1、第六章第六章 求总量的问题求总量的问题定积分定积分6.1 特殊和式的极限特殊和式的极限 定积分的概念定积分的概念一、一、 抽象定积分概念的两个现实原型抽象定积分概念的两个现实原型1.求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积2.求变力所作的功求变力所作的功y=f(x)ab原型原型1. 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积 如图如图,曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线y=f(x)( f(x)0), x轴与两条直线轴与两条直线x=a, x=b所所围成围成oxyS=?yxaboyxabo用矩形面积近似代替曲边梯形面积用矩形面积近似代替曲边梯形面积(四个小矩形四个小矩形)(九个小矩形九个小矩形) 显然显然,小矩形
2、越多小矩形越多,矩形总面积越接矩形总面积越接近曲边梯形面积近曲边梯形面积观察下列演示过程观察下列演示过程,注意当分割加细时注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示过程观察下列演示过程,注意当分割加细时注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示过程观察下列演示过程,注意当分割加细时注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示过程观察下列演示过程,注意当分割加细时注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系
3、观察下列演示过程观察下列演示过程,注意当分割加细时注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示过程观察下列演示过程,注意当分割加细时注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示过程观察下列演示过程,注意当分割加细时注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示过程观察下列演示过程,注意当分割加细时注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示过程观察下列演示过程,注意当分割加细时注意当分割加细时,矩形
4、面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示过程观察下列演示过程,注意当分割加细时注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示过程观察下列演示过程,注意当分割加细时注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示过程观察下列演示过程,注意当分割加细时注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示过程观察下列演示过程,注意当分割加细时注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示
5、过程观察下列演示过程,注意当分割加细时注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示过程观察下列演示过程,注意当分割加细时注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系byxao如图如图, 在区间在区间a, b内插入内插入n 1个分点个分点 a=x0 x1x2 .xn 1xn=bx1 xi 1 xi xn 1把区间把区间a,b分成分成n个小区间个小区间xi 1,xi,长度为长度为 xi=xi xi 1在每个小区间在每个小区间xi 1,xi上任取一点上任取一点 i i以以xi 1,xi为底为底, f( i)为高的
6、小矩形面积为为高的小矩形面积为Si=f( i) xi曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为 niiixfS1)( 当分割无限加细当分割无限加细,即小区间的最大即小区间的最大长度长度 =max x1, x2,., xn0时时,曲边梯形面积为曲边梯形面积为: niiixfS10)(lim 原型原型2 求变力所作的功求变力所作的功omFxba 设质点设质点m受水平力受水平力F的作用沿的作用沿x轴由轴由点点a移动到点移动到点b若若F是常量是常量,则它对质点所作的功为则它对质点所作的功为:W=F(b a) 若若F不是常量不是常量,而是质点所在位置而是质点所在位置x的连的连续函数续函数F=F(x),
7、如何求对质点所作的功如何求对质点所作的功?(1)分割分割a=x0 x1x2 .xn 1xn=b xi=xi xi 1 Wi=F( i) xi(2)近似求和近似求和 niiiniixFWW11)( (3)取极限取极限 =max x1, x2,., xn niiixFW10)(lim 原型原型3 3 求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程 思路：把整段时间分割成若干小段，每小思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值时间的无限
8、细分过程求得路程的精确值（1）分割）分割btttttann 12101 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）近似求和）近似求和iinitvs )(1 （3）取极限）取极限,max21ntttt iniittvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值 解决问题的方法步骤相同解决问题的方法步骤相同 :“大化小大化小, , 常代变常代变, , 近似和近似和, , 取极限取极限 ” ” 所求量极限结构式相同所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限特殊乘积和式的极限二、二、 定积分的概念定积分的概念分割、近似求和、取极限分割、近似求和、取极限 设函数设
9、函数f(x)在在a,b上有界上有界,用点用点a=x0 x1x2 .xn 1xn=b将将a,b分割成分割成n个个子区间子区间, 各子区间的长度为各子区间的长度为 xi=xi xi 1 (i=1,2,.,n).在每个子区间在每个子区间上任取一点上任取一点 i ( ixi),作乘积作乘积f( i) xi的和式的和式 niiixf1)( 定积分的定义定积分的定义记记 =max xi,当当 0时时, niiixf1)( 的极限存在的极限存在,并且其极限值与并且其极限值与a,b的分法的分法以及以及 i的取法无关的取法无关,则该极限值称为函数则该极限值称为函数f(x)在区间在区间a,b上的上的定积分定积分,
10、记作记作dxxfba )(即即积分号积分号被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量a,b:积分区间积分区间积分积分元素元素积分和积分和积分上限积分上限积分下限积分下限 niiibaxfdxxf10)(lim)( 注意注意:(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关积分值仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的字母无关而与积分变量的字母无关dxxfba )(dttfba )(duufba )(2)定义中区间的分法和定义中区间的分法和 i的取法是任意的的取法是任意的(3)当函数当函数f(x)在区间在区间a,b上的定积分存在上的定积分存在时时,称称f(x)在区间在区间a,b上上可积可积,否
11、则否则不可积不可积Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和各部分面积的代数和A例例1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分dxx 102解解: 将将0,1n等分等分分点为分点为:nixi (i=1,2,.,n)子区间子区间xi 1, xi的长度的长度nxi1 (i=1,2,.,n)取取 i=xi , (i=1,2,.,n) niiixf1)( niiix12 niiixx12 ninni121)( niin12316)12)(1(13
12、nnnn)12)(11(61nn ( 0n)dxx 102 niiix120lim )12)(11(61limnnn 31 三、三、 求定积分过程中的辩证思维求定积分过程中的辩证思维四、四、 可积条件可积条件定理定理1(可积的必要条件可积的必要条件) 若函数若函数f(x)在在a,b上可积上可积,则则f(x)在在a,b上有界上有界.注：注： 无界函数一定不可积无界函数一定不可积有界函数不一定可积有界函数不一定可积定理定理2 (可积的充分条件可积的充分条件) 若若f(x)是闭区间是闭区间a,b上的连续函数上的连续函数,或者是闭区间或者是闭区间a,b上上的单调函数的单调函数,或者是或者是a,b上只有
13、有限个间上只有有限个间断点的有界函数断点的有界函数,则则f(x)在在a,b上可积上可积五、五、 定积分的性质定积分的性质 只有当只有当ab时时,dxxfdxxfabba )()(dxxfba )(说明说明: 在下面的性质中在下面的性质中,假定定积分都存假定定积分都存在在,且不考虑积分上下限的大小且不考虑积分上下限的大小dxxfkdxxkfbaba )()(k为常数为常数)dxxgdxxfdxxgxfbababa )()()()(dxxfdxxfdxxfbccaba )()()(性质性质3(对积分区间的可加性对积分区间的可加性)性质性质2性质性质10)( dxxfba性质性质5 若在若在a,b
14、(ab)上上f(x)0,则则abdxba 性质性质4dxxgdxxfbaba )()(性质性质6(保序性保序性) 若在若在a,b(a0dxxdxex 0202dxxdxex 2020exx例例3 估计积分估计积分 的值的值dxx 03sin31解解:xxf3sin31)( x 0, ,有有0sin3x131sin31413 xdxdxxdx 003031sin31413sin31403 dxx例例4 设设f(x)可导可导,且且 ,求求1)(lim xfx解解:dttfttxxx 2)(3sinlim由积分中值定理知由积分中值定理知,有有 x, x+2,使使dttfttxx 2)(3sin)2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f =6定积分的实质：特殊和式的极限定积分的实质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限小结小结3. 3. 定积分的性质定积分的性质
