1、目 录一、隐函数求导法.1二、韦达定理.1三、对数求导法.1四、幂指函数求导法.1五、高阶导数的运算.1六、参数方程所确定的函数的导数. 2七、反函数的导数.2八、讨论函数在某点的连续性.2九、复合函数的导数及（微分）. 2十、判别函数的单调性.2十一、求函数的单调区间、极值、最值. 3十二、弹性函数与弹性分析.3十三、不定积分凑微分法.3十四、不定积分换元法（目的在于去根号）.4十五、不定积分分部积分法.4十六、利用几何意义计算定积分. 4十七、计算对称区间上的定积分. 5十八、计算周期函数的定积分.5十九、利用定积分的常用公式计算定积分.5二十、计算被积函数含函数导数的积分. 5二十一、计
2、算积累需要分子区间积分的定积分.6二十二、计算含参数的定积分.6二十三、求需换元计算的定积分. 6二十四、定积分不等式拉格朗日中值定理.7二十五、柯西中值定理证明两函数导数之比的中值等式.7二十六、定积分不等式泰勒公式. 7二十七、求曲线凹凸区间与拐点. 7二十八、求平面曲线的切线方程和法线方程.7二十九、求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题.8三十、求解与两曲线相切的有关问题. 8三十一、计算显函数的偏导数.9三十二、求二元显函数的偏导数在某点的值.9三十三、由方程组确定的隐函数的（偏）导数.9三十四、求二元函数的全微分. 10三十五、偏导数的连续性.10三十六、利用二元函数极值的充分条件求
3、其极值.10三十七、求二元函数的最值.11三十八、二重积分的计算用直角坐标系计算二重积分.11三十九、二重积分的计算用极坐标系计算二重积分.12四十、交换二次积分次序.14自考押题 vx 344647 公众号/小程序 顺通考试资料1一、隐函数求导法一、隐函数求导法【由一个方程所确定的隐函数的导数由一个方程所确定的隐函数的导数】直接求导法直接求导法：在所给方程两边直接对 ?（或对 ?）求导，求导过程中始终把 ?（或 ?）视为 ?（或 ?）的函数；求微分求微分：在所给方程两边利用一阶微分形式不变性求微分，求出 ? 与 ?y 所满足的关系后，其比即为所求的导数?（或?） ；直接用公式直接用公式?，?
4、，?求解， 其中?，? ， ?，? 0分别表示? ?，? 对?，?的偏导数。zyzxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxF，隐函数，隐函数隐函数的求导公式：0),()()(0),(22【由一个方程所确定的隐函数的二阶导数由一个方程所确定的隐函数的二阶导数】设 ? ? 是由方程 ?聠tan?确定的隐函数，则?（ ）下方程两边取对数再求导：?聠tan?ln?ln?聠tan?ln ?聠tan?在方程两边对 ? 求导得：? ?/?，由此解得?二、韦达定理二、韦达定理若记一元二次方程的两个根分别为 x1,x2，则有：acxxabxx2121三、对数求导法三、对
5、数求导法对于多项相乘、相除、开方、乘方的式子，一般先取对数再求导，设 ?= ? ? ，等式两边取对数，得ln?=ln? ? ；两边对自变量 ? 求导（同样注意 ?= ? ? ，即将 y 看作中间变量） ，得：? ln? ? ln? ?四、幂指函数求导法四、幂指函数求导法对于? ? ?（? ? 0，? ? ? ?）除了使用对数求导法以外，还可以先化成指数函数? ? ? ? ln? ?，然后求导： ? ? ? ? ? ln? ? ? ? ? ln? ? ? ? ? ?五、高阶导数的运算五、高阶导数的运算直接用高阶（? 阶）导数公式；经恒等变形后再用高阶（? 阶）导数公式；先求?，?，?，找出与导数
6、阶数相关的结构规律，从而求出高阶导数，再用归纳法自考押题 vx 344647 公众号/小程序 顺通考试资料2证明。六、参数方程所确定的函数的导数六、参数方程所确定的函数的导数设函数 ?=? ? 由参数方程? = ? = ?确定，其中 ? 是参数，且 ? 、 ? 均对 t 可导， ?0，则d?dx=d?/dt?/?。二阶导数二阶导数：?dt?/?dt?dt ? ?/ ? ? ? ? ?七、反函数的导数七、反函数的导数【方法方法】设 y? ? 在区间I?内可导，且 ? ? 0，值域为区间Iy，则它的反函数 ? y在Iy可导，且反函数的导数为? y ? ?，【二阶导数】【二阶导数】?y?y?y? y
