1、 知识点梳理知识点梳理1、列方程解应用题的方法 （1）综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程，这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。 （2）分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，进而列出方程，这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。2、列方程解应用题的步骤：（1）分析题意，弄清已知条件和所求问题；（2）根据分析设定未知数； （3）利用等量关系列出方程；（4）求解方程；（5）将结果代回原题检验，答。典型例题精讲典型例
2、题精讲 （ 生活中问题）例例1. 有两根绳子，第一根长56cm，第二根长36cm,同时点燃后，平均每分钟都烧掉2cm,多少分钟后，第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍。解析解析 解：设X分钟后第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍。 56-2X=3(36-2X) X=13 答：13分钟后第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍。趣味数学趣味数学例例2. 同学们参加野炊，一位同学到负责后勤的老师领碗，老师问他领多少，他说领55个，又问他多少人吃饭，他说一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗，问这名同学给多少人领碗？解解 答答 解:设这名同学给X个同学领碗. X=30 答：这名同学给30个同学领
3、碗。5532XXX55611X 鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题例例3. 鸡兔同笼，鸡比兔多10只，共有脚110只，求鸡兔各有几只？解解 析析方法一方法一： 鸡比兔多10只，假设兔加上10只就和鸡一样多了，这样要加上40只脚，总共150只脚。然后一对一配对，每对里有一只鸡和一只兔子，共6只脚。共配了多少对，就求出鸡的只数了。 解： （110+104）（4+2）=25（只）鸡 25-10=15（只） 兔 答：鸡有25只，兔有15只。解答解答 方法二：方法二：用方程做 解设：有X只兔，有鸡（X+10）只。 4X+ 2(X+10)=110 6X=90 X=15 15+10=25(只) 答：鸡有25只，兔有1
4、5只。 行程问题行程问题例例4.甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，4小时相遇，甲车再开3小时到达B城。已知甲车每小时比乙车每小时快20千米。A、B两地相距多少千米？解析解析 解设：乙的速度每小时行驶X千米，甲的速度是（X+20)千米。 4 X= 3（X+20) （60+20）（4+3）=560千米 X=60 答：AB两地相距560千米。 工程问题工程问题例例5.一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天，如果两人合做，他们的工作效率就要降低，甲只能完成原来的五分之四，乙只能完成原来的十分之九。现在要求8天完成这项工程，两人合做的天数尽可能少，那么两人要合做多少天？解析解析甲的工作效率=11
5、0= ，合做后的工效= 乙的工作效率=115= ，合做后的工效= 效率和= 解设：合做X天，甲单独做（8-X）天。 答：两个人合做要用5天。101503109151252541011515075032521)8(101507XX5X例例6. 设有六位数1abcde,乘3后，变为abcde1,求这个六位数。 数论问题数论问题解解 答答 解设：abcde五位数为X。 3（100000+X）=10X+1 X=42857 答：这个六位数是142857。平面几何平面几何例例7.如右图，以直角三角形ABC的两条直角边为直径作两个半圆，已知这两段半圆弧的长度之和是37.68厘米，那么三角形ABC的面积最大是
