1、 1 1 / 1212 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 知识点名称知识点名称 内容内容 事件的包含事件的包含与相等与相等 设 A,B 为两个事件，若 A 发生必然导致 B 的发生，则称事件 B 包含事件 A，或称事件 A包含在事件 B 中，记作B A，A B.显然有： A 和事件和事件 称事件“A,B 中至少有一个发生”为事件 A 与事件 B 的和事件，也称 A 与 B 的并，记作A B 或 A + B。A B发生意味着：或事件 A 发生，或事件 B 发生。显然有：A A B,B A B；或A B，则 A B = B 积事件积事件 称事件“A,B 同时发生”为事件 A 与事件 B
2、的积事件，也称 A 与 B 的交，记作A B，简记为 AB。事件 AB 发生意味着事件 A 发生且事件 B 发生，也就是说 A,B 都发生。显然有AB A，AB B；若A B，则 AB = A。 差事件差事件 称事件“A 发生而 B 不发生”为事件 A 与事件 B 的差事件，记作 A-B。显然有：A B A；若A B，则 A B = 互不相容互不相容 若事件 A 与事件 B 不能同时发生，即AB = ，则事件 A 与事件 B 是互不相容的两个事件，简称 A 与 B 互不相容（或互斥） 。对于 n 个事件A1,A2,An,如果它们两两互不相容，即AiAj= (i j,i,j = 1,2,n),则
3、称A1,A2,An互不相容 对立事件对立事件 称事件“A 不发生”为事件 A 的对立事件（或余事件，或逆事件） ，记作A。若事件 A 与事件 B 中至少有一个发生，且 A 与 B 互不相容，即A B = ，AB = ，则称 A 与 B 互为对立事件。显然有：A= A；= ，= ；A B = AB= A AB. 交换律交换律 A B = B A，A B = B A 结合律结合律 A (B C) = (A B) C，A (B C) = (A B) C 分配律分配律 A (B C) = (A B) (A C)，(A B) （A C） 对偶律对偶律 A B= AB，AB= A B 古典概型的古典概型的
4、特点特点 1、基本事件的总数是有限的，换句话说样本空间仅含有有限个样本点； 2、每个基本事件发生的可能性相同。设为随机试验 E 的样本空间，其中所含样本点总数为 n，A 为一随机事件，其中所含样本点数为 r，则有P(A) =中样本点数中样本点总数，也即P(A) =所包含的基本事件数基本事件总数. 概率概率 1、设是随机试验 E 的样本空间，对于 E 的每个事件 A 赋予一个实数，记为 P(A)，称P(A)为事件 A 的概率，如果它满足下列条件：P(A) 0；P() = 1；设1,2,是一列互不相容的事件，则有 0 P(A) 1，P() = 0； 2、对于任意事件 A，B 有P(A B) = P
5、(A)+ P() P(AB)。当 A 与 B 互不相容时，P(A B) = P(A) + P()。 3、对于任意事件 A，B，C 有P(A B C) = P(A) + P() + P() P(AB) P(AC) P(BC)+ P(ABC)。当1,2,互不相容时，P(1 2 ) = P(1) + P(2) +P(),其中 n 为正整数。P(B A) = P() P(AB)，特别的，当A B时，P(B A) =P() P(A)。P(A) = 1 P(A) 条件概率条件概率 1、设 A，B 是两个事件且P() 0，称P(|) =()()为在事件 B 发生条件下事件 A 的条件概率。 自考押题 vx
6、344647 公众号/小程序 顺通考试资料 2 2 / 1212 2、定理（乘法公式） 设( )0AP，则()( ) ()ABPAPABP|=.同样地，若( )0BP，则()( ) ()BAPBPABP|=. 推广到n个事件的情况： （1）设()0ABP，则()( ) () ()ABCPABPAPABCP|=. （2）设()0121nAAAP，则 ()() ()()121121121|=nnnnAAAAPAAPAPAAAAP 全概率公式全概率公式与贝叶斯与贝叶斯（BayesBayes）公式公式 设事件1,2,满足如下两个条件：（1）1,2,互不相容，且P(A) 0，i =1,2,n;（2）1
