叫点运算。点运算符有点运算。点运算符有.*、./、.和和.。两矩阵进行点运算是指。两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同要求两矩阵的维参数相同。)()()( jQPjG )()(22)()()()( jjejGeQPjG )()(arctan)( PQ 频率特性频率特性()G j是一个复数，因而可用下式表示：是一个复数，因而可用下式表示：或写做或写做 （5 59 9）式中式中 这样这样的向量来表示。的向量来表示。)( jG)( jG)( 可用幅值可用幅值相角相角当输入信号的频率当输入信
14、号的频率有有 0)( jG变化时，向量变化时，向量的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。这种图形主要用于对闭上移动的轨迹称为极坐标图。这种图形主要用于对闭环系统稳定型的研究，奈奎斯特（环系统稳定型的研究，奈奎斯特（N.NyquistN.Nyquist）在）在19321932年基于极坐标图阐述了反馈系统稳定性的论证。为纪念年基于极坐标图阐述了反馈系统稳定性的论证。为纪念他对控制理论所作出的贡献，这种图形又名奈奎斯特曲他对控制理论所作出的贡献，这种图形又名奈奎斯特曲线，简称线，简称奈氏图奈氏图。5.2 5.2 频率特性
15、的图示方法（频率特性的图示方法（1 1） _Nyquist_Nyquist图示法图示法 一、频率特性的极坐标图一、频率特性的极坐标图(Nyquist(Nyquist图、幅相频率特性图）图、幅相频率特性图） )()()()()()()(Im)(Re)(jjGjeAejGjQPjGjjGjG)()(arctan)()()()(22PQQPA，其中，其中，P P( ( ) )、Q Q( ( ) )分别称为系统分别称为系统的的实频特性实频特性和和虚频特性虚频特性。显然：。显然：在复平面上，随在复平面上，随 （0 0 ）的变化，向量）的变化，向量G G( (j j ) )端点的变化曲端点的变化曲线（轨迹
16、），称为系统的线（轨迹），称为系统的幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线。得到的图形称为。得到的图形称为系统的系统的奈奎斯特图或极坐标图奈奎斯特图或极坐标图。易知，向量易知，向量G G( (j j ) )的长度等于的长度等于A A( (j j ) )（| |G G( (j j )|)|）；由正实）；由正实轴方向沿逆时针方向绕原点转至向量轴方向沿逆时针方向绕原点转至向量G G( (j j ) )方向的角度等于方向的角度等于 ( ( )()( G G( (j j ) )）。）。 1 1、比例环节、比例环节 二、典型环节的二、典型环节的NyquistNyquist图图传递函数：传递函数：G G( (s
17、s) = ) = K K频率特性：频率特性：G G( (j j ) = ) = K K = = KeKej j0 0实频特性：实频特性：P P( ( ) = ) = K K虚频特性：虚频特性：Q Q( ( ) = 0) = 0幅频特性：幅频特性：A A( ( ) = ) = K K相频特性：相频特性： ( ( ) = 0) = 0比例环节的比例环节的Nyquist图：图：K K0 0ReReImImNyquist DiagramNyquist Diagram2 2、 积分环节积分环节 传递函数：传递函数：ssG1)(频率特性：频率特性：2111)(jejjjG幅频特性：幅频特性：1)(A相频特
18、性：相频特性： ( ( ) = -90) = -90实频特性：实频特性：0)(P虚频特性：虚频特性：1)(Q积分环节的积分环节的NyquistNyquist图图 0 0ReReImIm =0 =0 = = 3 3、理想微分环节、理想微分环节 传递函数：传递函数：ssG)(频率特性：频率特性：2)(jejjG实频特性：实频特性：0)(P虚频特性：虚频特性：)(Q幅频特性：幅频特性：)(A相频特性：相频特性： ( ( ) = 90) = 90理想微分环节的理想微分环节的NyquistNyquist图图 0 0ReReImIm =0 =0 = = 4 4、惯性环节、惯性环节 传递函数：传递函数：11