6、多少平方厘米？（取3.14）解答解答解设：直角边长为X和Y,则弧长为： X2+Y2=37.68 （X+Y）2=37.68 X+Y=24（厘米）当X=Y时乘积最大 即X=Y=12（厘米） 三角形面积=12122=72（平方厘米） 答：三角形面积是72平方厘米。典型例题精讲典型例题精讲例例1.如图所示，平行四边形ABCD的面积是40平方厘米，求图中阴影部分的面积。 解析解析 连辅助线BD, SOBD和SOBC是等底等高的三角形，面积相等，是平行四边形面积的一半。 S阴4022=10（平方厘米）例例2.如图，正方形ABCD和正方形EFGC并排放置，BF和EC交于H点，已知AB=4厘米，EF=6厘米，
7、则阴影部分的面积是多少平方厘米？解析解析连接DF,三角形DGH的面积等于三角形DFH的面积，原来阴影部分的面积等于三角形BDF的面积。S大正=66=36（平方厘米）S小正=44=16 36+16=52 （平方厘米）SABD=162=8（平方厘米） SEFD=（ 6-4）62=6（平方厘米） SBFG=（4+6）62=30（平方厘米） S阴=52-8-6-30=8（平方厘米）例例3. 如图，四边形ABCD是长方形，EC=2DE，F是DG的中点，G是BC中点，阴影部分的面积是20平方厘米，则长方形ABCD的面积是_。 解析解析连接CF , F是中点，SCFG=SCFD, SBDF=SBFG,G是B
8、C中点，SCFG=SBFG=SCFD=SBDF,DE:EC=1：2，SDEF:SCFE=1：2，SCFG:SEFC=3:2, SCFG=2053=12（平方厘米） S长=1242=96（平方厘米）例例4.在三角形ABC中，三角形AEO的面积是1，三角形ABO面积是2，三角形BOD的面积是3，则四边形DCEO的面积是多少？解析解析连接OC，把DCEO分成两个三角形ECO和DCO设ECO面积为x，DCO面积为y由条件知，EO：OB1：2， AO：OD2：3则（AEO+ECO）:DCO2 :3ECO：（DCO+BOD）1:2即： x：(y+3)=1：2 (x+1)：y=2：3 解得：x=9, y=1
9、5所以DCEOx+y24例例5. 已知E为边长AD的中点,正方形的边长为8厘米，P是CE的中点，求阴影部分的面积。解析解析连结BE,三角形BCE的面积=正方形面积的一半=882=32（平方厘米）SBPC的=SBCE2=16（平方厘米） SCDE=842=16（平方厘米）SPDC 的面积=SCDE2=8（平方厘米） S阴=S正2-16-8=8（平方厘米） 例6.如图ABC是一个等腰直角三角形，AB=BC=10，求图中阴影部分的面积。（单位：分米）解析我们做辅助线。做AE垂直AB,EC平行AB,得到正方形ABCE。S半圆=553.142=39.25（平方厘米）S正=1010=100（平方厘米）SA
10、DE=10152=75（平方厘米）S阴=（39.25+100-75）2=32.125（平方厘米）例例7. 如图，已知长方形ABCD的面积是54平方厘米，BE=2AE，CF=2BF，则四边形ACFE的面积是多少平方厘米？解析解析SABC=542=27连接CE。因为AE:EB=1：2，所以：SACE:SBCE=1：2，SACE=273=9(平方厘米),SBCE=27-9=18(平方厘米)因为BF:FC=1：2，所以SBEF:SCEF=1：2，SCEF=1832=12(平方厘米)SACFE=9+12=21(平方厘米)课后作业课后作业如图，正方形ABCD的边长是4厘米，长方形DEFG的顶点G在BC边上
11、，则长方形的面积为多少平方厘米？典型例题精讲典型例题精讲例1. 下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。解析 同学们请看图，我们将图形进行割补。 把阴影部分割补成四个半圆形和一个正方形， 求出阴影部分面积就可以了。 2S圆=553.142=157（平方厘米） S正=（52）（52）=100（平方厘米） S阴=157+100=257（平方厘米）例例2.求图中阴影部分的面积解 析在图中分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。如右图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的
12、面积，55=25。例例3.求图中阴影部分的面积解析解析如图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 解： 444-442=4.56。例4. 在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见下图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。解解 析析从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角形拼成一个长方形见右图。显然，阴影部分正好是长方形的三分之一，所以原题阴影部分占整个图形面积的三分之一。还可以拼成