7、2 = ，即1,2,至少有一个发生，则称1,2,为样本空间的一个划分。 全概率公式 设随机试验对应的样本空间为，设1,2,是样本空间的一个划分，B 是任意一个事件，则P() = P(A)P(|A)=1. 贝叶斯公式 设1,2,是样本空间的一个划分，B 是任一事件，且P() 0，则P(A|) =P(A)P(|A)P()=P(A)P(|A)P(A)P(|A)=1 事件的事件的 独立性独立性 若P(AB) = P(A)P()，则称 A 与 B 相互独立，简称 A，B 独立。性质： （1）设P(A) 0，则 A 与 B 相互独立的充分必要条件是P() = P(|)。 （2）若 A 与 B 相互独立，则
8、 A 与B, A与 B，A与B都相互独立。一般，A 与 B，A 与B, A与 B，A与B，只要有一相互独立，另三组也各自相互独立 事件 A 与 B 相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B) 设 A，B，C 为 3 个事件，若满足P(AB) = P(A)P()，P(AC) = P(A)P()，P(BC) =P(B)P()，P(ABC) = P(A)P(B)P()，则称 A，B，C 两两独立，简称 A，B，C 独立 定义设 A，B，C 为 3 个事件，若满足P(AB) = P(A)P()，P(AC) = P(A)P()，P(BC) =P(B)P()，则称 A，B，C 两两独立。A，B，C 独立必
9、有 A，B，C 两两独立，反之不然 设1,2,为 n 个事件，若对于任意整数k(1 k n)和任意 k 个整数1 1 2 ,有P(12) = P(1)P(2)P()，则称1,2,相互独立，简称1,2,独立 n n 重贝努利重贝努利(Bernoulli)(Bernoulli)试验试验 在 n 重贝努利试验中，设每次试验中事件 A 的概率为p(0 p 1),则事件 A 恰好发生 k次的概率() = (1 ), = 0,1,2,.事实上，A 在指定的 k 次试验中发生，而在其余 n-k 次试验中不发生的概率为(1 )。 排列与组合排列与组合 1、乘法原理：若某件事需经k步才能完成，做第一步有1m种方
10、法，做第二步有2m种方法做第k步有km种方法，则完成这件事共有kmmm21种方法。 2、加法原理：若某件事可由k类不同途径之一去完成，在第一类途径中有1m种完成方法，在第二类途径中有2m种完成方法在第k类途径中有km种完成方法，那么完成这件事共有kmmm+21种方法。 3 3 / 1212 第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 知识点名称知识点名称 内容内容 离散型分布离散型分布变量变量 若随机变量 X 只取有限多个或可列无限多个值，则称 X 为离散型随机变量。 设 X 为离散型随机变量，可能取值为1,2,，且PX = = , = 1,2,，则称为 X 的分布律（或分布列，或
11、概率分布）。性质： 0， = 1,2,；=1= 1 离散型分布离散型分布律律 1 = = 1 + = 2 离散型随机离散型随机变量函数的变量函数的概率分布概率分布 设 X 为连续型随机变量，其概率密度为().设 g(x)是一严格单调可导函数，其值域为,且(x) 0.记 x=h(y)为 y= g(x)的反函数，则 Y= g(X)的概率密度f() =(h(y)|(y)|， y 0， 其他。 特别地，当=-，=+时，f()(h(y)|(y)|， y + 0 0- -1 1 分布分布 若随机变量 X 只取两个可能值 0,1，且PX = 1 = p，PX = 0 = q，其中0 p 1，q = 1 p，
12、则称 X 服从 0-1 分布 分布律为 X 0 1 P q p 二项分布二项分布 若随机变量 X 的可能取值为 0,1， ， n， 而 X 的分布律为= PX = k = , = 0,1，n，其中0 p 0,是常数，n 是任意正整数，且n= ,则对于任意取定的非负整数 k，有lim(1 )=!.由泊松定理，当 n 很大 p 很小时，有近似公式!，其中 =np。 泊松分布泊松分布 设随机变量 X 的可能取值为 0,1,2，n，而 X 的分布律为= PX = k =!，k =0,1,2，其中0，则称 X 服从参数为的泊松分布，简记为 XP（） 分布函数分布函数 定义 设 X 为随机变量，称函数F(
