1、28.1.2-2淅川县第二初级中学淅川县第二初级中学 李朝林李朝林 你能你能破镜重破镜重圆圆吗？吗？O圆除了是旋转对称图形外，还是轴对称图形圆是什么对称图形？OACBNMD圆是轴对称图形圆是轴对称图形， 经过经过圆心圆心的的每一条每一条直线直线都是它的对称轴。OACBNMD或或： 任意一条任意一条直径所在的直线直径所在的直线都是圆的对称轴都是圆的对称轴。MOACBN 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。MOACBN垂径定理垂径定理： .AAABBBCCCDDDOOOEEE下列图形中,AE=BE吗?为什么?辨一辨辨一辨 如果如果交换垂径定理交换垂径定理的的题设题设和和结论结论的部分
2、语的部分语句句，会有一些什么样的，会有一些什么样的结论呢？结论呢？垂径定理垂径定理： MOACBN探索一探索一：？ (1)平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直）的直径垂直于弦，并且平分弦所径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。对的两条弧。推论推论OABMN一个圆的任意两一个圆的任意两条条直径总是互相平分直径总是互相平分，但是它们不一定互相但是它们不一定互相垂直。垂直。因此这里的弦因此这里的弦如果是直径，结论就如果是直径，结论就不一定成立。不一定成立。推论推论 (1)平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直的直径垂直于弦，并且平分弦所径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。对的两条弧。CDMOACB
3、N探索二探索二： ？(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;MOACBN探索三探索三：？： (3)(3)平分弦所对的一条平分弦所对的一条弧的直径弧的直径, ,垂直平分弦垂直平分弦, ,并且平分弦所对的另并且平分弦所对的另一条弧。一条弧。推论推论 (1)平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)(2)弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心, ,并且平并且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧; ; (3)(3)平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径, ,垂直垂直平分弦平分弦, ,并且平分弦
4、所对的另一条弧。并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及其推论的实质是把垂径定理及其推论的实质是把(1)直线直线MN过圆心过圆心; (2)直线直线MN垂直垂直AB; (3)直线直线MN平分平分AB; (4)直线直线MN平分弧平分弧AMB; (5)直线直线MN平分弧平分弧ANB 中的两个条件进行了中的两个条件进行了四种四种组合组合,分别推出了其余的三个分别推出了其余的三个 结论结论.这样的组合还有这样的组合还有六种六种，由于时间有限，由于时间有限,课堂上未作课堂上未作 进一步的推导进一步的推导,同学们课下不妨试一试同学们课下不妨试一试. 回味引伸回味引伸MOACBN已知：如图，MN、AB是 O的弦
5、，相交于点C。1、如果MN是直径，MNAB,那么 、 、 。2、如果MN是直径,AB非直径， 且AC=BC，那么 、 、 。3、如果MN垂直平分BC，那么 、 、 。4、如果MN是直径， 那么 、 、 。结论巩固结论巩固l例1 如图，在 O中，弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm，求 O的半径。BAOC解:连结OA，过O作OCAB，垂足为C，则AC=1/2AB=4。在RtAOC中，OA=AC2+OC2=5（cm)答： O的半径为5cm.l变式三：若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系式？BAOC变式训练变式训练l变式一：在 O中，直径为10cm，
6、弦AB 的长为8cm，求圆心O到AB的距离。l变式二：在 O中，直径为10cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求弦AB的长。CDABE例例2 2：作法：作法： 连结连结AB.作作AB的垂直平分线的垂直平分线 CD，交弧，交弧AB于点于点E.点点E E就是所求弧就是所求弧ABAB的中点。的中点。已知：已知：AB求作：求作：AB的中点的中点CDABEFG变式一变式一： 求弧求弧ABAB的四等分点。的四等分点。 mnCDABMTEFGHNP错在哪里错在哪里？等分弧时一等分弧时一定要作定要作弧所夹弦弧所夹弦的垂直平分线的垂直平分线。作AB的垂直平分线CD。作ATBT的垂直 平分线EFGHCABE变式二
7、变式二：你能确定你能确定 弧弧ABAB的圆心吗？的圆心吗？mnDCABEmnO你能你能破镜重破镜重圆圆吗？吗？ABACmnO 作作弦弦ABABACAC及它们的垂直平及它们的垂直平分线分线mmn n，交于，交于OO点；以点；以OO为圆为圆心，心，OAOA为半径作圆。为半径作圆。破镜重破镜重圆圆ABCmnO 弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心, ,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。 作图依据：1、 已知：已知：AB、CD是是 O的两条平行弦，的两条平行弦， MN是是AB的垂直平分线。的垂直平分线。 求证：求证：MN垂直平分垂直平分CD。 NMOACDB 圆内圆内平行弦平行弦
8、的垂直平分线是的垂直平分线是互相互相重合重合的的。试一试你的能力试一试你的能力MOBNCD证明证明： MN是是AB的垂直平分线的垂直平分线 MNCD MN平分平分CDAABCD，MNABMN垂直平分垂直平分CD2、判断下列语句是否正确 垂直于弦的直径平分这条弦 （ ） 垂直于弦的直线必平分弦对的两条弧（ ） 平分弦的直径垂直于这条弦（ ） 弦的垂直平分线是圆的直径（ ） 平分弧的直径必平分弧对的弦（ ）课堂小结：课堂小结： 本节课探索发现了本节课探索发现了垂径定理垂径定理的的推论推论,并且运并且运用推论用推论等分弧等分弧。 要分清要分清垂径定理垂径定理的的推论推论的的题设题设和和结论结论,即即已知什么条件已知什么条件,可推出什么结论可推出什么结论. 这是正确理解这是正确理解应用的关键应用的关键; 例例2是基本几何作图是基本几何作图,会通过作会通过作弧所夹弦弧所夹弦的的垂直平分线垂直平分线来来等分弧等分弧.能够体会能够体会转化转化思想思想在这里的运用在这里的运用.独立独立作业作业习题习题P42 3、5。祝你成功！思考题思考题已知点已知点P是半径为是半径为5的的 O内一定点，内一定点，且且OP=4,则过点则过点P的所有弦中，弦长的所有弦中，弦长可能取的整数值为可能取的整数值为