13、一个平行四边形或将其分成9个三角形。例例5. 如下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。解析解析因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形，图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（99-55）4=14（平方厘米）。例例6.ABC是三个圆的圆心，圆的半径都是10分米，求阴影部分的面积。解析解析 我们用割补法，将阴影部分割补成一个半圆形，求出阴影部分面积就可以
14、了。 S半圆=10103.142=157平方分米 例例7.如图所示，空白部分占正方形面积的几分之几？ 解解 析析 将阴影割补成一个长方形，正好占正方形面积的一半。例例8.求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。解析解析看图，我们用割补法，阴影部分的面积等于扇形的面积减去空白三角形的面积。 S扇=443.144=12.56（平方厘米）S=4422=4（平方厘米）S阴=12.56-4=8.56（平方厘米）例例9.如图，圆O的直径是8厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？解析解析 我们用割补法。看图，阴影部分的面积就是扇形的面积减去正方形的面积。S扇=883.144=50.24（平方厘米）S正=882=
15、32（平方厘米）50.24-32=18.24（平方厘米） 答：阴影部分的面积是18.24平方厘米。课后作业课后作业 以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。典型例题精讲典型例题精讲例例1. 图中两块阴影部分的面积相等，三角形ABC是直角三角形，BC是直径，长20厘米，计算AB的长度。解解 析析 解：三角形ABC的面积与半圆形的面积相等 半径=202=10厘米 10103.142 =3142 =157（平方厘米） 所以AB的长为： 157220=15.7（厘米） 答：AB的长是15.7厘米 例例2.如图所示，平行四边形ABCD的边长BC为1
16、0厘米，直角三角形BCE的直角边EC为8厘米，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求CF的长。 解析：解析： 因为CF是平行四边形的高，要想求出CF的长，我们只要求出平行四边形的面积就可以了。根据已知条件，我们可以求出三角形的面积。三角形的面积加10就是平行四边形的面积。 解：S平=10 8 2+10=50（平方厘米） CF=50 10=5（厘米） 答：CF长5厘米。 例例3.如右图，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等。求扇形所在的圆面积。 解析 我们将图甲和图乙放大，同样加上一个空白，就可以得到三角形和一个扇
17、形。因为甲和乙的面积相等，所以，三角形的面积和扇形的面积相等。SABC=10102=50（平方厘米）。 S扇=508=400（平方厘米） 答：扇形所在的圆面积是400平方厘米。例例4.如图A与B是两个圆（只有四分之一）的圆心。那么，两个阴影部分的面积相差多少平方厘米？（单位：厘米）解析解析 长方形的面积=阴影1+空白，扇形的面积=阴影2+空白+S小扇。 所以，阴影2+空白=S大扇-S小扇， 阴影部分的差=（阴影2+空白）-（阴影1+空白） S长=24=8(平方厘米) S小扇=223.144=3.14(平方厘米) S大扇=443.144=12.56(平方厘米) 12.56-3.14=9.42(平
18、方厘米) S阴差=9.42-8=1.42(平方厘米)例例5.如图所示，扇形ABD的半径是4厘米，阴影部分比阴影部分大6.56平方厘米，求直角梯形ABCD的面积。解析解析如果求出BC的长度，根据梯形面积公式就可以求出梯形的面积。根据放大法，图比图大6.56平方厘米，扇形DAB的面积比三角形ABC的面积大6.56平方厘米。S扇=443.144=12.56（平方厘米）SABC=12.56-6.56=6（平方厘米）BC=624=3（厘米）S梯=（4+3）42=14（平方厘米）例例6. 图中BOA90，以AO为直径画半圆交OD于E。如果图中的面积为1平方厘米，求阴影部分的面积。解析解析 大圆的半径OA是