13、X) = PX x, (,+)为 X 的分布函数。当 X 为离散型随机变量时，设 X 的分布律为= PX = k，k = 0,1,2,则F(X) = ，其中求和是对所有满足 时相对应的概论的求和 性质 0 () 1；F（x）是不减函数，即对于任意的1 2有 F(1) F(2)；F() =0，F(+) = 1，即 limF() = 0, limF() = 1 ; F() 右 连 续 ， 即 F( + 0) =lim0+( + ) = F() 连续型随机连续型随机变量变量 定义 若对于随机变量 X 的分布函数F()，存在非负数 f(x)，使得对任意实数 x，有F() =f(t)dt，则称 X 为连
14、续型随机变量，并称 f(x)为 X 的概率密度函数，简称概率密度 4 4 / 1212 性质 f(x) 0； f(x)+ = 1；Pa X b = F() F() = f(x), ；设 x 为f(x)的连续点，则F(x)存在，且F(x) = f(x) 举例 设随机变量 X 的概率密度为则常数 c=（ ） 均匀分布均匀分布 若随机变量 X 的概率密度为f(x) = 1，a x b0, 其他，则称 X 服从区间a,b上的均匀 分布，简记为 AU(a,b).其分布函数为F(x) = 0， x a，, 00, x 0，其中0 为常数，则称 X 服从参数为的指数分布，简记为 XE()，其分布函数为F(x
15、) = 1 ，x 00, x 0 正态分布正态分布 1、若随机变量 X 的概率密度为f(x) =12()222, x +,其中，2为常数， 0，则称 X 服从参数为，2的正态分布，简记为XN(，2) 2、标准正态分布函数( )x的性质： （1）()( )xx=1； （2）( )210 =； （3）对一般正态分布()2,NX，其分布函数( )=xxXPxF； （4）=abbxaPbxaPbxaPbxaP即( )( )=abaFbF. （5）=aaXPaXP1. 第三章第三章 多维随机变量及其概率分布多维随机变量及其概率分布 知识点名称知识点名称 内容内容 二维随机二维随机 变量变量 n 个随机变
16、量1,2,构成的整体X = 1,2,称为一个 n 维随机变量或 n 维随机向量，称为 X 的第 i（i=1,2，n）个分量 二维离散型二维离散型随机变量随机变量 二维离散型随机变量：若二维随机变量只能取有限多对或可列无穷多对(,)，(, =1,2,)，则称(X,Y)为二维离散型随机变量.设二维随机变量(X,Y)的所有可能取值为(,),(, = 1,2,)，(X,Y)在各个可能取值的概率为：P = , = = ，(, =1,2,)，则称P = , = = 。(, = 1,2,)为(X,Y)的分布律 性质： 0，(, = 1,2,)； = 1. 5 5 / 1212 边缘分布律：对于离散型随机变量
17、(X,Y)，分量 X（或 Y）的分布律称为(X,Y)关于 X（或Y）的边缘分布律，记为( = 1,2,)（或( = 1,2,)），它可由(X,Y)的分布律求出. (X,Y)的边缘分布律有下列性质： 0， 0，(, = 1,) = 1, =1 二维连续型二维连续型随机变量的随机变量的概率密度概率密度 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，若存在非负可积函数f(x,y)，使得对任意的实数 x,y，有F(x,y) = f(u,v)udv，则称(X,Y)为二维随机变量；并称f(x,y)为(X,Y)的概率密度或 X 与 Y 的联合密度函数。 按定义，概率密度f(x,y)有以下性质：f(x,y
18、) 0；f(x,y)+xdy = 1；若()yxf,在()yx,处连续，则有()()yxfyxyxF,2=；若()YX,的概率密度为()yxf,，则()YX,在平面区域D（即()DYX,）内取值的概率为()()=DdxdyyxfDYXP, 边缘概率边缘概率 密度密度 对连续型随机变量(X,Y)，分量 X（或 Y）的概率密度称为(X,Y)关于 X（或 Y）的边缘概率密度，简称边缘密度，记为()（或()）。边缘概率密度()或()可由(X,Y)的概率密度 f(x,y)求出：() = f(x,y)， x +；() =f(x,y)， y + 二维连续型二维连续型随机变量的随机变量的独立性独立性 设二维连
