1、目录 上页 下页 返回 结束 实例实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一团在坐标原点处有一团火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比在温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁首先应沿什么方向爬行才能个蚂蚁，问这只蚂蚁首先应沿什么方向爬行才能 最快到达较凉快的地点？最快到达较凉快的地点？ 问题的问题的实质实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方：应沿由热变冷变化最骤烈的方向爬行向爬行一、问题的提出目录
2、 上页 下页 返回 结束 .)(),(),( 0000内有定义内有定义的某一邻域的某一邻域在点在点设设PUyxPyxfz ,0lP引射线引射线自点自点 ,)cos,cos(00上的另一点上的另一点为为设设ltytxP ),(0PUP 且且),cos ,(cos le设设oyxl0PP le的参数方程可为的参数方程可为 则射线则射线 ,sincos00 tyytxx. 0 t),()(0PfPfz ,|0tPP ? z问当问当P 沿着沿着 趋于趋于P0时，时，l二、方向导数二、方向导数目录 上页 下页 返回 结束 tyxftytxft),()cos ,cos(lim00000 是否存在？是否存在
3、？ ,)cos,cos(00上的另一点上的另一点为为设设ltytxP ),(0PUP 且且),()(0PfPfz ,|0tPP 问当问当P 沿着沿着 趋于趋于P0时，时，l? z即即 若存在，若存在， 则称此极限为则称此极限为函数函数f (x, y)在点在点P0 沿方向沿方向 l的方向导数，的方向导数， 记作记作 ,0Plf 即即 0Plf.),()cos ,cos(lim00000tyxftytxft 目录 上页 下页 返回 结束 , ,),(存在时存在时的偏导数的偏导数当函数当函数yxffyxfz :),(),(lzlyxPyxfz 的方向导数的方向导数沿方向沿方向在点在点求函数求函数)0
4、 , 1( )1 ltyxfytxflft) ,() ,(lim00000 0P lP xyo),(00yxfx ).,(00yxfx (cos0, cos)2目录 上页 下页 返回 结束 )0 , 1( )2 ltyxfytxflft) ,() ,(lim00000 tyxfytxft ) ,() ,(lim000000P lP xyo) ,(00yxfx 同理可得：当同理可得：当f (x, y )在点在点P0的偏导数存在时，的偏导数存在时， f (x, y )在点在点P0沿着沿着y轴正向，轴正向，y轴负向的方向导数轴负向的方向导数).,( ),(0000yxfyxfyy 分别为分别为).
5、,(00yxfx )2cos ,(cos 目录 上页 下页 返回 结束 讨论函数讨论函数22),(yxyxfz 在在)0 , 0(点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？思考题思考题目录 上页 下页 返回 结束 xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同理：同理：)0,0(yz yyy |lim0故故两两个个偏偏导导数数均均不不存存在在.思考题解答思考题解答目录 上页 下页 返回 结束 沿任意方向沿任意方向 , lx y的方向导数的方向导数, )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(l
6、im22220 yxyx 故沿任意方向的方向导数均存在且相等故沿任意方向的方向导数均存在且相等.目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点) ,(000yxP是可是可微分的，那末函数在该点沿任意方向微分的，那末函数在该点沿任意方向l的方向导的方向导数都存在，且有数都存在，且有 cos) ,(cos) ,(00000yxfyxflfyxP ， 其中其中 cos cos 、为为方向方向l的方向余弦的方向余弦 证明证明 由于函数可微，则全增量可表示为由于函数可微，则全增量可表示为 )(),() ,( oyyfxxfyxfyyxxf 目录 上页 下页 返回 结束
7、)(),() ,(000000 oyyfxxfyxfyyxxfPP ),()cos ,cos(0000yxftytxf tyxftytxft),()cos ,cos(lim00000 ),(coscos00totyftxfPP ,)(coscos lim000 ttoyfxfPPt .cos)(cos)(000 PfPflfyxP 证毕证毕. 目录 上页 下页 返回 结束 ：与方向导数存在的关系与方向导数存在的关系处偏导数存在处偏导数存在在点在点函数函数),(),( yxPyxfz 偏导数存在偏导数存在 沿任意方向的沿任意方向的方向导数存在方向导数存在 可微可微 沿任意方向的沿任意方向的方向导
8、数存在方向导数存在 偏导数存在偏导数存在 沿沿x，y正负半轴方向的方正负半轴方向的方 向导数存在向导数存在且互为相反数且互为相反数 目录 上页 下页 返回 结束 例例 1 1 求函数求函数yxez2 在点在点)0 , 1(P处沿从点处沿从点 )0 , 1(P 到点到点)1 , 2( Q的方向的方向导数的方向的方向导数. 解解 ; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz故故所求方向导数所求方向导数 21221 .22 这里方向这里方向l即为即为)1 , 1( PQ, PPyfxflz coscos其方向余弦为其方向余弦为 ,21cos ,21cos
9、目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方向导数.解解: 将已知曲线用参数方程表示为2)2, 1 (xxPlz它在点 P 的切向量为,171cos1760 xOy2P1 2xyxx1716xy174)23(2yx)4, 1 (174cos1)3,2(目录 上页 下页 返回 结束 对于三元函数对于三元函数),(zyxfu ，它在空间一点，它在空间一点) , ,(0000zyxP沿着方向沿着方向l的方向导数的方向导数 ，可定义为，可定义为 0Plf推广可得三元函数方向导数推广可得三元函数方向导数,),()cos ,cos ,