19、小圆的直径，即小圆与大圆的直径比为1：2，则小圆与大圆的面积比为：1:4 小圆半圆的面积就是大圆面积的：1/41/21/8。 大圆中圆心角为45度的扇形OAD的面积也是大圆面积的1/8。 S扇OAD=S半圆，如果从这两个图形里都减去不规则的OAE（空白部分），剩下部分图形面积一定也相等。即所求阴影部分面 积就等于图中的面积为1平方厘米。例例7. 图中平行四边形的长边是6厘米，短边长是3厘米，高是2.6厘米，求阴影部分的面积。解析观察图，是由2个半径6厘米的扇形、2个半径3厘米的扇形和一个平行四边形组合而成的。阴影部分是以O为圆心大扇形OAB与以D为圆心的小扇形DAC的重叠部分，分解图形可得，阴
20、影部分和的面积和就等于这两个扇形的面积和减去平行四边形的面积: 3.146663.1433662.67.95(平方厘米) S阴=7.95215.9(平方厘米)课后作业课后作业 如图，长方形ABCD的长是8厘米，宽6厘米，延长BC到E，阴影部分甲比乙面积多16平方厘米，求CE长。体积和容积体积和容积体积概念：常用的体积单位：长方体的体积公式：正方体的体积公式：长方体和正方体统一公式：用字母表示：容积概念：容积单位：典型例题精讲典型例题精讲例例1. 一个长方体，表面积是368平方厘米，底面积是40平方厘米，底面周长是36厘米，求这个长方体的体积。解解 答答 368-402=288平方厘米 2883
21、6=8（厘米） V=408=320（立方厘米） 答：这个长方体的体积是320立方厘米。例例2 .将一个长方体的长减小5厘米，变成了正方体，正方体表面积比原来长方体表面积减少了60平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？解解 答答604=15（平方厘米）155=3（厘米）33（5+3）=72（平方厘米）答：原来长方体的体积是72立方厘米。例例3. 有甲，乙两个水箱，从里面测量，甲水箱长15分米，宽10分米，高8分米，乙水箱长10分米，宽10分米，高9分米，甲水箱装满水，乙水箱空着，现将甲水箱里的一部分水抽到乙水箱中，使两箱水水面高度一样，两个水箱的水面高度是多少分米？解解 答答甲水箱的体积=1
22、5108=1200（立方分米）1200（1510+1010）=4.8（分米） 答：两个水箱的水面高度是4.8分米。例例4. 一个长方体的长为12厘米，高为8厘米，前后两个面，上面和侧面各一个面的面积之和是392平方厘米，求另外两个面积是多少平方厘米？这个长方体的体积是多少立方厘米？2022-4-23解解 答答 （1）另外两个面积是:392-1282=200（平方厘米） （2）200（12+8）=10（厘米） 体积=12108=960（立方厘米） 答：另外两个面积是200平方厘米， 长方体的体积是960立方厘米。例例5. 某工人用薄板钉成一个长方体的邮包包装箱，并用编织绳在三个方向上加固，使用的
23、编织绳长度分别为365厘米、405厘米、485厘米。若每根编织绳加固时结头都是5厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米？ 解析（365-5）2=180厘米（405-5）2=200厘米（485-5）2=240厘米 长+宽+高= (180+200+240)2=310厘米 长= 310-180=130厘米 宽=310-200=110厘米 高=310-240=70厘米 V=13011070=1001000立方厘米=1.001立方米例例6.有甲乙丙三种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的二分之一，乙的棱长是丙的棱长的三分之二。如果用甲乙丙三种木块拼成一个尽可能小的大正方体（每块至少用一块）
24、，那么最多需要这三种木块共多少块？最少需要用这三种木块共多少块？解析解析 根据已知条件得知甲乙丙棱长之比是：甲：乙：丙=1:2:3（1）最少：如果用棱长是3厘米的丙正方体拼成较大的正方体，至少用8块，拿掉一块丙用乙和甲来补，需要乙1块，甲19块，共需要甲+乙+ 丙=19+1+7=27块。（2）最多用92块。如果拼成棱长是5厘米的正方体，用一块丙和一块乙，需要甲=555-222-333=90（块）90+1+1=92（块） 例例7. 在底面边长是60厘米的正方形的一个长方体容器里，直立着一个长100厘米，底面为边长15厘米的正方形的四棱柱铁棍，这时容器里的水深为50厘米，现在把铁棍轻轻地向正上方提