19、续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，()，()分别为(X,Y)关于 X 和 Y的边缘概率密度，则 X 与 Y 相互独立的充要条件是：等式(,) = ()() 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 知识点名称知识点名称 内容内容 离散型随机离散型随机变量的期望变量的期望 1、设离散型随机变量 X 的分布律为P = = ， = 1,2,，若 绝对收敛（即 |收敛），则定义 X 的数学期望（简称均值或期望）为()=iiipxXE 2、设离散型随机变量X的分布律为kkpxXP=，, 2 , 1=k.令()XgY =，若()=1kkkpxg绝对收敛，则随机变量Y的数学期望为(
20、)()()=1kkkpxgXgEYE 连续型随机连续型随机变量的期望变量的期望 1、设连续型随机变量X的概率密度为( )xf，若反常积分( )+dxxxf绝对收敛，则称该积分为随机变量X的数学期望（简称期望或均值），记为( )XE，即()( )+=dxxxfXE。 2、设X为连续型随机变量，其概率密度为( )xfX，又随机变量()XgY =，则当( )( )+dxxfxgX收敛时，有( )()( )( )+=dxxfxgXgEYEX. 期望的性质期望的性质 （1）常数的期望等于这个常数，即 E(C)=C，其中 C 为常数。 （2） 常数 C 与随机变量 X 乘积的期望等于该常数与随机变量 X
21、的期望的乘积，即E(CX)=CE(X)。 （3）随机变量和的期望等于随机变量期望之和，即 E(X+Y)=E(X)+E(Y)。 6 6 / 1212 （4）两个相互独立的随机变量乘积的期望等于期望的乘积，即若 X，Y 是相互独立的随机变量，则 E(XY)=E(X)E(Y)。 二维随机变二维随机变量函数的期量函数的期望望 若(X,Y)为离散型随机变量，若其分布律为jiijyYxXPp=,，边缘分布律为=iijjjijipppp,，则( )=ijijiiiipxpxXE，( )=ijijjjjjpypyYE 若(X,Y)为二维连续型随机变量，()yxf,，( )xfX，( )yfY分别为(X,Y)的
22、概率密度与边缘概率密度，则()( )() +=dxdyyxxfdxxxfXEX,，( )( )() +=dxdyyxyfdyyyfYEY, 设(,)为连续函数，对于二维随机变量(,)的函数(,)， （1）若(X,Y)为离散型随机变量，()ijijjipyxg,收敛，则()()=ijijjipyxgYXgE,. （2）若(X,Y)为连续型随机变量，且积分() () +dxdyyxfyxg,收敛，则()() () +=dxdyyxfyxgYXgE, 方差方差 定义 设随机变量()()2XEX 的期望存在，则称( )()2XEXE为随机变量X的方差，记作D(X)，即( )( )()2XEXEXD=，
23、称( )XD=为X的标准差（或均方差）。 注意：方差反映了随机变量偏离其中心期望的平均偏离程度 性质 （1）常数的方差等于零，随机变量与常数之和的方差等于随机变量的方差，即D（C）=0，D（X+C）=D（X） （2）常数与随机变量乘积的方差等于这个常数的平方与随机变量方差的乘积.即D（CX） = 2D（X），其中 C 为常数. （3）设 X,Y 是两个随机变量，则有()()( )()()( )()YEYXEXEYDXDYXD+=+2. 特别地，若 X,Y 相互独立，则有()( )( )YDXDYXD+=. 推广：n 个相互独立的随机变量情况若nXXX,21相互独立，则 ()()()()nnnn