19、)(TssG频率特性：频率特性：TjeTTTjTTjjGarctan2222111)(1)(111)(相频特性：相频特性： ( ( ) = - arctan) = - arctanT T 幅频特性：幅频特性：2211)(TA当当时，时， 当当1/T1/T时，时，当当0 0时，时，0)G(j , 1)( jG-45)G(j ,2/1)( jG-90)G(j , 0)( jG 11)(22 TP 1)(22 TTQ 下面证明其下面证明其NyquistNyquist是一个半圆：是一个半圆：由式（由式（5 51010）知）知 )(1)(1)()(222 PTQP 222)21()(21)( QP由于由
20、于 因此因此5 5、一阶微分环节、一阶微分环节 一阶微分环节的传递函数为：一阶微分环节的传递函数为： G(s) G(s) Ts+1Ts+1故其频率特性为故其频率特性为 G(j) G(j) jT+1jT+1实频特性：实频特性：1)( P虚频特性：虚频特性：TQ )(幅频特性：幅频特性： |G(j)|G(j)|相频特性：相频特性： G(j)G(j)arctanT arctanT 122 T 当当时，时，|G(j)|G(j)|0 0，G(j)G(j)90900 0 ； 由此有：由此有： 当当0 0时，时，|G(j)|G(j)|1 1，G(j)G(j)0 00 0 ； 当当1/T1/T时，时，45)G
21、(j ,2)( jG可见，当可见，当从从00，G(j)G(j)的幅值由的幅值由11，其相位由其相位由0900900 0。对上述两种环节用对上述两种环节用MATLABMATLAB编程验证上述结论，编程验证上述结论，源代码如源代码如 fig5_5.m fig5_5.m 运行上述程序得到如图运行上述程序得到如图5-55-5所示的所示的NyquistNyquist图图图图55 惯性环节和一阶微分环节的惯性环节和一阶微分环节的Nyquist图图从图从图5-5(a)5-5(a)中可以看出，当中可以看出，当从从00时，惯性环节时，惯性环节频率特性的频率特性的NyquistNyquist图为正实轴下的一个半圆
22、，圆心为图为正实轴下的一个半圆，圆心为(1/2(1/2，j0)j0)，半径为，半径为1 12 2。惯性环节频率特性的幅值。惯性环节频率特性的幅值随着频率随着频率的增大而减小，因而具有低通滤波的性能。的增大而减小，因而具有低通滤波的性能。它存在相位滞后，且滞后相位角随频率的增大而增大，它存在相位滞后，且滞后相位角随频率的增大而增大，最大相位滞后为最大相位滞后为90900 0。从图从图5-5(b)5-5(b)中可以看出中可以看出: :一阶微分环节频率特性的一阶微分环节频率特性的NyquistNyquist图始于点图始于点(1(1，j0)j0)，平行于虚轴，是在第一象限的一条，平行于虚轴，是在第一象
23、限的一条垂线，它与惯性环节的垂线，它与惯性环节的NyquistNyquist图截然不同。图截然不同。6 6、振荡环节、振荡环节 )1(0 )2()(n2 nsssGnnnjjjjG2224n3222n2n2424 )1(0 )2()( 典型开环系统二阶振荡环节的传递函数为：典型开环系统二阶振荡环节的传递函数为： 系统的频率特性为系统的频率特性为 下面的下面的MATLABMATLAB语句得出不同阻尼比下的语句得出不同阻尼比下的NyquistNyquist图。图。 MATLABMATLAB程序源代码如程序源代码如fig5_6.mfig5_6.m：固定在固定在 再改变阻尼比再改变阻尼比得出的实部和虚
24、部均趋近于无穷大。如果我们把得出的实部和虚部均趋近于无穷大。如果我们把频率频率0 n 从式（从式（5 51111）可以看出：当频率很低时，即）可以看出：当频率很低时，即1 n 的值，则可以由的值，则可以由wn=1;xi=0.1:0.1:1.2;w=logspace(-1,1)X= ;Y= ;for i=1:length(xi) x=-wn*wn./(4*xi(i)2*wn2+w.2); y=-2.*w*xi(i)*wn3./(w.4+4*xi(i)2*wn2*w.2); X=X,x;Y=Y,yendfigure(1)plot(X,Y),axis(square) grid onxlabel(re
25、al Axis);ylabel(Imag axis)gtext(xi=0.1)gtext(xi=0.2)gtext(xi=0.3)生成对数等分向量，生成对数等分向量，logspace(a,b,n)生成从生成从10a到到10b之间按对数等分的之间按对数等分的n个个元素的行向量，元素的行向量，n默认值为默认值为50；频率为；频率为0.110nnQP2224n3222n242)(4)( 产生正方产生正方形坐标系形坐标系比较比较P95程序，总结生成一簇曲线的编程方法。程序，总结生成一簇曲线的编程方法。图图 56 二阶开环系统的二阶开环系统的Nyquist图图变小，变小，可以看出：如果可以看出：如果 则