25、起24厘米，露出水面的四棱柱，浸湿部分长多少厘米？ 方法一、方法一、151524（6060-1515） =1.6厘米 24+1.6=25.6厘米 答：浸湿部分长25.6厘米。解解 答答解解 答答 方法二、方法二、 解设：拔出24厘米后，浸在水里的部分为X厘米。 （6060-1515）X+606024=（6060-1515）50 3375X=82350 X=24.4 50-24.4=25.6（厘米） 答：露出水面的四棱柱，浸湿部分长25.6厘米。课后作业课后作业 如图一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形。现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一
26、个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？ ?12?12?9?9?9?6?6?6?3?12?12?6?3?9?12表面积计算公式长方体和正方体六个面的总面积，叫做它的表面积。常用的面积单位有：平方厘米，平方分米，平方米，公顷等。长方体的表面积=（长宽+长高+宽高）2，用字母 表示S=2（ab+ac+bc）,正方体的表面积S=aa6典型例题精讲典型例题精讲例例1. 把一个棱长为4厘米的大正方体木块切成棱长为1厘米的小正方体，这些小正方体的表面积的总和是多少平方厘米？解析解析方法一： 共分成444=64（个） S=11664=384（平方厘米）方法二：沿
27、着长、宽、高分别切三刀，共切9刀，一共增加92=18个面，加上原来的六个面共有18+6=24（个） S= 4424=384（平方厘米） 答：这些小正方体的表面积的总和是384平方厘米。例例2.把一个长12分米，宽6分米，高10分米的长方体截成3个相同的小长方体，它的表面积最多可以增加多少平方分米？共有三种切法共有三种切法例例3.在棱长为3厘米的正方体木块的每个面的中心打一个直穿木块的洞，洞口边长为1厘米的正方形，求挖洞后木块的体积和表面积。解答解答 V=333-1117=20（立方厘米） S=336=54（平方厘米） 54-116+1146=72（平方厘米） 答：体积是20立方厘米，表面积是7
28、2平方厘米。例例4. 一个正方体木块，棱长是15，从它的八个顶点处各截去棱长分别是1,2,3,4,5,6,7,8的小正方体，求这个木块剩下部分的表面积最少是多少？看图解析看图解析解答解答 15156=1350 1350-772=1252 答：这个木块剩下部分的表面积最少是1252。例例5.有一个正方体，它的六个面分别被涂上互不相同的颜色。如果从不同的角度给这个正方体拍照，那么有时只能拍到一个面，两个面，最多能同时拍到三个面。洗出照片后，照片中正方体的面的颜色搭配种类最多有多少种？解解 析析 一个面的：单独六个面每个拍一张，就有6张了。 两个面的：单独面对一个棱，冲着这个棱拍过去，有两个面，立方
29、体一共12条棱，所以就又有12张。 三个面的：单独面对一个顶点，冲着顶点拍过去，就有三个面，立方体一共有8个顶点，所以就又有8张了。 所以一共有6+12+8=26张。即26种。例例6. 给一个正方体的每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种，每种颜色涂两个面，共有多少种不同的涂法？（两种涂法，如果经过翻动能使各种颜色的位置相同，就认为是相同的涂法）解析解析 共有4种情况。同种颜色，不是相邻就是相对。 红、黄、蓝两个面分别相对时，有三种情况，两两相邻时有一种情况，共有四种情况。例例7.把正方体的六个面分别划分成9个相等的正方形，然后用红黄篮三种颜色去给每个小正方形染色，要求有公共边的正方形染色不
30、同。问染红色的小正方形最多有多少个？染色示意图染色示意图三个面中共染红色小正方形三个面中共染红色小正方形1111块，块，六个面最多染红色的小正方形六个面最多染红色的小正方形2222块。块。黄色的小正方形黄色的小正方形2222块，蓝色的小块，蓝色的小正方形正方形1010块。块。课后作业课后作业（一） 如图所示，从一个边长为2厘米的正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为0.5厘米的正方体，接着再在小洞的底面正中再向下挖一个边长为0.25厘米的正方体小洞。求现在得到的立体图形的表面积为多少平方厘米？课后作业（二）课后作业（二） 右图是一个456的