7、 ?y? ? ?y? ? ? ? ? ?八、讨论函数在某点的连续性八、讨论函数在某点的连续性设函数 ? ? 在 ?0 处连续，且 lim?0? ?1，则（ ）解答： 因 lim?0? ?1， lim?0?0， lim?0? ?0， 又 ? ? 在 ?0 处连续， 故lim?0? ? 0 ，进而有? lim?0? ? lim?0? 0? 0?0但由此不能保证?0 存在，故 ? 0 0，且?0 存在。九、复合函数的导数及（微分）九、复合函数的导数及（微分）【关键点】【关键点】一层一层的计算，不要漏层， （由外到内）每一层都可以用如下的公式：复合函数? 复合函数中间变量 中间变量?xvvzxuuzx
8、zyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufz),(),()(),(时，当dyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuu),(),(十、判别函数的单调性十、判别函数的单调性若函数 ? ? 在 ?，b 上连续，在 ?，b 内可导，则：若 ? ? 0（或 ? ? 0） ，?I，则函数 ? ? 在区间 I 上单调增加（或单调减少） ；? ? 在 ?，b 上单调增加（或单调减少）的充要条件是除了有限多个点 ? ?，b 使 ? ?0 外，对其他 ? ?，b 都有 ? ? 0（或 ? ? 0； ? ? 在 ?，b 上单调不减 （或单调不增） 的充要条件是对任意 ? ?，b 都有 ? ?
9、0 （或? ? 0） 。3十一、求函数的单调区间、极值、最值十一、求函数的单调区间、极值、最值【求函数的单调区间求函数的单调区间】写出 ? ? 的定义域；求出 ? ? ；解方程 ? ? 0 求出驻点；找出 ? ? 的不可导点；用驻点和不可导点将 ? ? 的定义域分成若干个子区间；在每个子区间上判别导数 ? ? 的符号，确定 ? ? 的单调性。【求函数的极值求函数的极值】求函数 ? ? 的定义域；求 ? ? ，并在定义域内求使 ? ? 0 的点（驻点）和 ? ? 不存在的点；用上述判别法检验所求出的驻点和不可导点是否为极值点。求出 ? ? 的极值。【求函数的最值求函数的最值】若 ? ? 在 ?，
10、b 上单增（减）的，则 ? ? 是其最大（小）值；若 ? ? 在 ?，b 内只有一极值点（唯一驻点） ，且此极值是极大（小）值，则它亦是 ? ? 在 ?，b 上的最大（小）值，常称这些函数为单峰（单谷）函数；若函数在开区间、半开区间或无穷区间内连续，求函数的最值时，需求出区间内函数的全部极值和区间端点处函数的单侧极限。如果单侧极限最大（最小） ，则函数在该区间内无最大值（无最小值） 。因而在开区间、半开区间或无穷区间上的连续的函数不一定是最值。除上述三种特殊情况外，一般按照以下步骤求 ? ? 在 ?，b 上的最值：求出 ? ? ，并在 ?，b 内求出其驻点和不可导点（不必判断这些驻点和不可导点
11、是否为极值点，但函数在这些点必有定义） ；计算 ? ? 在这些点的值，且求出 ? ? ，? b 。比较上述中所得的函数值，其中最大（小）者就是 ? ? 在 ?，b 上的最大（小）值。对区间端点 ?，b， 根据极值点的定义知它们不可能是极值点 （极值点只能在区间内部取得） ，但它们可以是函数的最值点。十二、弹性函数与弹性分析十二、弹性函数与弹性分析【需求的价格弹性需求的价格弹性】设需求函数为 Q= ? （?：价格，Q：需求量） 。则需求弹性为? ? ?由于需求的函数单调递减，故? 0，从而?0。其经济意义经济意义：当价格为 p 时，若提价（降价）1%，则需求量将增加（减少）|?|%。【供给的价格
12、弹性供给的价格弹性】设供给函数为 Q= ? （?：价格，Q：供给量） ，则供给弹性为：? ? ?由于供给函数单调增加，故? 0，从而?0。其经济意义经济意义：当价格为 ? 时，若提价（降价）1%，则供给量将增加（减少）?%。十三、不定积分十三、不定积分凑微分法凑微分法如果 ? ? ? ，可得：? ? ? ，? ? 是 ? 的可微函数，则：4? ? ? ? ? ? ? ? ?换 ? ? ?换 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 十四、不定积分十四、不定积分换元法（目的在于去根号）换元法（目的在于去根号） ? ?令 ?sin? ? ?cos?