24、XDkXDkXDkXkXkXkD+=+22112211 协方差协方差 设有二维随机变量(X,Y)，且 E(X)，E(Y)存在，若( )()( )()YEYXEXE存在，则称此值为 X 与 Y 的协方差，记为()YXCov,，即()()()( )()YEYXEXEYXCov=,. 当(X,Y)为二维离散型随机变量时，其分布律为iiijyYxXPp=, （, 2 , 1=i，, 2 , 1=j），则()( )()( )()=ijijiipYEyXExYXCov,。 当(X,Y)为二维连续型随机变量时，f(x,y)为(X,Y)的概率密度，则 ()()()( )() () +=dxdyyxfYEyXE
25、xYXCov, 计算公式：()()() ( )YEXEXYEYXCov=,. 特别地，取 X=Y 时，有()( )()( )()()XDXEXXEXEYXCov=, 相关系数相关系数 定义 若( )0XD，( )0YD，称()()( )YDXDYXCov,为 X 与 Y 的相关系数，记为XY，即()()( )YDXDYXCovXY,= 性质 （1）1XY，1=xx （2）=1XY存在常数ba,使1=+=baXXP且0a。 （3）若相关系数0=XY则称 X 与 Y 不相关。 7 7 / 1212 常见随机变常见随机变量的方差量的方差 离 散 型 分布 分布律或概率密度 期望( )XE 方差( )
26、XD X服从参数为p的 0-1 分布 qXP= 0，pq=1，pXP=1，10 p p ()pp1 X服从二项分布()pnBX, 设()pnBX,，即 iniiniqpCiXPp=（ni, 2 , 1 , 0=） ，pq=1 np npq X服从泊松分布 ( )PX 设( )PX 其分布律为! ieiXPi=（, 2 , 1 , 0=i） 连 续 型 X服从均匀分布 ()baUX, 设随机变量X在ba,上服从均匀分布，概率密度为( )=, 0,1其他bxaabxf 2ba + ()122ab X服从指数分布 ( )EX 设随机变量X服从参数为0的指数分布，概率密度为 ( )=, 0, 0, 0
27、,xxexfx 1 21 X服从正态分布 ()2,NX 设()2,NX概率密度为 ( )()22221=xexf， +x 2 8 8 / 1212 第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理 知识点名称知识点名称 内容内容 切比雪夫不切比雪夫不等式等式 设随机变量X的期望( )XE及方差()XD存在，则对任意小正数0，有 ( )( )2XDXEXP，或( )( )21XDXEXP 棣莫弗棣莫弗拉拉普拉斯中心普拉斯中心极限定理极限定理 设随机变量nZ是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对于任意实数x，( )xdtexnpqnpZPxtnn=2221lim
28、, 其中pq=1,( )x为标准正态分布函数. 独立同分布独立同分布序列的中心序列的中心极限定理极限定理 设,21nXXX是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差()=iXE，()(), 2, 12=iXDi。记随机变量nnXYniin=1的分布函数为( )xFn，则对于任意实数x，有 ( )( )=xtniinnnnnxdtexnnXPxYPxF21221limlimlim， 其中( )x为标准正态分布函数 当 n 充分大时，独立同分布的随机变量之和=niinXZ1的分布近似于正态分布()2,nnN.n 个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布.中心极限定理表明， 不论,21n
29、XXX同服从什么分布，当n充分大时，其和nZ近似服从正态分布 若,21nXXX的平均值=niiXnX11，有( )()=niiXEnXE11，( )()nXDnXDnii211=，它的标准化随机变量为nXYn=。 从而有nY的分布函数为( )xFn，有( )( )xdtexFttnn=2221lim。 当n充分大时，独立同分布随机变量的平均值=niiXnX11的分布近似于正态分布nN2, 第六章第六章 统计量及其抽样分布统计量及其抽样分布 知识点名称知识点名称 内容内容 样本方差与样本方差与样本标准差样本标准差 1、样本方差：设nxxx,21为取自某总体的样本，则它关于样本均值x的平均偏差平方