31、长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？体积公式推导底面积底面积高高 圆柱体积公式 长方体的体积底面积长方体的体积底面积高高圆柱体的体积底面积圆柱体的体积底面积高高圆锥体积公式圆锥体积公式圆锥体积公式 结论结论：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一 V柱= Sh V锥= Sh3典型例题精讲例例1. 一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米。将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ 解 答S底=223.14=12.56（平方厘米） h高=50.2412.56=4（厘米）S增
32、加=422=16（平方厘米）答：表面积增加了16平方厘米。 例例2. 在一个圆柱形水桶里放入一个半径为5厘米的圆柱形钢块。如果把钢块浸没在水中，桶里的水面就会上升9厘米；如果沿竖直方向把浸没在水中的钢块提起8厘米，桶里的水面就会下降4厘米。求圆柱形钢块的体积？解 析 先求出露出水面的圆柱形钢块的体积，因为下降的水的体积与露出水面的圆柱形钢块的体积相等，所以可求出圆柱形水桶的底面积。又因为当钢块浸没在水中时，上升的水的体积与钢块的体积相等，所以可以求出圆柱形钢块的体积。等积转化是本题的考察重点内容。解答 解： V钢=3.14558=628（立方厘米） 下降4厘米的水的体积与拔出8厘米圆柱形钢块的
33、体积相等 S水桶=6284=157（平方厘米）当钢块浸没在水中时，上升的水的体积与钢块的体积相等。 上升的水的体积15791413（立方厘米） 答：圆柱形钢块的体积是1413立方厘米。例例3.将一个圆柱体木块沿上下底面圆心切成四块，表面积增加48平方厘米；若将这个圆柱体切成三块小圆柱体，表面积增加50.24平方厘米。现在把这个圆柱体木块削成一个最大的圆锥体，体积减少多少立方厘米？ 解析 将圆心切成四块，需要切两刀，增加四个相等的长方形，每个长方形的面积是484=12（平方厘米）。如果切成三个圆柱体，需要用两刀，也增加4个面，是4个相等的底面，每个底面的面积是 S底=50.244=12.56（平
34、方厘米）， 因为223.14=12.56（平方厘米），所以半径=2厘米，直径是4厘米， 高=124=3厘米。 圆柱体积V=12.563=37.68立方厘米，削成一个最大的圆锥，减少圆柱体积的三分之二，减少37.6832=25.12立方厘米.例例4.一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图：已知它的容积为400毫升。当瓶子正放时，瓶内酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米。问：瓶内酒精的体积是多少毫升。解答 将倒置的空白部分和酒精溶液部分拼成一个圆柱体。 因为：V=Sh 所以： S=Vh h=6+2=8（厘米） 400毫升=400立方厘米 S底=4008=50（平方厘米）
35、 V=506=300（立方厘米）=300（毫升） 答：瓶内酒精的体积是300毫升。例例5.如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水多少升？解答 解设：小圆锥的高度是2厘米，则大圆锥的高度是4厘米，设小圆锥的底面半径是1厘米，则大圆锥的底面半径是2厘米。 V小=1123=23 V大=2243=163 V大：V小=8 ：1 508=400（升） 答：这个容器最多能装水400升。例例6. 在一个底面直径是40厘米的圆柱形盛水缸里，有一个直径是10厘米的圆锥形铸件完全浸于水中，取出铸件后，缸里的水下降0.5厘米，求铸件的高？ 解 答R=402=20厘米，r=102=
36、5厘米S柱=20203.14=1256（平方厘米）S锥=553.14=78.5（平方厘米）V锥=12560.5=628（立方厘米）h锥=628378.5=24（厘米） 答：铸件的高是24厘米。 例例7. 如图所示，皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为15厘米，水桶底面直径为60厘米。皮球有 的体积浸在水中，问皮球掉到水桶中后，水面升高了多少厘米？ （注：皮球的体积为 ）54r334解 析 解：皮球的体积是：水面升高的高度是4509000.5（厘米） 答：水面升高了0.5厘米。 课后作业 如图，在一个正方体的前后面和侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞。已