26、频域响应的则频域响应的幅值将增大。幅值将增大。假设闭环系统由单位阶跃函数结构构成，假设闭环系统由单位阶跃函数结构构成，则它的闭环传递函数为则它的闭环传递函数为)1(0 2)2(1)2()(n22n2n2n2 sssssssGnnn它的频率响应为它的频率响应为 )1(0 2)(2n2n2 jjGn（512）nnj 2112 222211)( nnA 幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：212arctan)( nn 1)0()( AAq = 0= 0时时 21)()(nAAq = = n n时时 0)()( AAq = = 时时 0)0()(90)()(n180)()(22222n2n3222
27、22n222n24)(24)()( nnnj 实频特性：实频特性：22222n222n24)()()( nnP 虚频特性：虚频特性：22222n2n34)(2)( nQ )1(0 2)(2n2n2 jjGn把自然频率把自然频率固定在固定在n 1 n 再改变阻尼比再改变阻尼比的值，则可以由下面的的值，则可以由下面的MATLABMATLAB语句得出不同阻尼语句得出不同阻尼比下的比下的NyquistNyquist图。图。MATLABMATLAB程序源代码如程序源代码如 fig5_7.mfig5_7.m：wn=1;zeta=0.1:0.1:1.2;X= ;Y= ;w=logspace(-1,1,100
28、0) for i=1:length(zeta) dd=wn4+w.4+2*(2*zeta(i)2-1)*wn2*w.2; x=wn2*(wn2-w.2)./dd; y=-2*zeta(i)*wn3*w./dd; X=X,x;Y=Y,y; end plot(X,Y),axis(square) grid xlabel(real Axis);ylabel(Imag axis)22222n2n322222n222n24)(2)(4)()()(nnnQP增加点数增加点数,得到得到光滑曲线光滑曲线运行上述程序得到图运行上述程序得到图5 57 7所示的所示的NyquistNyquist图。图。例例5 57
29、7 二阶闭环系统的二阶闭环系统的NyquistNyquist图图可以看出：所有的曲线均起始于（可以看出：所有的曲线均起始于（1 1，j0j0），），终止于（终止于（0 0，j0j0），当阻尼比），当阻尼比)( jG则曲线的幅度将增大，这将对应于更大的则曲线的幅度将增大，这将对应于更大的值。值。的值减少时，的值减少时，5.2.25.2.2开环系统的开环系统的NyquistNyquist图图vjuejGjGj )()()( 0 把开环频率特性化成如下的极坐标形式：把开环频率特性化成如下的极坐标形式：和和的特征。的特征。 0当当由由变化时，逐点计算相应的实部特性和变化时，逐点计算相应的实部特性和下面
30、分析不同类型的下面分析不同类型的NyquistNyquist图在图在虚部特性的值，据此画出开环系统的虚部特性的值，据此画出开环系统的NyquistNyquist图。图。考虑如下系统：考虑如下系统：)()1()1)(1()()1()1)(1()(2121mnTjTjTjjjjjKjGvnvm q 0 0型系统（型系统（v v = 0= 0） 0 0+ +： A A(0)(0)K K ： A A( ( ) )0 0 (0)(0)0 0 ( ( ) )( (n nm m) )9090只包含惯性环节的只包含惯性环节的0 0型系统型系统NyquistNyquist图图ReReImIm 0 0K K n
31、n=1=1n n=2=2n n=3=3n n=4=4 0 0q I I型系统（型系统（v v = 1= 1） 0 0+ +： ： (0)(0)9090 ( ( ) )( (n nm m) )9090A A( ( ) )0 0A A(0)(0) ReReImIm 0 0 n n=2=2n n=3=3n n=4=4 0 0n n=1=1只包含惯性环节的只包含惯性环节的型系统型系统NyquistNyquist图图 01. 1)1)(1 . 01()1 . 01(10)1)(1 . 01(10)(22220 jjjjG )1)(1 . 01()1 . 01(102222 u 01. 1 v解：解：1