30、和()=niixxns12211，称为样本方差，其算术根2ss =称为样本标准差.样本标准差与样本均值具有相同的度量单位. 2、定理：设总体X具有二阶矩，即()=XE，( )+=2XD，nxxx,21，为从 9 9 / 1212 该总体得到的样本，x和2s分别是样本均值和样本方差，则( )=xE，( )nxD2=，( )22=sE.定理表明：样本均值的均值与总体均值相同，而样本均值的方差是总体方差的n1. 正态总体的正态总体的抽样分布抽样分布 名称名称 定义定义 性质性质 2分布分布 设nXXX,21独立同分布于标准正态分布()1 , 0N，则2212nXX+=的分布称为自由度为 n 的2分布
31、，记为( )n22. 1.( )()nnE=2，( )()nnD22=. 2.设( )mX2，( )nY2，且 X 与 Y 独立，则()nmYX+2. F F 分布分布 设( )mX21，( )nX22，1X与2X独立，则称nXmXF21=的分布是自由度为 m 与 n 的 F 分布，记为()nmFF,，其中 m 称为分子自由度，n 称为分母自由度. 1.若()nmFF,，则()mnFF,1. 2.()()mnFnmF,1,1=. t分布分布 设随机变量1X与2X独立且()1 , 01NX，( )nX22，则称nXXt21=的分布为自由度为 n 的 t 分布，记为( )ntt 自由度为 1 的
32、t 分布就是标准柯西分布，它的均值不存在； ( )0=TE()1n， ( )2=nnTD ()2n； ( )( )ntnt221=；4.( )2221limxnexf=. 第七章第七章 参数估计参数估计 知识点名称知识点名称 内容内容 矩估计法矩估计法替换原理替换原理（后称此法（后称此法为矩法）为矩法） 1、用样本矩替换总体矩（矩可以是原点矩也可以是中心矩） ； 2、用样本矩的函数替换相应的总体矩的函数。 3、基本思想：在总体存在所需要的各阶矩的条件下，用样本的各阶矩去估计总体的相应的各阶矩（统计思想（替换思想） ，实质是用经验分布函数去替换总体分布） 。 4、方法步骤：求两矩作方程，解方程得
33、估计。在总体分布形式未知场合可对各种参数作出估计，如： 用样本均值估计总体均值，即；用样本二阶中心矩估计总体方差，即，其中2=1( )2=1 无偏性估计无偏性估计 点估计的评价标准点估计的评价标准包括：相合性、无偏性估计有效性包括：相合性、无偏性估计有效性 设是的一个估计， 的参数空间为， 若对任意的， 有，则称是的无偏估计，否则称为有偏估计 注 意 ： 设是 取 自 总 体 X 的 样 本 ， 由 于， 故样本均值是总体均值的无偏估计量， 样本方差是总体方差的无偏估计量.无偏性不具有不变性，从而 S 不是的无偏估计 单个正态总单个正态总 x( )XE( )XXE=2nS( )XD()2nSX
34、D=()nxx,1=( )=Enxxx,21( )=XE()2=XD( )()=XEXE()22=SEX2S2 1010 / 1212 体参数的置体参数的置信区间信区间 所估参数所估参数 条件条件 估计函数估计函数 置信区间置信区间 已知 未知 未知 第八章第八章 假设检验假设检验 知识点名称知识点名称 内容内容 两类错误两类错误 第一类错误：原假设0为真，但由于样本的随机性，使样本观察值落入拒绝域，这时所作的判断便是拒绝0，这类错误称为第一类错误，简称弃真.它发生的概率就是显著性水平： 第二类错误：原假设0为假，但由于样本的随机性，使样本观察值落入接受域，这时所作的判断便是保留0，这类错误称
35、为第二类错误，简称采伪，它发生的概率记为 ： 判真实情况判真实情况 接受0 拒绝0 成立成立 正确 第一类错误 成立成立 第二类错误 正确 检验检验 由服从标准正态分布的检验统计量作检验的方法称为检验法 方差已知时，单个正态总体均值检验方差已知时，单个正态总体均值检验：设是从正态总体中抽取的一个样本，是已知常数，欲检验假设：，其中为已知数。已求出检验统计量（在假设0成立时，它服从标准正态分布） ，拒绝域。若由样本检测值计算出的值落在W内，则作出拒绝0的判定，否则认为与0相容 方差已知时，两个正态总体均值检验方差已知时，两个正态总体均值检验：设，其中，为已知常数.和分别是取自和的样本且相互独立.
