1、高等流体力学 汪志明教授1/72 第八章 非牛顿流体流动1 2 拟塑性流体在圆管中的层流运动3 宾汉流体在圆管中的层流运动4 粘弹性流体在圆管中的不稳定层流运动5 拟塑性流体在环空中的层流运动6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动高等流体力学 汪志明教授2/721 非牛顿流体的流变特性 任何流动问题的数学描述都建立在力学的一般性原理基础上。这些原理都可以用平衡方程来描述。流体对机械作用的响应不仅依据于这些守恒律，而且取决于该种流体的特性，这种响应称之为物质的应力应变关系（或以流变曲线的形式给出），而这种应力应变关系称之为流体的本构方程或流变模式。尽管物质系统都遵守质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒
2、方程，但现实的问题是守恒方程的数目常少于未知数数目。 严格意义上，一种特定的本构方程只适用于一种假设的模型化的流体。因此本构关系的建立相当于定义一种假设的流体模型，即用一种近似的方法描述某一特定流体的流变行为。pIT高等流体力学 汪志明教授3/721 非牛顿流体的流变特性图9.1 流体的流变曲线对比高等流体力学 汪志明教授4/721.纯粘性非牛顿流体 在双对数坐标系中，拟塑性非牛顿流体的流动曲线斜率小于1，表观粘度随剪切速率增加而减小；胀塑性非牛顿流体的流动曲线斜率大于1，表观粘度随剪切速率增加而增大。 没有一种具有简单形式的本构方程足以描述不同的拟塑性非牛顿流体。在石油工程中被广泛应用的在双
3、对数坐标系中流动曲线为一直线的幂律方程仅适用于有限的剪切速率范围，其经验表达式为: ndrdK 稠度系数、流动指数两个系数均与温度有关。1 非牛顿流体的流变特性无时间依存性的非牛顿流体高等流体力学 汪志明教授5/721 非牛顿流体的流变特性图9.2 原油的稠度系数和流动指数随温度的变化规律无时间依存性的非牛顿流体高等流体力学 汪志明教授6/72 。试确定该流体的流变参数。 1 非牛顿流体的流变特性例例 9-1有一属于假塑性流体的 钻井液，用旋转粘度计测得的流变性实验数据如下：当剪切速率 时， ； ，CMC1250dsdrPa74. 21100dsdrPa25. 1解解 假塑性流体的流变方程可写
4、为ndKdr两边取自然对数lnlnln()dKndr1212lnlnlnlnddndrdr8564. 0n02421. 0K可得 0.85640.02421ddr例题带入已知数据高等流体力学 汪志明教授7/72 在柱坐标系中，幂律流体本构 关系的一种更为精确的表达式为： 显然其表观粘度： 在被验证的范围内，幂律关系式和实验数据吻合的很好，但在剪切速率非常低和非常高时，关系式的精度下降。拟塑性非牛顿流体的流动指数总是小于1，大多数原油、细黏土悬浮液、部分钻井液和清洗液均呈现拟塑性非牛顿流体流动特性。 drddrdKnrz101nadrdK1 非牛顿流体的流变特性无时间依存性的非牛顿流体高等流体力
5、学 汪志明教授8/72 宾汉塑性流体是指在剪切速率超过一有限值后才流动，并且随后其应力应变关系呈现线性关系的一类非牛顿流体。石蜡、沥青、某些钻井液、漂浮在空中的灰尘悬浮液和下水道中排放的污液都属于宾汉流体。宾汉流体的本构方程为: drdy 幂律关系式同样也可以用于描述胀塑性非牛顿流体，只要选择不同的稠度系数和流动指数。胀塑性非牛顿流体的流动指数总是大于1。不规则形状固体颗粒悬浮于液体的稠流体就属于这种流体，其胀塑性随浓度迅速变化，浓度低时可能呈现拟塑性流动特性，浓度高时其可能呈现胀塑性非牛顿流体流动特性。 2.粘塑性非牛顿流体1 非牛顿流体的流变特性无时间依存性的非牛顿流体高等流体力学 汪志明
