1、目 录第一章 函数.1第二章 极限与连续.3第三章 导数与微分.5第四章 微分中值定理和导数的应用.6第四章 微分中值定理和导数的应用.7第六章 多元函数微积分.9自考押题 vx 344647 公众号/小程序 顺通考试资料1第一章 函数第一章 函数知识点名称内容一元二次方程未知量x满足的形如002acbxax的方程称为一元二次方程，acb42称为此方程的判别式.由22224420aacbabxcbxax可知：当当0时，方程有两个不同的实根时，方程有两个不同的实根aacbbx2422, 1；当；当0时，方程有一个二重实根时，方程有一个二重实根abx22, 1；当；当0时，方程有一对共轭虚根时，方
2、程有一对共轭虚根abacibx242，abacibx242.若记一元二次方程的两个根分别为.若记一元二次方程的两个根分别为21,xx，则有，则有abxx21，acxx21. .韦达定理若记一元二次方程的两个根分别为 x1,x2，则有：acxxabxx2121（简单计算题）二元一次方程组两个未知函数yx,满足222111,cybxacybxa的方程组称为二元一次方程组.两直线位置关系：当2121bbaa时，方程组有唯一解，两直线相交两直线相交；当212121ccbbaa时，方程组无解，两直线平行两直线平行；当212121ccbbaa时，方程组有无穷多解无穷多解，两直线重合.集合A与与B的交集 （
3、的交集 （BA）A与与B的并集（的并集（BA）B在在A中的余集中的余集BABxAxx且|BxAxx或|BxAxx当|一些逻辑符号设设qp,是两个判断是两个判断，若（1）p成立可断定q也成立，则称p能推出q或说p蕴含q，记作qp ；（2）qp 成立，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件；（3）qp 和pq 同时成立，则称p与q等价或互为的充分必要条件，记作qp 自考押题 vx 344647 公众号/小程序 顺通考试资料2隐函数的定义由变量yx,满足的方程确定的函数函数 xfy 称为隐函数.函数图形的概念函数 Dxxfy,的图形图形指的是xOy平面上的点集 Dxxfyyx,|,周期函数设函数 x
4、f的定义域为R， 若存在正数0T， 使得对任意的使得对任意的Rx都有都有 xfTxf，则称则称 xf是一个周期函数是一个周期函数，T称为函数 xf的周期.一般说的周期指的是最小正周期.反三角函数xyarcsin是xysin在区间2,2上的反函数，定义域为1 , 1，值域为2,2，在定义域上单调增加；反余弦函数xyarccos的定义域为1 , 1，值域为, 0；反正切函数xyarctan的定义域为,，值域为2,2；反余切函数xarcycot的定义域为,，值域为, 0.设函数 ?：D ?（D）是单射，则它存在逆映射?：?（D） D，称此映射为直接函数 f的反函数。但需要注意两点：直接函数的单值性无
5、法保证其反函数的单值性，但如果是单调函数那么可以保证其单值性，且单调函数的反函数具有一样的单调性。只有 ? = ? 在坐标系中的图像才与 ? = ? ? 关于直线 y = ? 对称，? = ?（y）与y = ? ? 图像重合。指数函数yxyxaaa， xyyxaa，xxxabba，10a，xxaa1.对数函数yxxyaaalogloglog，yxyxaaalogloglog，xrxaraloglog，axxbbalogloglog，1logaa，01loga.基本初等函数常见的六类函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数.（1）常数函数 y = c（ c
6、 为常数）（2）幂函数 y = xa（ a R 为常数）（3）指数函数 y = ax（4）对数函数 y =log(a) x（5）三角函数：主要有以下 6 个：正弦函数 y =sin x；余弦函数 y =cos x；正切函数 y =tan x余切函数 y =cot x；正割函数 y =sec x；余割函数 y =csc x此外，还有正矢、余矢等罕用的三角函数。（6）反三角函数：主要有以下 6 个：3反正弦函数 y = arcsin x；反余弦函数 y = arccos x；反正切函数 y = arctan x反余切函数 y = arccot x；反正割函数 y = arcsec x；反余割函数