32、1）0 0型系统的频率特性为型系统的频率特性为实频特性：实频特性：虚频特性：虚频特性：由上述两式，在由上述两式，在MATLABMATLAB中编程绘制中编程绘制nyquistnyquist图，图，源代码如源代码如 fig5_8.mfig5_8.m：运行上述程序得到运行上述程序得到nyquistnyquist曲线如图曲线如图5 58 8所示所示 图图58 0型系统的型系统的Nyquist图图 )(10)1(10)1(10)(32jjjjGI )1(102 u)( 103 v2 2）I I型系统的频率特性型系统的频率特性实部特性：实部特性：虚部特性：虚部特性： 由上述两式，在由上述两式，在MATLA
33、BMATLAB中编程绘制中编程绘制NyquistNyquist图，图，源代码如源代码如 fig5_9.mfig5_9.m：运行上述程序得到运行上述程序得到NyquistNyquist曲线如图曲线如图5 59 9所示。所示。图图59 I型系统的型系统的Nyquist图图q II II型系统（型系统（v v = 2= 2） ： ( ( ) )( (n nm m) )9090A A( ( ) )0 0 0 0+ +： (0)(0)180180A A(0)(0) ReReImIm 0 0 n n=2=2n n=3=3n n=4=4 0 0只包含惯性环节的只包含惯性环节的型系统型系统NyquistNyq
34、uist图图 2422II11010)j(1j10)(jG j4210 u 2110 v解：该系统的开环频率特性为解：该系统的开环频率特性为实部特性：实部特性：虚部特性：虚部特性：由上述两式，在由上述两式，在MATLABMATLAB中编程绘制中编程绘制NyquistNyquist图，图，源代码如源代码如 fig5_10.mfig5_10.m：运行上述程序得到运行上述程序得到NyquistNyquist曲线如图曲线如图5 51010所示。所示。图图510 II型系统的型系统的Nyquist图图5.2.35.2.3用用MATLABMATLAB函数绘制函数绘制NyquistNyquist图图 控制系
35、统的控制系统的NyquistNyquist图既可以判别闭环系统的稳定性，图既可以判别闭环系统的稳定性，也能确定系统的相对稳定性。也能确定系统的相对稳定性。 MATLABMATLAB有专用函数去绘制有专用函数去绘制NyquistNyquist图，不仅快捷方便，图，不仅快捷方便，而且也省去了大量的编程工作。而且也省去了大量的编程工作。 已知系统的传递函数，则可以应用已知系统的传递函数，则可以应用MATLABMATLAB功能指令：功能指令：Nyquist(num,den)Nyquist(num,den)就能方便地画出系统的就能方便地画出系统的NyquistNyquist图。图。其中，其中，num,d
36、ennum,den分别为开环传递函数分别为开环传递函数G(s)H(s)G(s)H(s)的分子和分母多项式的系数，按下式所示形式组的分子和分母多项式的系数，按下式所示形式组成的数组：成的数组：m)(n .)()(110110 nnnmmmasasabsbsbsHsG,.,den ,.,1010mmaaabbbnum 则则通过执行通过执行nyquistnyquist绘图命令，绘图命令，就能在屏幕上自动生成就能在屏幕上自动生成NyquistNyquist绘图。绘图。解：解：MATLABMATLAB程序源代码如程序源代码如eg5_6.m eg5_6.m ：运行上述程序得到曲线如图运行上述程序得到曲线如
37、图5 51111所示。所示。图图511 例例56 的的Nyquist图图当用户需要指定的频率时，可用指令：当用户需要指定的频率时，可用指令： Re,Im,w=nyquist(num,den) Re,Im,w=nyquist(num,den)或或 Re,Im,w=nyquist(num,den,w)Re,Im,w=nyquist(num,den,w)这两种指令不能直接产生这两种指令不能直接产生NyquistNyquist绘图。绘图。因为因为MATLABMATLAB仅做了系统频率响应实部和虚部的计算仅做了系统频率响应实部和虚部的计算与排列工作。其中与排列工作。其中Re,Im,wRe,Im,w分别以