6、教授9/72图9.3 不同浓度条件下宾汉型钻井液的流动曲线1 非牛顿流体的流变特性无时间依存性的非牛顿流体高等流体力学 汪志明教授10/72 另有三个模型综合了宾汉模型和幂律模型，反映了低剪切速率下流体介于宾汉模型和幂律模型之间的特性：卡森模型，赫谢尔巴克利（Herschel-Bulkley）模型和罗伯逊史蒂夫（Robertson-Stiff）模型。 卡森模型是两参数模型，在油漆、涂料、塑料等领域有所应用，在钻井液中应用较少，其本构方程为：20.50.5yddr1 非牛顿流体的流变特性无时间依存性的非牛顿流体高等流体力学 汪志明教授11/72 在石油工程领域，大部分钻井液和某些原油为带屈服值的
7、拟塑性非牛顿流体，即赫谢尔巴克利（Herschel-Bulkley）流体，其特点是与宾汉流体一样具有屈服值，但当应力超过屈服值时其应力应变关系是非线性的。带屈服值的拟塑性非牛顿流体的本构方程为:drddrdKny11 非牛顿流体的流变特性无时间依存性的非牛顿流体高等流体力学 汪志明教授12/72 不论是牛顿流体、拟塑性非牛顿流体，还是胀塑性非牛顿流体，它们对剪切应力的响应都是瞬时的，流变行为受系统结构影响，平衡结构依赖于剪切速率。剪切速率改变，平衡结构无滞后地随之变化，因此称这种结构的变化为瞬时的、可逆的变化。ndKCdr 罗伯逊史蒂夫（Robertson-Stiff）模型和赫谢尔巴克利（He
8、rschel-Bulkley） 模型同属三参数模型。罗伯逊史蒂夫（Robertson-Stiff）模型将剪切力作为一个参数，其本构方程为：1 非牛顿流体的流变特性无时间依存性的非牛顿流体高等流体力学 汪志明教授13/721.触变性非牛顿流体 另一类广泛存在的依时性非牛顿流体的流变特性对剪切速率变化的响应是滞后的，由于流体结构的变化极其缓慢，因此其变化过程不可逆。某些钻井液和原油就属于这类依时性非牛顿流体。 如果在剪切速率恒定条件下，剪切应力随剪切过程的进行而衰减，那么我们称这种流体为触变性非牛顿流体。 1 非牛顿流体的流变特性有时间依存性的非牛顿流体 稳定的剪切应力值与剪切速率的关系为： 式中
9、 ，该关系式说明一种与时间无关的极限结构状态是稳定的，它可以用于描述在管线中输送几公里后的原油的流变特性。 mssdrdK1m 高等流体力学 汪志明教授14/72 在剪切速率恒定条件下，剪切应力随剪切过程的进行而衰减的规律。随剪切过程进行，剪切应力渐趋于某一稳定值，而其所需的时间随剪切速率增大而增大。 图9.5 在剪切速率恒定条件下，剪切应力随剪切过程的衰减规律1 非牛顿流体的流变特性有时间依存性的非牛顿流体高等流体力学 汪志明教授15/72 原油的触变性对相对较短的输送管线，尤其是油田的地面集输管线是很重要的。在众多描述触变性非牛顿流体的本构关系中，幂律型本构方程是最简单的一种。基于大量的宽
10、范围实验数据，波波克（Bobok）纳瓦弟尔（Navratil）（1982）提出了一种相对简单的流变方程描述触变性原油，他将原油视为流变特性变化的拟塑性流体，剪切应力随剪切速率和一个无因次结构参数而变化，即： ,drdf1 非牛顿流体的流变特性有时间依存性的非牛顿流体高等流体力学 汪志明教授16/72 假设触变性流体的结构完全由依赖于剪切速率和剪切过程的结构参数确定，则方程的物理意义可以从由剪切速率、结构参数和剪切应力三参数正交坐标系中的剪切状态曲面看出。任何剪切条件的变化都遵循剪切状态曲面上的一条曲线。 图9.6 触变性流体的剪切状态1 非牛顿流体的流变特性有时间依存性的非牛顿流体高等流体力学
11、 汪志明教授17/72 等剪切速率过程是不可逆的，它只能沿等剪切速率曲线朝结构参数减小的方向（即触变结构破坏的方向）进行，因为结构破坏的速度远快于结构重建的速度，因此我们可以认为等剪切速率过程是不可逆过程。 等剪切速率过程的另一个重要特征是它具有一条描述极限剪切应力值的稳定流动曲线。当剪切速率恒定时，剪切应力和结构参数都随剪切过程的持续而降低，直至达到稳定的剪切应力值和结构参数值，即等剪切速率曲线不能穿过稳定流动曲线。1 非牛顿流体的流变特性有时间依存性的非牛顿流体高等流体力学 汪志明教授18/72图9.7 触变性流体的流动曲线 实验结果表明稠度系数随结构参数而变，但流动指数不变。稳定流动曲面