7、y = arccsc x四则运算u x v xu x v xd u x v x du x dv xu x v xu x v x u x v xd u x v x u x dv x v x du xu xv xu xv x ?u x v xv x2，v x 0du xv xv x du x ?u x dv xv x2，v x 0yyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdzyx),(),(全微分的近似计算：全微分：第二章第二章 极限与连续极限与连续知识点名称内容函数在一点的极限定义定义 1 1 设函数设函数 xf在在0 x的某个去心邻域的某个去心邻域0 xN内有定义内有定
8、义，A是一个常数是一个常数. .若对任意的若对任意的0，总存在0，使得当0 xNx且00 xx时，有 Axf成立，则称函数 xf在0 xx 时的极限是A，记作 Axfxx0lim.函数在一点的极限与左、 右极限的关系定理 1 设函数 xf在点0 x附近有定义，则 Axfxx0lim的充分必要条件是： Axfxx0lim，且，且 Axfxx0lim. .数列的极限设 na是一个无穷数列，当下标n越来越大时，其对应的值na越来越接近一个常数A，而且可以无限接近，我们称数列 na的极限是A，记作Aannlim.当极限当极限nnalim存在时，称数列存在时，称数列 na收敛；当极限收敛；当极限nnal
9、im不存在时，称数列不存在时，称数列 na发散发散. .函数极限的性质1.极限值的唯一性定理定理 1 1 若极限 xfxx0lim存在，则其值唯一.定理 1 说明，如果 Axfxx0lim，且 Bxfxx0lim，则BA .2.函数在极限存在点附近的有界性定理定理 2 2 若极限 xfxx0lim存在，则函数 xf在0 x的一个去心邻域内有界.函数 xf在0 x的一个去心邻域内有界指的是：存在0M，0，使得对任意的 0000,xxxxx都有 Mxf.定理 2 说明：如果 xfxlim存在，存在40M，0X使得对任意的 ,XXx，都有 Mxf.定理 2 反映的是极限存在点附近函数的局部有界性，对
10、数列来说，结论为：定理定理 3 3 若极限nnalim存在，则数列 na有界.定理 3 说明，数列有界是数列收敛的必要条件.3.函数极限的保号性定理定理 4 4 若极限 Axfxx0lim，且0A，则函数 xf在0 x的一个去心邻域内大于零；若在0 x的一个去心邻域内 0 xf，且极限 xfxx0lim存在，则 0lim0 xfxx.定理 4 说明，利用极限值的正、负号，可得到函数在极限点附近（除去极限点）的正、负号；另一方面说明， 极限值的正、 负号不能与函数极限点附近（除去极限点）的值的正负号相反.注意: 当函数 xf满足：在0 x的一个去心邻域内 0 xf，且极限 xfxx0lim存在时
11、，结论仍为 0lim0 xfxx，而不是 0lim0 xfxx.复合函数的极限若 00limuxgxx， Aufuu0lim，则 Aufxgfuuxguxx00limlim.无穷小量的概念定义定义 1 1 若 0lim0 xfxx，则称函数 xf在0 xx时是一个无穷小量，记作 1oxf0 xx 1oxf0 xx 指的是：当当x无限趋于无限趋于0 x时，其对应的函数值无限趋于时，其对应的函数值无限趋于 0.0.无穷大量的概念定义 2 若函数 xf1在0 xx 时是一个无穷小量，则称函数 xf在0 xx 时是一个无穷大量，记作 xfxx0lim.当x无限趋于0 x时，若 01xf且无限趋于 0，
12、则称函数 xf在0 xx 时是一个正无穷大量，记作 xfxx0lim.当当x无限趋于无限趋于0 x时时，若若 01xf且无限趋于且无限趋于 0 0，则称函数则称函数 xf在在0 xx 时是一个负无穷大量时是一个负无穷大量，记记作作 xfxx0lim. .从无穷大量的定义可看出：无穷大量的倒数是同一极限过程中的无穷小量，非零无穷小的倒数是同一极限过程下的无穷大量.无穷大运算的结论：（1）有界变量与无穷大量之和是无穷大量有界变量与无穷大量之和是无穷大量；（2）两个无穷大量之积是无穷大量两个无穷大量之积是无穷大量；（3）有限个无穷大量之积是无穷大量有限个无穷大量之积是无穷大量.5间断点及其分类定义定