13、，?cos? ?令 ?tan? ?sec?，?sec? ? ?令 ?sec? ? ?tan?，?sec?tan?被积函数中含有 ?b令 ? ?b倒代换：当分式中的分母次数比较大时，作 ?，将分母次数变小。十五、不定积分十五、不定积分分部积分法分部积分法这个方法主要适用于求 ? 比较困难，而 ? 比较容易的情形。什么函数积分后会简单些适宜取作 ?，而微分后较简单的一般取作 ?，其基本思想为： ? ?选取的一般原则为：被积函数为? ?，? sin?，? cos?等形式时，一般来说选取 ? ；被积函数为?sin?，?cos?等形式时，? 可以取其中两因子中的任意一个；被积函数为? ln?，? ?聠?
14、，? ?聠?等形式时，一般分别选取：?ln?，?聠?，?聠?十六、十六、利用几何意义计算定积分利用几何意义计算定积分利用圆心在原点、半径为利用圆心在原点、半径为 ? 的圆的面积计算定积分的圆的面积计算定积分RRR? ?R0R? ?0RR? ?利用圆心在利用圆心在 ?，? ，半径为，半径为 ? 的圆的面积计算定积分的圆的面积计算定积分0? ? ?0? ? ? ?（?0）0? ? ?0? ? ? ?（?0）? ? ? ? ? ?（?0）5十七、十七、计算对称区间上的定积分计算对称区间上的定积分求? ?原式?02?0? ? ?ln ?0?ln?十八、十八、计算周期函数的定积分计算周期函数的定积分常用
15、简化公式：0?sin?sin?0；0?cos?cos?0；0?cos?cos?0求 I0?sin? ?（? 为自然数）sin? 为周期函数，周期为?，则：I ? 0?sin?0?sin? ?0?sin?十九、十九、利用定积分的常用公式计算定积分利用定积分的常用公式计算定积分?sin? cos?解答：注意到?cos? 为奇函数，sin?cos? 为偶函数，有原式?cos?sin?cos?0?sin?cos?sin? ? sin? ?sin?sin?二十、二十、计算被积函数含函数导数的积分计算被积函数含函数导数的积分含函数一阶或高阶导数的被积函数，其（不）定积分的算法总是先让导数部分进入微分号，然
16、后再用分部积分法求解。 同样被积函数如含已知其导数的函数， 也用分部积分法求其积分。【比较和估计定积分的大小比较和估计定积分的大小】比较定理比较定理若在 ?，b 上 ? ? 连续，且 ? ? 0，则? ? ?0；若在 ?，b 上 ? ? 连续，且 ? ? 0，但在 ?，b 上 ? ? 0，则? ? ?0；若在 ?，b 上 ? ? 连续，则? ? ? ?；当 ? ?，b 且 ? ? ? ? 时，有? ? ? ? ?。积分估值定理积分估值定理设 ? ? 在 ?，b 上连续，且其最大值为 M，最小值为 m，则m b ? ? ? ?M b ? ；6如 ? ? 在 ?，b 上不恒为常数，则 m b ?