10、cos(lim0000000tzyxftztytxft 同理：当函数在此点可微时，那末函数同理：当函数在此点可微时，那末函数 在该点沿任意方向在该点沿任意方向l的方向导数都存在，且有的方向导数都存在，且有 .coscoscos0000 PPPPzfyfxflf (其中其中 ).cos ,cos ,(cos le目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设是曲面n在点 P(1, 1, 1 )处指向外侧的法向量,解解: 方向余弦为,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向导数.Pzyx)2,6,4(1467111
11、143826141Pyxzx22866zyxu2286在点P 处沿求函数nn目录 上页 下页 返回 结束 1 1. .定义定义 设函数设函数),(yxfz 在平面区域在平面区域 D 内具内具有一阶连续偏导数，则对于每一点有一阶连续偏导数，则对于每一点DyxP ),(000，都可定出一个向量都可定出一个向量 0 ,Pyfxf ， 这向量称为函数， 这向量称为函数),(yxfz 在点在点),(000yxP的梯度，记为的梯度，记为 ),(00yxgradf. ,0Pyfxf ),(00yxf, ,0Pyfxf 或或 . .三、梯度三、梯度 ?:0最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函数在
12、点函数在点问题问题P目录 上页 下页 返回 结束 coscos000PPPyfxflf os ,cos ,0 cyfxfP leyxgradf ),(00,cos),( 00 yxgradf 其中其中) ),( leyxgradf . 设设),(yxf在在点点0P可微可微， ),sin ,(cos lel是是过点过点0P的任意一个的任意一个方向，方向， 则则 说明说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:leflfgradgrad( 为方向l 上的单位向量)le目录 上页 下页 返回 结束 函数在某点的梯度是这样一个向量，它函数在某点的梯度是这样一个向量，它 的方向与取得最大方向导数的方向
13、一致的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它而它 的模为方向导数的最大值的模为方向导数的最大值 结论结论gradfgradf P ),( 00max0yxgradflfP 即即 当当1cos 时，时， 0Plf 有最大值有最大值. 目录 上页 下页 返回 结束 实例实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一团在坐标原点处有一团火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比在温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一处有一个蚂蚁
14、，问这只蚂蚁首先应沿什么方向爬行才能个蚂蚁，问这只蚂蚁首先应沿什么方向爬行才能 最快到达较凉快的地点？最快到达较凉快的地点？答答：这只蚂蚁首先应沿：这只蚂蚁首先应沿板上的温度函数在板上的温度函数在(3, 2)处的负梯度方向处的负梯度方向爬行才能最快到达较凉快的地点爬行才能最快到达较凉快的地点.目录 上页 下页 返回 结束 Oyx1cf 2cf )(321ccc设P面上的投影在曲线xOyczyxfz),(cyxfL),(:*称为函数 f 的等值线等值线或等高线等高线 . ,不同时为零设yxff则L*上点P 处的法向量为 Pyxff),(Pfgradgrad3cf , ),(yxfz 对函数举例P
15、f2. 梯度的几何意义梯度的几何意义等高线在等高线在P处的切线斜率处的切线斜率0Pdxdyk ,0Pyxff x轴到梯度的转角的正切为轴到梯度的转角的正切为 .tan0Pxyff 即梯度为等高线上的法向量即梯度为等高线上的法向量,指向函数指向函数增大的方向增大的方向.目录 上页 下页 返回 结束 函数在某点的梯度是这样一个向量，函数在某点的梯度是这样一个向量， 它的方向与取得最大方向导数的方向一致它的方向与取得最大方向导数的方向一致， 而它的模为方向导数的最大值而它的模为方向导数的最大值 结论结论 ),( 00max0yxgradflfP 即即 .),(),( 00一个方向相同一个方向相同在这
16、点的法线的在这点的法线的的等高线的等高线与点与点的梯度的方向的梯度的方向在点在点函数函数cyxfPPyxfz 向的方向导数向的方向导数于函数在这个法线方于函数在这个法线方等高线，而梯度的模等等高线，而梯度的模等指向数值较高的指向数值较高的且从数值较低的等高线且从数值较低的等高线 结论结论目录 上页 下页 返回 结束 等高线图举例等高线图举例-2-1012-2-101200.511.52-2-1012-2-1012-2-101222122)2(yxeyxz-2-1012-2-1012这是利用数学软件Mathematica 绘制的曲面及其等高线图, 带阴影的等高线图中, 亮度越大对应曲面上点的位置
17、越高等高线图带阴影的等高线图目录 上页 下页 返回 结束 三元函数三元函数),(zyxfu 在空间区域在空间区域 G内内 具有一阶连续偏导数，则对于每一点具有一阶连续偏导数，则对于每一点GzyxP ),(0000，都可定义一个向量，都可定义一个向量(梯度梯度) . , , )(00PzfyfxfPgradf 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数 目录 上页 下页 返回 结束 类似地类似
18、地, 设曲面设曲面czyxf ),(为函数为函数 ),(zyxfu 的等量面，此函数在点的等量面，此函数在点),(zyxP的的 梯度的方向与过点梯度的方向与过点 P的等量面的等量面czyxf ),(在这在这 点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量 面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数 在这个法线方向的方向导数在这个法线方向的方向导数. 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设函数解解: (1) 点P处切平面的法向量为0) 1(0) 1() 1(2zyx032 yx在点 P(1,1,1) 处的切平面方