13、义 3 3 若函数 xf在点0 x处不连续,则称0 x为 xf的间断点.根据函数在间断点处左、右连续的情况,可将间断点分类：（1 1）第一类间断点）第一类间断点若函数 xf在点0 x处的左、右极限均存在，但不连续,则称0 x为 xf的第一类间断点.在第一类间断点中，可分为可去间断点和跳跃间断点.（2 2）第二类间断点）第二类间断点若函数 xf在0 x处的左、右极限中至少有一个不存在时，则称0 x为 xf的第二间断点.第三章第三章 导数与微分导数与微分知识点名称内容基本初等函数的导数公式axxaaaxxxxxxxxxxaxxln1)(logln)(cotcsc)(csctansec)(seccs
14、c)(cotsec)(tan22222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsinxxarcxxxxxx函数在一点处的导数定义定义 1 设函数 xfy 在点0 x的某个邻域内有定义，当自变量x在0 x处取得增量x（xx0也在该邻域内）时，相应地函数取得增量00 xfxxfy；若若y与与x之比当之比当0 x时极限时极限存在存在， 则称函数则称函数 xfy 在点在点0 x处可导处可导， 并称这个极限为函数并称这个极限为函数 xfy 在在0 x处的导数处的导数， 记为记为0 xf ，即即xxfxxfxyxfxx00000limlim. .（2 2）若）若xyxlim(
15、 (这时导数是不存在的这时导数是不存在的),),为叙述方便为叙述方便, ,我们称我们称 xf在点在点x的可导为无穷大的可导为无穷大. .（3 3）若令）若令xxx, ,则则x时时, ,有有 xx, , xxxfxfxfxxlim，这是导数定义的另一种形式，这是导数定义的另一种形式, ,说明导数也可简述为差商的极限说明导数也可简述为差商的极限. .（4 4）导数xxy |是函数在点x处的变化率,它反应了函数随自变量的变化而变化的快慢程度.若函数 xfy 在开区间I内的每点处都可导，就称函数 xf在开区间I内可导.对于任一Ix，都对应着 xf的一个确定的导函数值.构成的这个新的函数称为原函数 xf
16、y 的导函数,记作 dxxdfdxdyxfy,.把常用导数定义式中的把常用导数定义式中的0 x换成换成x，得到导函数定义式，得到导函数定义式 xxfxxfyx0lim或或 hxfhxfxfh0lim6函数在一点处可导与连续的关系定理定理 1 1 若函数 xfy 在点x处可导,那么函数在该点处必连续.定理 1 表明: 函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件,但不是充分条件,即函数在某点连续却不一定可导函数在某点连续却不一定可导; ;若不若不连续一定不可导连续一定不可导.函数在一点处的微分定义 3 设函数 xfy 在某区间内有定义，0 x及xx0在这个区间内，如果增量 00 xfxxfy可表示为
17、xoxAy.其中A是不依赖于是不依赖于x的常数的常数, ,那么称函数那么称函数 xfy 在点在点0 x是可微的，而是可微的，而xA叫做函数叫做函数 xfy 在点在点0 x相应于自变量增量相应于自变量增量x的微分，记作的微分，记作dy，即，即xAdy. .第四章第四章 微分中值定理和导数的应用微分中值定理和导数的应用知识点名称内容罗尔定理费马定义了驻点，称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点、临界点）费马定义了驻点，称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点、临界点）. .罗尔定理 若函数 xf满足在闭区间在闭区间ba,上连续；在开区间上连续；在开区间ba,内可导；在区间端点处的函数内可导；在区间端
18、点处的函数值相等，即值相等，即 bfaf，那么在ba,内至少有一点ba，使得 0f.拉格朗日中值定理若函数 xf满足：在闭区间ba,上连续；在开区间ba,内可导，那么在ba,内至少有一点ba，使等式 abfafbf成立.推论推论 1 1 若函数若函数 xf在区间在区间I上的导数恒为零，那么上的导数恒为零，那么 xf在区间在区间I上是一个常数上是一个常数. .推论推论 2 2 若函数若函数 xf与与 xg在区间在区间ba,内每一点的导数内每一点的导数 xf 与与 xg都相等，则这两个函数在区都相等，则这两个函数在区间间ba,内之多相差一个常数，即内之多相差一个常数，即 baxCxgxf, . .