12、被等剪切速率曲线和等结构参数曲线从不同方向穿过，穿越点C的剪切速率值是评价等结构参数时任意一条流动曲线的稠度系数的重要参量。1 非牛顿流体的流变特性有时间依存性的非牛顿流体高等流体力学 汪志明教授19/72cncmcsscdrdKdrdKnmcsdrdKKnnmcsdrddrdK 等结构参数时任意一条流动曲线与稳定流动曲线相交于C点，显然有下式成立： 沿等结构参数曲线，稠度系数和流动指数为常数，即当结构参数不变时，触变性流体实际上呈现拟塑性流体的流变特征，即：ndrdK当 时，cdrddrd 某一给定的剪切速率值处剪切应力可能小于稳定的剪切应力值。 cdrddrd0当 时， 则流变过程是可逆的
13、，即不论何时改变剪切速率，测量得到的剪切应力都将落在曲线上。 1 非牛顿流体的流变特性有时间依存性的非牛顿流体带入高等流体力学 汪志明教授20/72drdmncmnmsedrddrddrdK11 当剪切速率增至某一更高值P点时，该P点瞬时获得的剪切应力值将落在同样一条流变曲线上，因为触变性结构没有变化。但从即刻起，触变结构开始改变，剪切状态将沿等剪切速率曲线达到稳定流动曲线C点，相应的结构破坏过程中剪切应力为：1 非牛顿流体的流变特性有时间依存性的非牛顿流体 当管径增大或流量减小导致剪切速率减小时，剪切应力是稳定的，但小于稳定剪切应力值。当管径减小或流量增大导致剪切速率增大时，剪切应力为结构破
14、坏起始时的应力值其大小由（9.15）式确定。 高等流体力学 汪志明教授21/722.振凝性非牛顿流体 假如流体在等剪切速率条件下剪切应力随剪切时间而增大，那么我们称之为振凝性流体。最常见的实例就是鸡蛋白。尽管振凝性流体作为压裂液是有用的，但与触变性流体相比，振凝性流体不太常见。1 非牛顿流体的流变特性有时间依存性的非牛顿流体高等流体力学 汪志明教授22/721 非牛顿流体的流变特性粘弹性非牛顿流体1. 爬杆现象图9.8 威森贝格（Weissenberg）效应试验 粘弹性流体是指剪切应力同时依赖于剪切速率和变形程度的非牛顿流体。既具有与时间有关的非牛顿流体的全部流变性质又具有部分弹性恢复效应的物
15、料的性质。从某种意义上讲，所有液体都具有粘弹性，尤其在很高的剪切速率下流动的情况。 高等流体力学 汪志明教授23/722. 挤出胀大现象图9.9 挤出膨胀对比图1 非牛顿流体的流变特性粘弹性非牛顿流体高等流体力学 汪志明教授24/723. 同心套管轴向流动现象图9.10 同心套管流动试验图1 非牛顿流体的流变特性粘弹性非牛顿流体高等流体力学 汪志明教授25/724. 回弹现象 被拉长的弹簧突然松开时会立即缩回原来的长度，即回弹现象。牛顿流体只有粘性而无回弹现象。粘弹性流体有弹性和衰退记忆两种效应。具备弹性使它区别于牛顿流体，有衰退记忆使它区别于弹性固体。5. 无管虹吸现象图9.11 虹吸现象对
16、比图1 非牛顿流体的流变特性粘弹性非牛顿流体高等流体力学 汪志明教授26/726. 次级流现象图9.12 牛顿流体次级流 图9.13 粘弹性流体次级流 1 非牛顿流体的流变特性粘弹性非牛顿流体 盛有牛顿流体（如图9.12）和粘弹性流体（如图9.13）的烧杯中，旋转紧贴在液面上的圆盘，产生的主流方向沿周向，且近圆盘处液层周向速度最大，越接近杯底液层流速越低，杯底处液层流速为零。圆盘旋转引起的二次流方向如图所示，两烧杯中二次流方向相反。牛顿流体的次级流方向可用离心效应解释，而粘弹性流体的二次流方向尚未得以解释。其它运动状态下，粘弹性物料也会产生不同于牛顿流体的次级流现象。高等流体力学 汪志明教授2
17、7/72 马克斯韦尔（Maxwell）提出了一种描述粘弹性流体的最简单的本构方程。他认为这种粘弹性流体的剪切速率等于粘性剪切速率和弹性剪切速率之和： dtdEdrddrddrde10, 0 0tdtdEEte0 当速度梯度由起始常数值突然降至零时，上述方程则为：drddtdEdrde11 非牛顿流体的流变特性粘弹性非牛顿流体高等流体力学 汪志明教授28/72图9.14 粘弹性松弛图1 非牛顿流体的流变特性粘弹性非牛顿流体高等流体力学 汪志明教授29/72 1963年怀特（White）和曼兹纳（Metzner）提出了或许是最切合实际的描述粘弹性流体的本构方程，其张量形式为：tVESVa 2 对一