36、欲检验假设：，。检验假设，等价于检验假设。 已知是的一个估计量，且当0为真时，有。于是对给定的水平，可得临界值，使，从而得拒绝域2()nxu=+nuxnux22,2()nsxt=()()+nsntxnsntx1,1222()=sn()()()()11,112212222nsnnsn为真拒绝00| HHP=为真接受10| HHP=()Wxxxn,21()Wxxxn,21nxx,1()20,N2000:=H01:H0nxu00=+=,22uuW()211,NX()222,NX2122mxx,1nyy,1XY210:=H211:H21=021=yx 21()1 , 02221Nnmyxu+=2u=2
37、uuP 1111 / 1212 ，再由样本值计算的观测值。，若，则拒绝0；否则认为相容 t t 检验检验 方差未知时，单个正态总体均值检验方差未知时，单个正态总体均值检验：设是从正态总体中抽取的一个样本，其中未知，欲检验：，其中为已知数。由于未知，考虑用样本方差代替总体方差，因而构造检验统计量. 当0为真时，.于是，对给定的显著性水平，查表（ 分布临界值表）可得，使得，即得拒绝域. 通过样本观测值计算出观测值t，若，则拒绝0，否则认为与0相容。 方差未知时，两个正态总体均值检验方差未知时，两个正态总体均值检验：设，和分别是取自X和Y的样本且相互独立.欲检验假设：，。（未知） 。当0为真时，构造
38、检验统计量：. 对给定的水平，得临界值，使得，即得拒绝域。且未知，但（配对问题） 。 ，即视两个正态总体样本之差来自一个正态总体的样本。记，（未知） ，此时，与是否相等的检验等价于假设检验：，.构造检验统计量，其中，。在假设为真时，.于是可得拒绝域为 第九章第九章 回归分析回归分析 知识点名称知识点名称 内容内容 一元线性一元线性 回归回归 设随机变量 y 与自变量 x（它可精确测定或严格控制的变量）之间成立下列关系，其中为随机变量（随机误差） ，称为关于的一元线性回归，称为回归系数，为回归常数。它是回归直线的截距。 回归分析的基本问题是依据样本，解决问题：未知参数及的点估计,求Y与x之间关系
39、回归方程。 +=,22uuWunmyxu2221+=Wunxx,1()2,N200:=H01:H022s2nsxt0=()1nttt()12nt()=12nttP()()+=,11,22ntntWWt()211,NX()222,NYmxx,1nyy,1210:=H211:H22221=2()211+=nmtnmsyxtW()22+ nmt()=+22nmttP()()+=,22,22nmtnmtW2221nm =iiiYXZ=()ni, 1=()dZEi=21()22221=+=iZD120:0=dH0:1dHnsZt =niiZnZ11()=niiZZns122110H()1ntt()()+
40、=,11,22ntntW+=xy10()2, 0Nxy10+=yx20()iiyx ,ni, 2 , 1=10,2 1212 / 1212 回归直线方回归直线方程的建立程的建立 显著性检验显著性检验 欲检验假设， .由与相互独立，及t分布定义，知， 即，.当假设为真时，. 其中，对给定的显著性水平，得临界值.从而得拒绝域. 当由抽样得到的n对观测值，计算出时，拒绝0，认为一元线性回归显著；否则，认为回归效果不显著. 用给出的检验统计量作检验的方法称为t检验法. 0:10=H0:11H1剩s()()222211=ntnsLtxx剩()211=ntLtxx0:10=H()21=ntLtxx()=niiiyynns12212剩()22nt()()+=,22,22ntntW()iiyx ,ni, 2 , 1=Wt()21=ntLtxx