19、函数的最值及其应用取得最值的位置取得最值的位置对于可导函数对于可导函数 xf而言，其在区间而言，其在区间ba,上的最值要么在区间端点取得，上的最值要么在区间端点取得，要么在区间要么在区间ba,内的点内的点0 x取得，这时有取得，这时有 00 xf. .（1）求出 xf在ba,内 0 xf和 xf 不存在的点，记为nxxx,21.（2）计算函数值 bfxfxfxfafn,21.（3）函数值 bfxfxfxfafn,21中的最大者为最大值，最小者为最小值.曲线的凹凸性和拐点【判别凹凸性的充分条件】设函数 f x 在 I 上二阶可导。若在 I 上 f x 0，则 f x 在 I 上的图形是凹的；若在
20、 I 上 f x 0，则 f x 在 I 上的图形是凸的。【二阶可导点是拐点的必要条件】设 f x0存在，且点（x0，f x0）为曲线上的拐点，则 f x0= 0【判别拐点的充分条件】7第一充分条件：设 f x 在点 xx0处连续，在点 x = x0的某去心邻域 U（x0，）内二阶导数存在，且在该点的左右邻域内 f x 变号，则点（x0，f x0）为曲线上的拐点。第二充分条件：设 f x 在 xx0的某邻域内三阶可导，且 f x0= 0，fx00，则（x0，f x0）为拐点。第三充分条件：设 f x 在x0处 n 阶可导，且fmx00（m2，n， ）fnx00（n3） ，则当 n 为奇数时，
21、（x0，f x0）为拐点。渐近线水平渐近线若 limxf x y，则 yy为一条水平渐近线；若 limxf x y2，则 yy2为一条水平渐近线；若 limxf x y0 limxf x ，则 yy0为一条水平渐近线。铅直渐近线若 limxx0+f x （或 limxx0f x ） ，则 xx0为一条铅直渐近线。斜渐近线若limxf xx= k， limxf x kx b，则 ykxb是曲线 y f x的一条斜渐近线；若limxf xx= k2， limxf x k2x b2，则 yk2xb2是曲线 y f x的一条斜渐近线；若 limxf xx= k0=limxf xx， limxf x k
22、0 x b0 limxf x k0 x ，则 yk0 xb0是曲线 y f x 的一条斜渐近线。供给弹性定义定义 3 3 已知某商品的供给函数 pgQ 在点0p处可导,p表示价格，Q表示供应量.00ppQQ称为该商品在称为该商品在0p与与pp0两点间的供给弹性两点间的供给弹性, ,000000limpgpgpppQQp称为该商称为该商品在品在0p处的供给弹性处的供给弹性, , 记作记作 00000|pgpgppppp. .一般而言, 供给量Q是价格p的增函数, 因此0p一般是正值.拉格朗日中值定理若函数 xf满足：在闭区间ba,上连续；在开区间ba,内可导，那么在那么在ba,内至少有一点内至少
23、有一点ba，使等式，使等式 abfafbf成立成立（简单计算题）洛必达法则求极限00型：若 lim?0? = lim?0? = 0，则 lim?0?= lim?0?型：若 lim?0? = lim?0? = ，则 lim?0?= lim?0?（计算题、综合题）第四章第四章 微分中值定理和导数的应用微分中值定理和导数的应用8知识点名称内容罗尔定理费马定义了驻点，称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点、临界点）费马定义了驻点，称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点、临界点）. .罗尔定理 若函数 xf满足在闭区间在闭区间ba,上连续；在开区间上连续；在开区间ba,内可导；在区间端点处的函数内可导；