18、维稳定层流运动而言，怀特曼兹纳（White-Metzner）本构方程即为：drdarzarzrzrrzzEdrdE2220rr1 非牛顿流体的流变特性粘弹性非牛顿流体高等流体力学 汪志明教授30/721 非牛顿流体的流变特性粘弹性非牛顿流体 流变仪测量结果和射流膨胀现象证明了怀特曼兹纳（White-Metzner）本构方程是正确的。图9.15给出了法向应力差和剪切应力随剪切速率变化的规律。有意义的是在低剪切速率时法向应力差和剪切应力相当，而在高剪切速率时，法向应力差高出剪切应力一个数量级。 图9.15 法向应力差与剪切应力关系图 高等流体力学 汪志明教授31/72 第八章 非牛顿流体流动1 非
19、牛顿流体的流变特性2 3 宾汉流体在圆管中的层流运动4 粘弹性流体在圆管中的不稳定层流运动5 拟塑性流体在环空中的层流运动6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动高等流体力学 汪志明教授32/72 考察一个如图所示的具有等截面积的倾斜直圆管。不可压缩的拟塑性流体在其中做一维的稳定层流运动 。图9.16 拟塑性流体倾斜圆管流动在柱坐标下的微元体图2 拟塑性流体在圆管中的层流运动高等流体力学 汪志明教授33/722 拟塑性流体在圆管中的层流运动FdAnVVdvVdtcsrcv102212212lhhglrrlpprrz1nrzddKdrdr02ndrdKgJr 再由拟塑性流体的本构方程知： 并考虑到管道中
20、沿径向速度是递减的，因此切应力方向与流动方向相反，因此有：进一步整理动量方程可得：nrzdrdK由动量方程：高等流体力学 汪志明教授34/722 拟塑性流体在圆管中的层流运动11112nnnngJRrRnKR 积分上式可得管道中拟塑性流体的速度分布为： nnnRKgJnnC1121lhhglppJ2121式中水力坡降为： 由壁面粘附条件（即壁面速度为零）可得积分常数为：高等流体力学 汪志明教授35/722 拟塑性流体在圆管中的层流运动20gJR流量：最大流速：1302312RnngJRQr drRnK RKgJRnnRQn122131max31121nngJRnRnKnnnRrnn11113
21、若取平均速度为参考速度，则无因次速度为：壁面切应力： 平均流速： 高等流体力学 汪志明教授36/722 拟塑性流体在圆管中的层流运动 若流动指数取1，即牛顿流体，则由图可知速度分布为我们所知的抛物面。随流动指数由1逐渐增大（即胀塑性流体），速度分布变的越陡，逐渐趋于一条斜直线。 图9.17 拟塑性流体流动的无因次速度分布图高等流体力学 汪志明教授37/722 拟塑性流体在圆管中的层流运动以平均流速表示的水头损失： nnnhlnngRKLJLh1321gDLhhl222648ReRe62nnnppDnKn若将上式写成：则摩阻系数为： 对比牛顿流体运动方程中粘性应力的计算，我们可以给出拟塑性流体雷
22、诺数的表达式：nnnnnDK26822RennpDK 另一种定义雷诺数的方法是参考牛顿流体：高等流体力学 汪志明教授38/722 拟塑性流体在圆管中的层流运动图9.18 摩阻系数与雷诺数关系图 图中给出了不同流动指数下雷诺数与摩阻系数间的相互关系。当剪切速率很低时，采用幂律流体本构方程描述粘塑性流体是不合适的，因为管中心处速度梯度趋于零，由此计算出的管中心位置附近的各物理量精度不够。同时由于管中心附近位置的剪切应力也趋于零，因此由此造成的能量耗散可以忽略不计，采用幂律流体本构方程计算出的摩擦系数和水头损失也能满足工程精度。 高等流体力学 汪志明教授39/72 第八章 非牛顿流体流动1 非牛顿流