17、? ? ?M b ?【求解含积分值为常数的函数方程求解含积分值为常数的函数方程】设 ? ? 在 ?， 上可积，? ? ?收敛，且 ? ? 满足? ? ? ? ?，求 ? ?解答： 设? ? ?A （A 为常数） ， 对所给方程两边在 ?， 上积分， 得到：? ? ?A? ?A? ?lim? ?Alim? ?，? ? ?二十一、二十一、计算积累需要分子区间积分的定积分计算积累需要分子区间积分的定积分分段函数分段函数关键：被积函数与积分区间相对应分段函数的定积分分段计算含绝对值含绝对值令含绝对值部分的函数等于零，求出其实根，以其实根为分段点，将被积函数花城等分段函数；利用函数的奇偶性、周期性等性质
18、，使绝对值符号自然去掉。偶次算术方根偶次算术方根计算被积函数含偶次算术方根的定积分时， 开方一般取绝对值， 然后用中介绍的方法求解。含最值符号含最值符号 ? 或或 ?聠求? ?，?解答：当? 时，? ?，?；当? 时，? ?，?；当 ? 时，? ?，?；综上所述：? ?，?，? ? ?， ? ? ?，? ? ?虽然，该函数为 ?，? 上的偶函数，故? ?，?0? ?，?0?0? ?ln?二十二、二十二、计算含参数的定积分计算含参数的定积分积分含参数 ? 时，应根据 ? 与积分变量 ? 的大小分段，如果 ? 与 ? 的大小无明显区分，就应以它们相等的值为临界点，分 ? 与 ? 两种情况分段积分。
19、二十三、二十三、求需换元计算的定积分求需换元计算的定积分若被积函数或其主要部分为复合函数 ? ? ? ，应作变量代换 ? ? 化简被积函数；作变量代换将积分区间化为对称区间，利用被积函数的奇偶性计算；7作变量代换变换积分区间和被积函数在一定条件下可简化计算。二十四、二十四、定积分不等式定积分不等式拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理设 ? ? 在 0，? 上具有一阶连续导数，且 ? 0 ? ? 0，证明：0? ? ? 0，? ?证明：将大区间 0，? 分成两个小区间 0，? 和 ?，?在 0，? 上对 ? ? 上使用拉格朗日中值定理，得 ? ? ? 0 ? ? ? ?，其中?0，? ，于是： ?
20、? ? ?，在 ?，? 上对 ? ? 使用拉格朗日中值定理， 得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 其中? ?，? ，于是：当 ? 0，? 时，记 M? ? ?，则 ? ? M?， ? ? M ? ?于是：0? ? 0? ? ? M0?M? ?M?，其中，根据基本不等式，?，故得证。二十五、柯西中值定理二十五、柯西中值定理证明两函数导数之比的中值等式证明两函数导数之比的中值等式观察所给?的分子、分母中的函数是否为两个函数 ? ? 与 ? ? 的导数? 与? 之比。技巧技巧：如将分子中因式?常看成分母中的?，即?/?（恒等变形） ，另外还常利用恒等变形：? ? ? ?=? ? ?=?，?