24、在区间端点处的函数值相等，即值相等，即 bfaf，那么在ba,内至少有一点ba，使得 0f.拉格朗日中值定理若函数 xf满足：在闭区间ba,上连续；在开区间ba,内可导，那么在ba,内至少有一点ba，使等式 abfafbf成立.推论推论 1 1 若函数若函数 xf在区间在区间I上的导数恒为零，那么上的导数恒为零，那么 xf在区间在区间I上是一个常数上是一个常数. .推论推论 2 2 若函数若函数 xf与与 xg在区间在区间ba,内每一点的导数内每一点的导数 xf 与与 xg都相等，则这两个函数在区都相等，则这两个函数在区间间ba,内之多相差一个常数，即内之多相差一个常数，即 baxCxgxf,
25、 . .函数的最值及其应用取得最值的位置取得最值的位置对于可导函数对于可导函数 xf而言，其在区间而言，其在区间ba,上的最值要么在区间端点取得，上的最值要么在区间端点取得，要么在区间要么在区间ba,内的点内的点0 x取得，这时有取得，这时有 00 xf. .（4）求出 xf在ba,内 0 xf和 xf 不存在的点，记为nxxx,21.（5）计算函数值 bfxfxfxfafn,21.（6）函数值 bfxfxfxfafn,21中的最大者为最大值，最小者为最小值.曲线的凹凸性和拐点【判别凹凸性的充分条件】设函数 f x 在 I 上二阶可导。若在 I 上 f x 0，则 f x 在 I 上的图形是凹
26、的；若在 I 上 f x 0，则 f x 在 I 上的图形是凸的。【二阶可导点是拐点的必要条件】设 f x0存在，且点（x0，f x0）为曲线上的拐点，则 f x0= 0【判别拐点的充分条件】第一充分条件：设 f x 在点 xx0处连续，在点 x = x0的某去心邻域 U（x0，）内二阶导数存在，且在该点的左右邻域内 f x 变号，则点（x0，f x0）为曲线上的拐点。第二充分条件：设 f x 在 xx0的某邻域内三阶可导，且 f x0= 0，fx00，则（x0，f x0）为拐点。第三充分条件：设 f x 在x0处 n 阶可导，且fmx00（m2，n， ）fnx00（n3） ，则当 n 为奇数
27、时， （x0，f x0）为拐点。渐近线水平渐近线若 limxf x y，则 yy为一条水平渐近线；若 limxf x y2，则 yy2为一条水平渐近线；若 limxf x y0 limxf x ，则 yy0为一条水平渐近线。9铅直渐近线若 limxx0+f x （或 limxx0f x ） ，则 xx0为一条铅直渐近线。斜渐近线若limxf xx= k， limxf x kx b，则 ykxb是曲线 y f x的一条斜渐近线；若limxf xx= k2， limxf x k2x b2，则 yk2xb2是曲线 y f x的一条斜渐近线；若 limxf xx= k0=limxf xx， limxf
28、 x k0 x b0 limxf x k0 x ，则 yk0 xb0是曲线 y f x 的一条斜渐近线。供给弹性定义定义 3 3 已知某商品的供给函数 pgQ 在点0p处可导,p表示价格，Q表示供应量.00ppQQ称为该商品在称为该商品在0p与与pp0两点间的供给弹性两点间的供给弹性, ,000000limpgpgpppQQp称为该商称为该商品在品在0p处的供给弹性处的供给弹性, , 记作记作 00000|pgpgppppp. .一般而言, 供给量Q是价格p的增函数, 因此0p一般是正值.拉格朗日中值定理若函数 xf满足：在闭区间ba,上连续；在开区间ba,内可导，那么在那么在ba,内至少有一
29、点内至少有一点ba，使等式，使等式 abfafbf成立成立（简单计算题）洛必达法则求极限00型：若 lim?0? = lim?0? = 0，则 lim?0?= lim?0?型：若 lim?0? = lim?0? = ，则 lim?0?= lim?0?（计算题、综合题）第六章第六章 多元函数微积分多元函数微积分知识点名称内容多元函数的概念定义 1 设有三个变量yx,和z，如果当变量yx,在某一区域D内任取一组值时，变量z按照一定的法则f都有唯一的数值与之对应，则称f是D上的二元函数，记为yxfz,，Dyx,.其中变量yx,称为自变量，变量z称为因变量，yx,的取值区域称为二元函数的定义域.对于对