23、体的流变特性2 拟塑性流体在圆管中的层流运动3 4 粘弹性流体在圆管中的不稳定层流运动5 拟塑性流体在环空中的层流运动6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动高等流体力学 汪志明教授40/72 由第二节可知，任何流体在圆管中的稳定层流运动均满足同样的动量方程，即 考虑到圆管中沿径向流体速度递减，因此宾汉流体的本构方程为：3 宾汉流体在圆管中的层流运动 由宾汉流体的流变曲线可知，流体必须克服其屈服应力才能运动，因此圆管中宾汉流体运动由两部分组成：圆管中心附近的流体以均匀速度做刚体般的整体运动；圆管与匀速刚体流体间的环形空间中的流体做剪切流动。圆管中间均速刚体流体的半径可由下式确定 ：02rzgJrgJr
24、y20drdyrz高等流体力学 汪志明教授41/72RrrCrgJry02 ,4RrrrRrRgJy022 ,4 积分上述动量方程，我们就可得环形空间中宾汉流体的剪切流动的速度分布为： 进一步由壁面粘附条件可求得上式中的积分常数为： 所以概括起来，宾汉流体在圆管中的稳定层流运动的速度分布为：RgJRCy423 宾汉流体在圆管中的层流运动 高等流体力学 汪志明教授42/72 若取圆管中牛顿流体稳定层流运动时的最大速度为参考速度，图9.19给出了不同无因次屈服应力与壁面应力比值条件下，圆管中宾汉流体在等水力坡降条件下运动时无因次速度随无因次径向距离的变化规律。 从图中可看出，随屈服应力与壁面应力比
25、值增大，圆管中均速运动的刚体半径增大，而其速度随之减小。图9.19 宾汉流体的无因次速度与无因次距离关系图3 宾汉流体在圆管中的层流运动 高等流体力学 汪志明教授43/72RrrdrrQ00202304021318RrRRrgJRy22DLgJLp4443434144pDLpDLLpDgRdrdyyLpDgJRdrdRryR42 圆管中宾汉流体的流量也由均速运动的刚体运动的流量和环形空间中剪切流动的流量两部分组成，即： 相应地可计算出平均流速、平均剪切速率为： 因此，水平圆管中宾汉流体的压力降为： 考虑到以压力降表示的平均剪切速率（宾汉方程）、壁面剪切应力分别为：3 宾汉流体在圆管中的层流运动
26、 高等流体力学 汪志明教授44/72431341164RyRyD则求得摩阻系数为：HefDDfyRe,2222 ReDHeDy 式中： 1952年赫得斯托罗姆（Hedstrom）运用无因次分析原理得出宾汉流体在圆管中稳定流动的摩阻系数是实际雷诺数和赫得斯托罗姆（Hedstrom）雷诺数的函数，即：3 宾汉流体在圆管中的层流运动 高等流体力学 汪志明教授45/72 图中曲线告诉我们一个重要的结论：随赫得斯托罗姆（Hedstrom）雷诺数增大，宾汉流体在圆管中由层流转捩为湍流的临界雷诺数要比牛顿流体在圆管中流动时的临界雷诺数着实大的多。图9.20 摩阻系数同雷诺数的关系图3 宾汉流体在圆管中的层流
27、运动 高等流体力学 汪志明教授46/72 最适合计算宾汉流体在圆管中做稳定层流运动时压力降的公式是宾汉（Buckingham）方程。首先设定某一个压力降值，并在已知宾汉流体屈服值和粘度条件下逐步计算出圆管中的速度分布和平均剪切速率，这样就得到一组压力降和平均剪切速率，然后插值求得实际压力降。当然也可以直接用牛顿烈佛逊法（Newton-Raphson）方法解四次一元方程宾汉方程。nydrdKnyKKgJrdrd12 对带屈服值的拟塑性流体，其本构方程为： 将其代入动量方程，并考虑到沿径向速度递减的事实，则动量方程改为： 3 宾汉流体在圆管中的层流运动 高等流体力学 汪志明教授47/72 显然，当
28、流动指数取1时，上述的平均剪切速率公式就简化为宾汉流体的宾汉（Buckingham）方程。由上式计算出的压力降总是小于宾汉流体时的压力降，为简单起见，我们可以用宾汉（Buckingham）方程计算出带屈服值的拟塑性流体在圆管中的压力降，但计算值比实际值略高。nnynnyKKgJrKKgJRgJKnn112212nnnnLpDnnLpDKLpDLpDgRdrdyyyynnny112421344422131利用壁面粘附条件（壁面速度为零），可进一步求得带屈服值的拟塑性流体在圆管中做稳定层流运动时的速度分布和类似于宾汉（Buckingham）方程的平均剪切速率公式为：nnynnyKKgJrKKgJR