21、? ?0如果分子、分母为?，进一步算出? b ? ?b?，看是否与左端相等；若相等，最后验证 ? ? ，? ? 满足柯西中值定理的条件。二十六、二十六、定积分不等式定积分不等式泰勒公式泰勒公式设 ? ? 在 0，? 上二阶导数连续，且 ? ? 0。当 ? 0，? 时，记 M? ? ?，证明：0? ? ?M证明：根据题设，选取基点?0? 展开成泰勒公式：? ? ? ? ? ? ? ? ?，其中?介于 ?，? 之间0? ? ?0? ? ?0? ? ?0? ?0? ? ?0? ?M0? ?M故得证。二十七、二十七、求曲线凹凸区间与拐点求曲线凹凸区间与拐点写出 ? ? 的定义域；求出 ? ? ，并令
22、? ? 0 求出其根；以方程 ? ? 0 的根和二阶导数不存在的点将定义域分成若干个子区间，在每个子区间上用 ? ? 的正、负确定 ? ? 在各子区间上的凹凸性。写出曲线 ? ? 的凹区间和凸区间及其拐点。二十八、二十八、求平面曲线的切线方程和法线方程求平面曲线的切线方程和法线方程求切线（法线）方程时，首先一定要考查指定点是否在曲线上，在曲线上与不在曲线上求切8线（法线）方程的方法是不同的。求曲线 ? ? ? 过点 ?，? ?的切线方程和法线方程。指定点 ?0，? ?0在曲线 ? ? ? 上，因满足?0 ? ?0，于是可先求出斜率，切线斜率为? ?0；法线斜率为? ?0，然后利用点斜式写出所求
23、方程。过不在曲线上的已知点，求该曲线的切线方程。由于已知点不在曲线上，要先设出该点，求出切点方程，再求切线方程，要利用切线过已知点，将已知点的坐标代入切线方程，建立以切点坐标为未知数的方程。如果该方程没有解，则过已知点曲线没有切线；如该方程有解，则过已知点，曲线有切线；如有多组解，则过已知点曲线有多条切线。二十九、二十九、求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题一般先求切线方程， 再由切线方程求出该切线在坐标轴上的截距， 最后利用截距计算有关度量（长度、面积等）的数值。典型例题：给定曲线 ?，（1）求曲线在横坐标为?0的点处的切线方程；（2）求曲线的切线被两坐标
24、轴所截线段的最短长度。解答： （1）? ?0?0?，? ?0?0?，所求切线方程为：?0?0? ?0，即 ?0?0?（2）切线在 ? 轴，? 轴上的截距分别为 ?0，b?0?，切线被两坐标轴所截线段长度的平方，即：?b?0?0?为求导的方便，将求无理函数 ? ?/?的最值问题转化为求与此函数有相同最值点的另一函数?的最值问题，为此记 ?，? 与 ? 同时取最小值，并记：?，则?，?0?0令?0，得驻点?,? ?，又?,?0，所以 ? 及 ?、? 在点?,? ?处取极小值。由曲线 ? ? 呈凹向可知，此极小值也是最小值，于是所求线段的最短长度为：? ?三十、三十、求解与两曲线相切的有关问题求解与
25、两曲线相切的有关问题典型例题：设曲线 ?3?b 与 ? 轴相切，则在该点处其函数值相等，且其导数值也相等，因而：?0?0b?0 ?0?0?0由式得到?0?，代入式有：? ?0?0? ?0?0? ? ? ? ?9?三十一、三十一、计算显函数的偏导数计算显函数的偏导数在二元函数对某一变量求偏导数时， 可先把另一变量当成常量， 用一元函数的求导公式来求显函数的偏导数。典型例题：设 ? ?，求?，? ? ?由函数 ? 关于 ?，? 对称即得：?（将式中 ? 换 ?，? 换 ? 即得）三十二、三十二、求二元显函数的偏导数在某点的值求二元显函数的偏导数在某点的值先对某变量求偏导，再将该偏导变量的值代入，然
26、后再对另一个偏导变量求偏导，最后将该变量的值代入。? ?，?0，?0? ?，?0?0典型例题：设 ? ?，?，? ?，求?，?，?，?，?，?，?，?，?；? ? ?，?，?解答：?，?，? ?，?，?；?，?，? ?，?，?；?，?，? ?，?，?0? ?，?，? ?，?，?，?，?，?，?三十三、三十三、由方程组确定的隐函数的（偏）导数由方程组确定的隐函数的（偏）导数设方程组? ?，?，? ?，?，?所确定的隐函数为 ? ? ，? ? ，其导数?，?的求法步骤说明如下：先在所给方程两端对 ? 求导，得到：?0?010即?在上方程组中视?，?为未知量，用克拉默法则解此方程组得到：?（? ?0