38、矩阵的形式给出。分别以矩阵的形式给出。如要产生如要产生NyquistNyquist绘图需要加指令：绘图需要加指令： plot(Re,Im) plot(Re,Im) 指令指令plotplot根据已经算好的根据已经算好的Re,ImRe,Im， 画出系统的画出系统的NyquistNyquist图。图。解：解：MATLABMATLAB程序源代码如程序源代码如 eg5_7.m eg5_7.m ：运行上述程序得到曲线如图运行上述程序得到曲线如图5 51212所示所示图图5 512 12 例例5 577的的NyquistNyquist图图作业n5-2n5-35.3 Bode5.3 Bode图示法图示法5.3
39、.1 5.3.1 频率特性的对数坐标图频率特性的对数坐标图波德波德(Bode)(Bode)图图（对数频率特性图，包括对数幅频特性图和对数（对数频率特性图，包括对数幅频特性图和对数相频特性图）相频特性图） q 对数幅频特性图对数幅频特性图横坐标：以横坐标：以1010为底的对数分度表示的角频率为底的对数分度表示的角频率 单位单位 radrad/ /s s或或HzHz纵坐标：线性分度，表示幅值纵坐标：线性分度，表示幅值A A( ( ) )对数的对数的2020 倍，即：倍，即： L L( ( )=20log)=20logA A( ( ) )单位单位 分贝（分贝（dBdB）特别特别：当当L L( ( )
40、=0)=0，输出幅值，输出幅值输入幅值；输入幅值；当当L(w)0L(w)0时，输出幅值时，输出幅值输入幅值输入幅值( (放大放大) )；当当L(w)0L(w)0时，输出幅值时，输出幅值 输入幅值输入幅值( (衰减衰减) )。q 对数相频特性图对数相频特性图 横坐标：与对数幅频特横坐标：与对数幅频特性图相同。性图相同。 纵坐标：线性分度，纵坐标：线性分度，频率特性的相角频率特性的相角 ( ( ) ) 单位单位 度度( ( ) )121212j( )j( )j( )12nj( )( ) .( )12n()()().() =A ( )eA ( )e.A ( )e =A ( )A ( ).A ( )e
41、 nnnG jG jGjGj 12n12nnii=1()20 lg() =20lgA ()A().A() =20lgA ()20 log A().+20lgA() =20lgA () LGj12ni=1( )()( )( ).( ) =( )niG j 当当n n个环节串联时：个环节串联时：对数幅频特性为：对数幅频特性为：对数相频特性为对数相频特性为 （5 51515）（5 51313）（5 51414）q 几点说明几点说明 在对数频率特性图中，由于横坐标采用了对数分度，因此在对数频率特性图中，由于横坐标采用了对数分度，因此 =0 =0 不可能在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由不可能
42、在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定；所感兴趣的频率范围确定； 此外，横坐标一般只标注此外，横坐标一般只标注 的自然的自然数值；数值； 在对数频率特性图中，角频率在对数频率特性图中，角频率 变化的倍数往往比其变化的变化的倍数往往比其变化的数值更有意义。为此通常采用频率比的概念：频率变化十倍的区数值更有意义。为此通常采用频率比的概念：频率变化十倍的区间称为一个间称为一个十倍频程十倍频程，记为，记为decadedecade或简写为或简写为 decdec；频率变化两倍；频率变化两倍的区间称为一个的区间称为一个二倍频程二倍频程，记为，记为octaveoctave或简写为或
43、简写为octoct。它们也用。它们也用作频率变化的单位。作频率变化的单位。 通常用通常用L L( ( ) )简记对数幅频特性，也称简记对数幅频特性，也称L L( ( ) ) 为增益；用为增益；用 ( ( ) )简记对数相频特性。简记对数相频特性。 对数坐标的优点对数坐标的优点 幅值相乘、相除，变为相加，相减，简化作图；幅值相乘、相除，变为相加，相减，简化作图； 对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围 可以注意到，频率变化可以注意到，频率变化1010倍，在对数坐标上是等距的，等于倍，在对数坐标上是等距的，等于一个单位。一个单位。 1 1、比例环节、比例环节 5.