37、知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积。圆柱表面积展开图 圆柱表面积推导公式?长方形的长圆柱的底面周长长方形的长圆柱的底面周长长方形的宽圆柱的高长方形的宽圆柱的高圆柱的侧面积底面周长圆柱的侧面积底面周长高高S S侧侧=Ch=Ch=dh=2rh=dh=2rh圆柱的表面积侧面积两个底面的面圆柱的表面积侧面积两个底面的面积积 S S表表=S=S侧侧+2S+2S底底 典型例题精讲例1. 做一个圆柱形纸盒，至少需要用多大面积的纸板？（接口处不计，单位厘米） 解解 答答S底=10103.14=314 3142=628（平方厘
38、米）S侧=1023.1430 =1884（平方厘米）S表=628+1884 =2512（平方厘米） 答：至少需要用2512平方厘米。例2. 一台压路机的滚筒宽1.2米，直径为8分米，如果它滚动10周，压路的面积是多少平方米？解解 答答 8分米=0.8米 S侧=0.83.141.2=3.0144平方米 3.014410=30.144平方米答：压路的面积是30.144平方米。例例3. 一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的高是12.56厘米，则这个圆柱的表面积是多少？（保留整数） 解解 答答r=12.563.142=2（厘米）S底=223.14=12.56（平方厘米） 12.562=25.12
39、（平方厘米）S侧=12.5612.56=157.7536（平方厘米）S表=25.12+157.7536183（平方厘米） 答：这个圆柱的表面积是183平方厘米。 例例4.一根圆柱形木料，长3米，底面周长是157厘米，如果把它平均截成2段，表面积比原来增加多少平方厘米？解解 答答 r=1573.142=25（厘米）S=25253.142=3925（平方厘米）答：表面积比原来增加3925平方厘米。 例例5.如图所示，高都是1米，底面半径分别是0.5米、1米和1.5米的三个圆柱组成的几何体，求这个物体的表面积。解答解答方法一2S大底=1.51.53.142=14.13平方米S大侧=1.523.141
40、=9.42平方米S中侧=123.141=6.28平方米S小侧=0.523.141=3.14平方米 S表=14.13+9.42+6.28+3.14=32.97平方米 答：这个物体的表面积是32.97平方米。方法二方法二S小侧=0.521=S中侧=121=2 S大侧=1.521=32S大底=1.51.52=4.5S表=+2+3+4.5=10.5=32.97（平方米）例例6.如图，在棱长为5厘米的正方体中间挖去了一个半径为2厘米的圆柱，求物体的表面积。 解解 答答S正=556=150平方厘米2S底=223.142=25.12平方厘米S侧=223.145=62.8平方厘米 150-25.12+62.8
41、=187.68平方厘米答：物体的表面积是187.68平方厘米。例例7. 一个圆柱体底面周长和高相等。如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米， 这个圆柱体的表面积是多少？（保留一位小数） 解解 答答C=50.244=12.56厘米r=12.563.142=2厘米2S底=223.142=25.12平方厘米S侧=12.5612.56=157.7536平方厘米S表=25.12+157.7536=182.8736平方厘米182.9平方厘米 答：这个圆柱体的表面积是182.9平方厘米。例例8.一个圆柱的底面周长是18.84厘米,沿着底面直径将它切成相等的两半，表面积增加了180平方厘米，原来这个
42、圆柱的表面积是多少？ 解解 答答1802=90平方厘米d=18.843.14=6厘米h=906=15厘米S侧=18.8415=282.6平方厘米S底=333.142=56.52平方厘米S表=282.6+56.52=339.12平方厘米答：原来这个圆柱的表面积是339.12平方厘米。 例例9. 用铁皮做一个如图所示的工件，直径是15厘米，需用铁皮多少平方厘米？ 54cm 解解 析析 再用一个同样大小的工件，拼成一个圆柱体，求出表面积再除以2。 153.14（54+46）2=2355（平方厘米） 答：需用铁皮2355平方厘米。 课后作业课后作业 如图是一个机器零件，其下部是棱长20厘米的正方体，上部是圆柱形的一半。求它的表面积。