29、gJKnn112212nnnnLpDnnLpDKLpDLpDgRdrdyyyynnny1124213444221313 宾汉流体在圆管中的层流运动 高等流体力学 汪志明教授48/72 第八章 非牛顿流体流动1 非牛顿流体的流变特性2 拟塑性流体在圆管中的层流运动3 宾汉流体在圆管中的层流运动4 5 拟塑性流体在环空中的层流运动6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动高等流体力学 汪志明教授49/724 粘弹性流体在圆管中的不稳定层流运动 因为弹性力并未出现在等直径圆管中粘弹性流体的稳定层流流动动量守恒方程中，因此其压力损失仅受流体粘性影响，实验数据也表明等直径圆管内粘弹性流体的稳定层流流动的压力损失不
30、受流体影响，所以可以将等直径圆管内粘弹性流体的稳定层流流动当作纯粘性流体流动处理（牛顿流体或拟塑性流体）。但是，在快速振荡流动中粘弹性流体作用特别重要。为此，我们下面考虑马克斯韦尔（Maxwell）模型流体在圆管中做层流流动时流量与压力降的关系。高等流体力学 汪志明教授50/72drddtdE0z0r0rrrzpt1011zrrrrzrzrrrrzpgzrrtzzzrzzzzzzrz1111 并考虑到轴对称性，忽略质量力，则动量方程改为： 若取柱坐标系，并假定只有轴向速度，即： 当马克斯韦尔（Maxwell）流体在圆管内作速度很小的层流流动时，其本构方程为： 将上述速度分量代入下列柱坐标系中的
31、连续性方程和动量方程：4 粘弹性流体在圆管中的不稳定层流运动高等流体力学 汪志明教授51/72tie0tie0tiepzp0drdEi1000111pEidrdrdrdrEii00,0r0,0rR 若剪切应力、速度和压力梯度等流动参数按下列关系式周期性变化。 将改写后的本构方程代入动量方程，则有： 将改写后的本构方程代入动量方程： 积分上式，并利用下列边界条件：4 粘弹性流体在圆管中的不稳定层流运动高等流体力学 汪志明教授52/72 式中 为零阶贝塞尔函数， 为贝塞尔方程的连续根。利用速度分布求得流量为： 式中 为一阶贝塞尔函数，若将贝塞尔函数按级数展开，并考虑到 ，则流量为：RJrJip00
32、001RRRJRJiRprdrQ0012000212求解动量方程得：0J1J1EtEREtpRQsin61cos82204式中括弧内第一项为弹性项，第二项为惯性项。 4 粘弹性流体在圆管中的不稳定层流运动高等流体力学 汪志明教授53/72 第八章 非牛顿流体流动1 非牛顿流体的流变特性2 拟塑性流体在圆管中的层流运动3 宾汉流体在圆管中的层流运动4 粘弹性流体在圆管中的不稳定层流运动5 6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动高等流体力学 汪志明教授54/725 拟塑性流体在环空中的层流运动图9.21 拟塑性流体在环空中流动 在钻井和完井作业中，存在着钻井泥浆或水泥浆在井壁与钻杆的环形空间中的流动，由
33、于大多数钻井泥浆属于拟塑性流体或触变拟塑性流体，因此研究环形空间中拟塑性流体流动规律的意义是显而易见的。高等流体力学 汪志明教授55/720 0 0zr柱坐标系中的动量方程为:11()0zrrrrrz 下面我们来考察无限长的同心圆管间的环形空间中不可压缩拟塑性流体自上而下的稳定层流运动。柱坐标系如9.21图所示，流动方向与同心轴正向相同，因此速度分量为：5 拟塑性流体在环空中的层流运动高等流体力学 汪志明教授56/722()11 11 ()rrrrrzrrrzrrtrrzrrpgrrrrzr22()1111 ()rrzrztrrzrrpgrrrz ()11 11 ()zzzzrzzrzzzzt