27、）?（? ?0）【变换含一阶、二阶偏导数的表达式变换含一阶、二阶偏导数的表达式】视新变量为中间变量，视原来的变量为自变量；视原来的自变量为中间变量，视新变量为自变量。利用链式求导法则算出一阶、二阶偏导数，然后代入整理。三十四、求三十四、求二元函数的全微分二元函数的全微分设函数 ? ?，?，? 有连续偏导数，且 ? ?，? 由方程 ?所确定，求 ?。解答：? ?，?，? ?由 ? ? ?得到? ? ? ?即：?代入中得：? ? ? ? ? fxfzx?z?exzdx fyfzy?z?eyzdy三十五、三十五、偏导数的连续性偏导数的连续性对于 ? ?，? ，讨论其在某特殊点 ?0，?0（比如二元分
28、段函数的分段点）处偏导数是否连续，步骤为：用定义法求?0，?0，?0，?0；用公式法求?，? ，?，? ；计算 lim?0?0?，? ， lim?0?0?，? 。看 lim?0?0?，? ?0，?0，limxx0yy0fyx，y fyx0，y0是否成立，若成立，则 zf x，y 在点 x0，y0处的偏导数是否连续的。三十六、三十六、利用二元函数极值的充分条件求其极值利用二元函数极值的充分条件求其极值求二元函数 ? ?，? ?ln?的极值。先求出?，? 0，?，? 0 的所有解： ?，?， ?，?，再判断每个点是否为极值点，并求出相应极值。11令?，? ? ? ?0，?，? ?ln?0，得其驻点
29、为 0，?，又? ?，?，? ?则：A?0，? ?，B?0，?0，C?0，?因 A?0，而B?AC ?0,故二元函数存在极小值，且 ? 0，?就是它的极小值。三十七、三十七、求二元函数的最值求二元函数的最值一般方法是先将? ?，? 在区域D 内的所有驻点处的函数值与? ?，? 在D 的边界上的最大值与最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。求 ? ?，? ? ?2 在椭圆域 D?，? ，? ? 上的最大值与最小值。先求 D 内的极值，再求 D 的边界上的可能最值，比较其大小，求得 D 上的最值。由?，? ? 及?，? ?0，可求得：? ?，? ? ? 在区域? 内的唯一驻点 0
30、，0 。在椭圆? 上， ? ?，? ? ? ? （? ? ?） 可能的最值为：? ? ?，0 ?，? 0， ? ? ?又由于 ? 0，0 ?，因此 ? ?，? 在椭圆域 D 上的最大值为 ?，最小值为?。三十八、三十八、二重积分的计算二重积分的计算用直角坐标系计算二重积分用直角坐标系计算二重积分【根据积分区域选择积分次序计算二重积分根据积分区域选择积分次序计算二重积分】设 ? 是以点 O 0，0 ，A ?，? 和 B ?，? 为顶点的三角形区域，求?解答：绘出三角形区域 ? 的图形，如图所示，易求得 ? 上的边界线 OA，OB 和 AB 的方程分别为 ?，?，? ?它们均为 ? 的一次方程，宜
31、用直角坐标计算其二重积分。选先 ? 后 ? 或先 ? 后 ? 都需分块计算。 过点 A 作 ? 轴的垂线， 将三角形区域 OAB 分为左、 右两个三角形区域， 分别记为： ?与?，则?0?/?/?0? ? ?【根据被积函数选择积分次序计算二重积分根据被积函数选择积分次序计算二重积分】求二重积分 I0?/?/? cos?所给二次积分的积分区域如图所示，按原积分的积分次序计算求不出结果，因cos?的原函数不能用初等函数表示，只好改变积分次序，使被积函数得到“改善”后，再对 ? 积分。12为此，先将所给的二次积分还原为二重积分，有：0?/?/? cos?cos?其中，?，? ? ? ? ?，0 ?