30、于D上任意一点上任意一点00, yx，对应的因变量，对应的因变量z的取值的取值000, yxfz 称为函数在点称为函数在点00, yx处的函数处的函数值，函数值的全体称为该二元函数的值域值，函数值的全体称为该二元函数的值域. .类似地，可定义有三个自变量类似地，可定义有三个自变量zyx,和因变量和因变量u的的三元函数三元函数zyxfu,以及三元以上的函数以及三元以上的函数. . 一般地，我们将二元及二元以上的函数统称为多一般地，我们将二元及二元以上的函数统称为多元函数元函数. .10二元函数的极限定义定义 2 2 设二元函数yxf,在点000, yxP的某一去心邻域内有定义，若当该去心邻域中任
31、意一点yxP ,以及任何方式趋于点000, yxP时，对应的函数值yxf,趋于一个确定的常数A，则称A是函数yxf,在000,yxPyxP时的极限，记作Ayxfyyxx,lim00或Ayxfyxyx,lim00,.二元函数的极限又称为二重极限二重极限. .偏导数的计算一阶偏导数设函数 zf x，y 在点 x0，y0的某领域内有定义，若极限 limx0f x0 x，y0f x0，y0 x存在，则称此极限为函数 zf x，y 在点 x0，y0处对 x 的偏导数，记作：fxx0，y0或zxx0，y0，fx|x0，y0，zx|x0，y0同样，可定义函数 zf x，y 在点 x0，y0处对变量 y 的偏
32、导数。函数 zf x，y 在区域 D 内任意一点 x，y 处关于 x，y 的偏导（函）数分别记为：zx，fx，zx，fxx0，y0；zy，fy，zy，fyx0，y0二阶偏导数xzx2zx2fxxx，y zxxyzx2zxyfxyx，y zxy表示函数 zf x，y 先对 y 求偏导，再对 x 求偏导。xzy2zyxfyxx，y zyx表示函数 zf x，y 先对 x 求偏导，再对 y 求偏导。yzy2zy2fyyx，y zyy其中fxyx，y 与fyxx，y 称为二阶混合偏导数。全微分的定义定义 1 设yxfz,在点yx,的某邻域内有定义，若yxf,在点yx,处的全增量可表示为 oyBxAyx
33、fyyxxfz,其中BA,与yx ,无关，yx，则称函数yxfz,在点yx,处可微，yBxA称为yxfz,在点yx,处的全微分，记为yBxAdz.一元隐函数的求导法则设函数yxF,可微，若函数 xyy 由方程yxF,确定，则y对x的导数yFFFyFxFdxdyyx. .二重积分的性质【求区域面积】D?dDd?A，其中 A 为 D 的面积。【可积函数必有界】当 f x，y 在有界闭区域 D 上可积时，则 f x，y 在 D 上必有界。【积分的线性性质】设k，k2为常数，则11Dkf x，y k2g x，y?dkDf x，y d?k2Dg x，y d?【积分的可加性】当 f x，y 在有界闭区域 D 上可积时，且DD2D，DD2，则Df x，y d?Df x，y d?D2f x，y d?【积分的保号性】当 f x，y ，g x，y 在有界闭区域上可积时，若在 D 上，f x，y g x，y则有：Df x，y d?D2g x，y d?特殊地有：Df x，y d?Df x，y d?【二重积分的估值定理】设 M，m 分别是 f x，y 在有界闭区域 D 上的最大值和最小值，A 为 D 的面积，则有：mADf x，y d?MA【二重积分的中值定理】设函数 f x，y 在有界闭区域 D 上连续，A 为 D 的面积，则在 D 上至少存在一点 ， ，使得：Df x，y d?f ， A