34、rrzrpgzrrrz5 拟塑性流体在环空中的层流运动高等流体力学 汪志明教授57/720rzrdrdgJr1202nrddgJrKCdrdrmax0 0drrdr 220rgJC1202nrddgJrdrdrKr这样就可进一步求得积分常数为： 因此环形空间中拟塑性流体满足的动量方程可改写为： 将拟塑性流体的本构方程代入，并对上式积分一次可得： 考虑到速度分量的取值，因此动量方程简化为：考虑到最大流速处剪切速率为零，即：5 拟塑性流体在环空中的层流运动高等流体力学 汪志明教授58/72 与圆管中拟塑性流体运动时情况不同的是环形空间中存在两个不同符号的剪切速率区域，一个是最大速度点与内壁面间区域
35、，另一个是最大速度点与外壁面间区域。前者内剪切速率为正值，后者内剪切速率为负值，因此下面我们分两个区域来考察拟塑性流体的流动规律。 首先考察剪切速率为正值的流动区域。我们注意到该区域内速度梯度大于零，任一点的半径都小于最大流速处的半径，因此该区域内的动量方程为：12202nrrdgJdrKr5 拟塑性流体在环空中的层流运动高等流体力学 汪志明教授59/72111220brarrrn0111212011rrrrran1001121201rrrrrrbn1222201101110122nrrrrgJrrrKrrr 考虑到上式右边是单调函数，因此可以用线性插值函数来取代，即： 利用内壁半径值和最大流
36、速处半径值，即可求得上式中的待定常数： 所以积分动量方程，并考虑到利用内壁面粘附条件求得积分常数，因此最后求得的速度分布为： 5 拟塑性流体在环空中的层流运动高等流体力学 汪志明教授60/7212202nrrdgJdrKr 221202brarrrn0212202221rrrrran200220222rrrrrrb 进一步利用外壁半径值和最大流速处半径值，即可求得上式中的待定常数： 同样地，我们可用插值函数来取代上式右边的单调函数，即： 其次考察剪切速率为负值的流动区域，该区域内速度梯度小于零，任一点的半径都大于最大流速处的半径，因此该区域内的动量方程为：5 拟塑性流体在环空中的层流运动高等流
37、体力学 汪志明教授61/721222220202220122nrrrrgJrrrKrrr11222201012020max122222nnrrrrrrrrgJgJKrKr 在上述两个剪切流动区域的速度计算公式中，利用最大流速处的速度匹配条件可以解出最大流速处的半径，即： 所以积分动量方程，并考虑到利用外壁面粘附条件求得积分常数，因此最后求得的速度分布为：5 拟塑性流体在环空中的层流运动高等流体力学 汪志明教授62/720210102222rrnrrgJQr drr drCK 1332222222440010 101101010101101332222222440200 220220200222
38、0183241 8324nnrrrr r rrrrrrrrrCrrrrrrr rrrrrrrrrrrrr式中： 规律后，我们就很容易计算出通过圆管截面的流量是：5 拟塑性流体在环空中的层流运动高等流体力学 汪志明教授63/72 进一步可得平均流速、水力坡降和水头损失分别为：10222122nCgJrrK2221022nnrrKJgC2221022nnrrKLhgC2212122122rrrrrrrh242hLhrg 考虑到威斯巴赫（Weisbach）摩阻公式： 对于流体在非圆截面的管道中的运动，我们采用水力半径的概念，因此环空截面的水力半径为：2222121082nnKrrrrC64Re 因此
39、可得摩阻系数和雷诺数为： 5 拟塑性流体在环空中的层流运动高等流体力学 汪志明教授64/72 第八章 非牛顿流体流动1 非牛顿流体的流变特性2 拟塑性流体在圆管中的层流运动3 宾汉流体在圆管中的层流运动4 粘弹性流体在圆管中的不稳定层流运动5 拟塑性流体在环空中的层流运动6 高等流体力学 汪志明教授65/726 非牛顿流体在圆管中的湍流运动 对于任何非牛顿流体流动，当雷诺数超过临界雷诺数时，流动就从层流转捩为湍流运动。实验数据表明，不同流体流动时的临界雷诺数值有微小差别。拟塑性流体流动时的临界雷诺数为：21326464Re12nnnnnc图9.22 不同n值拟塑性流体的临界摩阻系数 高等流体力