32、? ?，? ?0 ? ? ?，0 ? ? ? ?于是，原式?cos?0?/?0? cos?0?/?cos?【证明二次积分等于单积分证明二次积分等于单积分】已知 ? ? 在 0，? 上连续，试证：?0? ? ? ? ?0? ? ?证明：设 ? ? 的一个原函数为 F ? ，则 F ? ? ?左边?0? ? ?F ? ?0? ? F ?0?F ? F ? F ? ?0?F ? F ? ?F ? F ? F ? F ?0? F ? F 0?0? ? ?右边三十九、三十九、二重积分的计算二重积分的计算用极坐标系计算二重积分用极坐标系计算二重积分【计算圆域计算圆域? 上的二重积分上的二重积分】对于以极点
33、（坐标原点）为圆心的圆域、圆环域或扇形域，则每次积分的上、下限均取常数。此时若被积函数可表示为关于 r 和?的两个一元函数的乘积， 即 ? ?，? ?r ? 时， 则二重积分可化为两个定积分的乘积，即? ?，? ? ?r ?r?由圆周?所围圆域为 ?，? ? ?0 在极坐标系下方程为： r ?因而? ?，? ?0? ?0?r r?r?【计算圆域计算圆域? ? 上的二重积分上的二重积分】设 ?，? ? ? ，求?解答：? 为圆域： ? ?，即 r cos?宜用极坐标系计算。原式?0cos?rcos?r?r?cos?r?0cos?cos?cos?0?cos?13【计算圆域计算圆域? ? 上的二重积
34、分上的二重积分】圆周 ?即? 所围的圆域? ?0 的极坐标方程为r ?cos?，它表示以点 ?，0 为圆心，? 为半径的圆周所围成的圆域 ?。此为 ? 轴左边一圆周所围成的圆域 r ?cos?，其中? ? ?r，? ?0 ? r ? ?cos?，? ? ?，? ? ?，? ? 0?0【计算圆域计算圆域? ? 上的二重积分上的二重积分】计算二重积分?，其中 ? 是由直线 ?2，?0，以及曲线 ? ? ?所围成的平面区域。解答：设 ?1rsin?，?rcos?，则以圆心 0，? 为极点计算，得到：?0?0?0?0?rsin? r?r?r?sin?r?r0r?0?sin? ?0?sin?0?故?0?
35、0?/?/?0?rsin? r?r?/?/?r?sin?r?0?/?/?sin?【计算圆域计算圆域? ? 上的二重积分上的二重积分】圆周? ?即? 所围成的圆域?：? ?0 的极坐标方程为 r?sin?，即?r，? ?r ?sin?， ? ? ? ? ?，? ? ?，? ? 0?0【计算圆域计算圆域? 上的二重积分上的二重积分】14计算二重积分? ?，其中 ?，? ? ?解法一：将 ? 的方程改写成 ? ? ? ?，它是以?，?为圆心、以?为半径的圆域。令 ? ?聠cos?，? ?聠sin?，以圆心?，?为极点、所围圆域的半径为 r?，得到：? ?0?r?r?0?rcos?rsin? ?0?r
36、?r?/?解法二：用坐标平移计算，为此作代换 ? ?，? ?，则? ? ? ? ?0?/?四十、四十、交换二次积分次序交换二次积分次序交换二重积分的二次积分的积分次序交换二重积分的二次积分的积分次序二重积分的二（累）次积分是指其内、外层积分限都满足下限不超过上限的二次积分。交换其积分次序的步骤为先恢复二重积分的积分区域 D，并准确地将其描绘出来或写出 D的相应的不等式表达式，然后按另一顺序配置积分限。交换 I0? ? ?，? ?的积分次序。解答：当 0 ? ? 时，有 ? ? ? ?，两个单重积分的积分上下限不超过积分上限，其二重积分的积分区域 D 用不等式可表示为：D?，? ?0 ? ?，
37、? ? ? ?，画出其草图：易求得两曲线 ? ?与 ? ? ?的交点为 ?，? ，用 ? 将 D 划分为D?与D?：D?，? ?0 ? ?，0 ? ?，D?，? ? ? ?，0 ? ? ?，交换积分次序，先对 ? 积分，得到：I0?0? ?，? ?0?0? ? ?，? ?交换不是二重积分的二次积分的积分次序交换不是二重积分的二次积分的积分次序交换二次积分的积分次序：?0? ?，? ?解答：因当? ? 0 时，有 0 ? ?0，即 ? ? ? ?，故所给的二次积分的内层积分的下限 2 不小于上限 ? ?，该二次积分不是二重积分的二次积分。15将其化为二重积分的二次积分得到：?0? ?，? ?0? ?，? ?这时右端二次积分的内外层的下限都不超过其上限， 再交换其积分次序， 为此画出其积分区域为：则：? ?，? ?0? ?，? ?0? ?，? ?故?0? ?，? ?0? ?，? ?0? ?，? ?