19、程.故所求切平面方程为即zyxzyxf2),(2) 求函数 f 在点 P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向导数.(1)求等值面 2),(zyxf)0, 1, 2(2) 函数 f 在点P处增加最快的方向为沿此方向的方向导数为5)(PfnfPPzzyyyzxPfn)ln,2()(1)0, 1, 2()(Pfn思考思考: f 在点P处沿什么方向变化率为0 ?注意注意: 对三元函数, 与垂直的方向有无穷多)(Pf目录 上页 下页 返回 结束 3. 梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式ucucgradgrad)(2)vuvugradgradgrad )(3)uvvuvugradgradgrad)(4
20、)uufufgradgrad)()()6(00) 1 (cc或grad为常数）c (ucuc)(或vuvu)(或uvvuvu)(或uufuf)()(或2)()5(vvuuvvugradgradgrad2)(vvuuvvu或目录 上页 下页 返回 结束 例例5.,)(可导设rf),(222zyxPzyxr为点其中证证:xrf)()(rf yrf)()(rf gradrzrfzrf)()(xrrf)(222zyxxPxOzy,)(ryrf 试证rxrf)( .)()(rerfrfradg处矢径 r 的模 ,rixrf)(jyrf)(kzrf)()(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rerf)
21、( 目录 上页 下页 返回 结束 四、物理意义四、物理意义函数(物理量的分布)数量场数量场 (数性函数)场向量场向量场(矢性函数)可微函数)(Pf梯度场梯度场)(Pfgrad( 势 )如: 温度场, 电势场等如: 力场,速度场等(向量场) 注意注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点),(4222zyxrrqu),(zyxP试证证证: 利用例5的结果 这说明场强:处所产生的电势为垂直于等势面,且指向电势减少的方向.Eugrad)4(2rerqE 场强rerqu4gradrerq24Ererfrf)()(grad目录 上
22、页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 方向导数方向导数 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l (方向角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数 ),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l (方向角为yfxfcossin目录 上页 下页 返回 结束 2. 梯度梯度 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为zfyfxfff,gradgrad 二元函数 ),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(, ),(yxfyxfffyxgradgrad3. 关系关系方向导数存在偏导数存在 可微leflfgradgrad
23、梯度在方向 l 上的投影. 方向: f 变化率最大的方向模: f 的最大变化率之值 梯度的特点目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设函数zyxzyxf2),(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 12 32tztytx在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度梯度与(1)中切线方向切线方向 的夹角 .2. P131 题 16机动 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 ,),(2zyxzyxf曲线 12 32tztytx1. (1)在点)3,4, 1 (1dd,dd,ddttztytx)1 , 1 ,
24、 1(coscoscoszyxMffflf266解答提示解答提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数沿 l 的方向导数lM (1,1,1) 处切线的方向向量目录 上页 下页 返回 结束 )0,1,2(grad)2(MfMMflfgrad13061306arccosMfgrad机动 目录 上页 下页 返回 结束 l cosMfgradl42042042020020020022222220czbyaxczzbyyaxxnuM4204204202czbyax2. P131 题 16目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 函数)ln(222zyxu在点)2,2, 1 (M处的梯度Mug
25、radgrad)2, 2 , 1 (,zuyuxuuMgradgrad解解:,222zyxr令则xu21rx2注意 x , y , z 具有轮换对称性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(1992 考研)目录 上页 下页 返回 结束 指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点Axd d2. 函数)ln(22zyxu提示提示:31,32,32其单位向量为)cos,cos,(cosAxu) 1ln( x1x,21yd dAyu) 11ln(2y0y,0(1996考研), ) 1 ,2,2(AB2121Azucoscoscoszuyuxulu21ABABl