40、学 汪志明教授66/72 下面我们考察拟塑性流体在无限长圆管中的一维稳定轴对称湍流流动，该流动的动量方程为：102nxzgJrddKdrdr 根据拟塑性流体在无限长圆管中的一维稳定轴对称湍流流动的流动特征，将其流动分为两个流动区域：一个是管壁附近的厚度很小的粘性层流低层，一个是粘性相比湍流附加切应力可以忽略的湍流核心流动区域。 在粘性层流低层内，剪切应力均匀分布，等值于壁面剪切应力，则其动量方程为：02ngJRdKdr12nddrK 或改写为6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动高等流体力学 汪志明教授67/7212*2gJR12* 0 nnnRrrK42222/ 2/ddrgJrkrRddrmax
41、*1ln 1rrkRR式中摩擦速度为： 积分上式可得湍流核心区域的无因次速度分布规律为： 在湍流核心区域，依据卡门混合长度理论得动量方程： 积分上式得粘性层流低层内线性的速度分布规律：6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动高等流体力学 汪志明教授68/7212max*11ln 11nnnr RkRRK 1211RRRRR2ln211ln11ln12max*11 lnnnKkD 将上述近似关系式代入速度匹配关系式，可得无因次最大速度： 考虑到粘性低层厚度相比圆管半径为无穷小量，因此有下列近似关系式：6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动 根据粘性低层与湍流核心区域交界处的速度匹配条件，即：高等流体力学 汪志
42、明教授69/72 因此，我们也可按拟塑性流体在圆管中做层流流动时的雷诺数定义式来定义粘性低层边界处的雷诺数，即：将上式代入最大速度计算式，有：*Re.Const 2*Re.628nnnConstKnn 21*ReRennnD 对比第二节讨论拟塑性流体在圆管中的层流流动时用平均流速定义的雷诺数，我们有：12max*lnReRe1162ln Re18nnnnkknn 从上式看出，要想求出最大速度，必须先求出粘性低层的厚度。我们知道对于牛顿流体在圆管中的层流流动，普朗特假设粘性低层外边界处的雷诺数为常数，即：6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动高等流体力学 汪志明教授70/72 我们要注意的是，上式中有
43、粘性低层边界处的雷诺数和卡门系数两个未知数。同样地我们也可得到速度分布规律和平均流速分别为：12*lnReRe11162ln 1ln Re18nnrrnkRRnkknnmax*1254125k12*lnReRe11 13762ln Re608nnnnkknnnnnnnknknn227532. 08Re263535. 0Reln283. 21Relg8141. 01121或按照摩阻公式，我们可得摩阻系数为：6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动高等流体力学 汪志明教授71/72121126.876lg Re0.7075.233 1.5112.121nnnnnKD715. 3lg21 因此摩阻系数的最终表达式为： 粗糙管内拟塑性流体湍流流动时的摩阻系数为：Re12.087 0.407k 1978年纳瓦弟尔（Navratil）根据实验测量结果得到粘性低层边界处雷诺数和卡门系数与牛顿流体一样，分别为：6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动高等流体力学 汪志明教授72/72 1981年西拉斯（Szilas）, 波波克（Bobok）和纳瓦弟尔（Navratil）获得了水力光滑区和完全粗糙区间的转捩区域的摩阻系数表达式，即BNS方程为：Dknnn715. 3Re10lg2122126 非牛顿流体在圆管中的湍流运动
