1、高三数学一模试卷高三数学一模试卷 一、单选题一、单选题 1设集合,则( ) A B C D 2复数满足,则( ) A B C2 D 3若向量满足,则与的夹角为( ) A B C D 4根据分类变量与的成对样本数据,计算得到.依据的独立性检验,结论为( ) A变量与不独立 B变量与不独立,这个结论犯错误的概率不超过 C变量与独立 D变量与独立,这个结论犯错误的概率不超过 5“阿基米德多面体”也称半正多面体,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体,这是一个有八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,若该多面体的棱长为
2、1,则经过该多面体的各个顶点的球的体积为( ) A B C4 D8 6设,则( ) A B C D 7“环境就是民生,青山就是美丽,蓝天也是幸福”,随着经济的发展和社会的进步,人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为,排放前每过滤一次,该污染物的含量都会减少,当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过,若要使该工厂的废气达标排放,那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为( ) (参考数据:) A5 B7 C8 D9 8已知正数满足,则的最小值为( ) A B C D 二、多选题二、多选题 9设,且,则( ) A B C D 10已知双曲线,则( ) A双曲线的焦点在轴上 B双
3、曲线的焦距等于 C双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 D双曲线的离心率的取值范围为 11已知函数,则下列结论正确的是( ) A若对于任意的,都有成立,则 B若对于任意的,都有成立,则 C当时,若在上单调递增,则的取值范围为 D当时,若对于任意的,函数在上至少有两个零点,则的取值范围为 12在数列中,对于任意的都有,且,则下列结论正确的是( ) A对于任意的,都有 B对于任意的,数列不可能为常数列 C若,则数列为递增数列 D若,则当时, 三、填空题三、填空题 13若为奇函数,则 .(填写符合要求的一个值) 14第 24 届冬奥会于 2022 年 2 月 4 日至 20 日在北京和张家口举行,中国邮
4、政陆续发行了多款纪念邮票,其图案包括“冬梦”“飞跃”“冰墩墩”雪容融”等,小明现有“冬梦”飞跃”“冰墩墩”雪容融”邮票各 2 张,他打算从这 8 张邮票中任选 3 张赠送给同学小红,则在选中的 3 张邮票中既有“冰墩墩”邮票又有“雪容融”邮票的概率为 . 15是椭圆的两个焦点,是椭圆上异于顶点的一点,是的内切圆圆心,若的面积等于的面积的 3 倍,则椭圆的离心率为 . 16在矩形中,是的中点,将沿折起得到,设的中点为,若将绕旋转,则在此过程中动点形成的轨迹长度为 . 四、解答题四、解答题 17设数列的前项和为,对于任意的都有,且. (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足,求数列的前项和. 1
5、8如图,在四边形中,. (1)求; (2)若,求四边形的面积. 19如图,在三棱柱中,侧面是正方形,是的中点,. (1)求证:; (2)是线段上的点,若平面与平面的夹角为,求的长. 20为了解某车间生产的产品质量,质检员从该车间一天生产的 100 件产品中,随机不放回地抽取了 20 件产品作为样本,并一一进行检测.假设这 100 件产品中有 40 件次品,60 件正品,用表示样本中次品的件数. (1)求的分布列(用式子表示)和均值; (2)用样本的次品率估计总体的次品率,求误差不超过的概率. 参考数据:设,则,. 21已知抛物线的准线为 ,点在上,且到 的距离与到原点的距离相等. (1)求的方
6、程; (2)是上异于原点的四个动点,且,若,垂足分别为,求的最大值. 22已知函数. (1)讨论的单调性; (2)当时,若对于任意的,都有,求证:. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】解:因为集合, 所以, 故答案为:B. 【分析】化简集合 B,利用交集的定义即可求出答案。 【解析】【解答】因为,所以, 所以. 故答案为:A 【分析】将化为,利用复数的四则运算以及模长公式求解可得答案。 【解析】【解答】由题可知, , 向量 与 的夹角为 . 故答案为:C. 【分析】 根据条件可得出 ,然后即可求出的值,从而得出答案. 【解析】【解答】按照独立性检验的知识及比对的参数值,当,我们可以下结论变量与独立.故排除 A,B; 依据的独立性检验,6.1470 两种情况讨论即可求出 的单调性; (2)由(1)根据函数零点存在定理存在 ,使得 ,由对于任意的 x 0,都有 f(x)g(x)0,可得 也是函数的两个零点,即 是方程的根 ,所以 又 , 所以, 所以等价于,由 ,不等式右边易证,左边要证 , 即证 , 构造函数 ,求导,即可证明出 .