44、3.2 5.3.2 典型环节的典型环节的BodeBode图图传递函数：传递函数：G G( (s s) = ) = K K频率特性：频率特性：G G( (j j ) = ) = K K = = KeKej j0 0实频特性：实频特性：P P( ( ) = ) = K K虚频特性：虚频特性：Q Q( ( ) = 0) = 0对数幅频特性：对数幅频特性：L L( ( ) = 20lg) = 20lgK K对数相频特性：对数相频特性： ( ( ) = 0) = 0幅频特性：幅频特性：A A( ( ) = ) = K K相频特性：相频特性： ( ( ) = 0) = 0根据上述两式在根据上述两式在MAT
45、LAB中编程，其源代码如下：中编程，其源代码如下：w=logspace(-1,1,1000);K=10Lw=20*log10(K)phi_w=0subplot(211)semilogx(w,Lw,b)gridxlabel(omega)ylabel(L(omega)subplot(212)semilogx(w,phi_w,r)gridxlabel(omega)ylabel(phi(omega)运行程序运行程序fig5_14.m，得到图，得到图514所示的对数幅频特性曲线。所示的对数幅频特性曲线。绘制绘制x为对数为对数坐标的曲线坐标的曲线比例环节的对数幅频特性曲线图：比例环节的对数幅频特性曲线图：
46、可见，比例环节的对数可见，比例环节的对数幅频特性曲线是幅频特性曲线是条高条高度等于度等于20lgK20lgK的水平直线；的水平直线；其对数相频特性曲线是其对数相频特性曲线是与与0 0o o重合的重合的直线，如直线，如图图5 51414所示所示( (图中图中K K10)10)。当当K K值改变时，只是对数幅值改变时，只是对数幅频特性上、下移动而对数频特性上、下移动而对数相频特性不变。相频特性不变。2 2、 积分环节积分环节 传递函数：传递函数：ssG1)(频率特性：频率特性：jjG1)(幅频特性：幅频特性：1)(A相频特性：相频特性： ( ( ) = -90) = -90对数幅频特性：对数幅频特
47、性： log20)( L对数相频特性：对数相频特性： ( ( ) = -90) = -90 积分环节的积分环节的BodeBode图图 10-1100101-20-1001020L()10-1100101-91-90.5-90-89.5-89()3 3、理想微分环节、理想微分环节 传递函数：传递函数：ssG)(频率特性：频率特性：2)(jejjG对数相频特性：对数相频特性： ( ( ) = 90) = 90对数幅频特性：对数幅频特性： lg20)( L幅频特性：幅频特性：)(A相频特性：相频特性： ( ( ) = 90) = 90 理想微分环节的理想微分环节的BodeBode图图 10-1100
48、101-20-1001020L()10-11001018989.59090.591()4 4、惯性环节、惯性环节 传递函数：传递函数：11)(TssG频率特性：频率特性：jarctgTeTTjjG221111)(相频特性：相频特性： ( ( ) = - arctg) = - arctgT T 幅频特性：幅频特性：2211)(TA 惯性环节的惯性环节的BodeBode图图 q 低频段低频段( ( 1/T ) 1/T ) 1/T )lg20lg20T即高频段可近似为斜率为即高频段可近似为斜率为-20-20dB/dec dB/dec 的直线，称的直线，称为为高频渐近线高频渐近线。TTLlg201lg
49、20)(22转折频率转折频率-30-30-20-20-10-100 01010- -9090-45-450 01/T1/TL L( ( )/ (dB)/ (dB) ( ( ) )Bode DiagramBode Diagram ( (radrad/ /secsec) )实际幅频特性实际幅频特性渐近线渐近线-20dB/dec-20dB/decq 转折频率（转折频率（ 1/T )1/T )低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点 1/T1/T，称为，称为转折频率（截止频率）转折频率（截止频率）。在转折频率处，在转折频率处，L L( ( ) ) -3 -3dBdB
50、， ( ( ) )-45-45 。惯性环节具有惯性环节具有低通滤波低通滤波特性。特性。5 5、一阶微分环节、一阶微分环节 对数相频特性：对数相频特性： ( ( ) = arctg) = arctg T T传递函数：传递函数：1)( TssG频率特性：频率特性：TjjG 1)(对数幅频特性：对数幅频特性：221lg20)(TL 幅频特性：幅频特性：221)(TA 相频特性：相频特性： ( ( ) = arctg) = arctg T T 一阶微分环节的一阶微分环节的BodeBode图图 注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒数，根据对数频率特性图
