1、1模拟归一化原型模拟低通、高通、带通、带阻数字低通、高通、带通、带阻频率变换数字化归一化数字低通数字化频率变换或或2 模拟频率变换法把归一化的模拟原型低通滤波器在连续域通过频率变换，设计出所需类型的模拟滤波器，然后利用冲激响应不变法或双线性变换法将其数字化，得到所需的数字滤波器。 冲激响应不变法有频率混叠失真效应， 只适于严格限带的数字低通、带通滤波 器设计，对于数字高通、带阻滤波器的设 计则不能直接应用。所以常用双线性变换的方法。3 在实际设计中，把模拟频率变换法的两步合成一步实现，即把模拟归 一化低通原型滤波器变换到所需类型模 拟滤波器和用双线性变换实现数字化的步骤合并到一起 ，直接变换出
2、所需的数字滤波器。4完成IIR低通、高通、带通、带阻数字滤波器的映射关系不但要满足：1）、将S平面映射到Z平面（S左半平面映射到Z平面单位圆内，S右半平面映射到Z平面单位圆外）。2）、S平面虚轴映射到Z平面单位圆上。 映射原理：5而且还要实现频率的变换。 下面逐一介绍利用双线性变法由模拟低通到数字低通、高通、带通、带阻的映射关系。61、 根据要求，确定模拟滤波器类型和阶数，确定归一化模拟低通滤波器的系统函数。2、 由表6-8公式，得到高通、带通、带阻数字滤波器的系统函数。 设计步骤：7 即前面已讨论的从模拟滤波器映射成数字滤波器的方法：冲激响应不变法阶跃响应不变法双线性变换法数字低通模拟低通1
3、、模拟低通变换成数字低通滤波器8变换关系：pps20s为模拟低通拉氏变量（ ）；p为模拟带通拉氏变量（ ）；0为模拟带通的几何中心频率。2、模拟低通变换成数字带通滤波器 1）模拟低通到模拟带通的变换jsjp9jpjs,如：则：2020jjjj所以：20220这就是模拟低通与模拟带通的频率转换公式。101122021201cc002c1c故模拟低通的通带映射到带通的 ， 之间 。代入到频率转换公式，可得21平移12 因此，可以由模拟低通系统函数获得模拟带通系统函数：ppsLPBPsHsH20)()(21012Bc低通、带通通带带宽带通通带几何对称中心频率。132）模拟带通数字带通1111zzcp
4、用双线性变换法：14112011,zzcppps由有21211zEzzDs其中2121012sinsin)sin(2cos22cotEDc21211)()(zEzzDsLPsHzH3）模拟低通数字带通154）模拟低通数字带通频率转换公式sincoscos2cotsincoscos0120cD000jezjs,代入：21211zEzzDs得：映射关系:16变换关系：20220ppss为模拟低通拉氏变（ ）； p为模拟带阻拉氏变量（ ） ；0为模拟带阻的几何中心频率。3、模拟低通变换成数字带阻滤波器 1）模拟低通到模拟带阻的变换jsjp17jpjs,如：则：22020jj所以：22020这就是模拟
5、低通与模拟带阻的频率转换公式。1819, 001c2c0故模拟低通的阻带映射到模拟带阻的阻带。平移不变2022202202120120cc210202112cB代入到频率转换公式，可得2120220)()(ppsLPBRsHsH 因此，可以由模拟低通系统函数获得模拟带阻系统函数：222）模拟带阻数字带阻用双线性变换法：1111zzcp23112022011,zzcppps由有211211)1 (zzEzDs其中)2cos()2cos(cos22tan121201121EDc211211)1()()(zzEzDsLPsHzH3）模拟低通数字带阻244）模拟低通数字带阻频率转换公式jezjs,代入
6、：211211)1 (zzEzDs01201coscossin2tancoscossincD0, 00映射关系:25变换关系：psccs为模拟低通拉氏变量（ ）；p为模拟高通拉氏变量（ ）；c为模拟高通的截止频率。4、模拟低通变换成数字高通滤波器1）模拟低通到模拟高通的变换jsjp26jpjs,如：则：ccjj所以：这就是模拟低通与高通的频率转换公式。cccc或者,2728cc00psLPHPccsHsH)()( 因此，可以由模拟低通系统函数获得模拟高通系统函数：故模拟低通的通带以相反的关系平移到模拟高通的阻带。模拟低通的通带等于模拟高通的阻带。292）模拟低通模拟高通用双线性变换法：1111
7、zzcp301111,zzcppscc由有11111zzCs其中2tan1cccccC11111)()(zzCsLPsHzH3）模拟低通数字高通314）模拟低通数字高通频率转换公式jezjs,代入：11111zzCs2cot2tan2cot|2cot2tan2cot11ccccCC32 NNNNNiiiNiiiaseseesdsddsesdsH101000 NNNNNiiiNiiizBzBzAzAAzBzAzH111101011对于如下多项式的变换，可通过查表计算。3334设抽样频率fs=10kHz，需设计一个数字低通滤波器,要求在频率小于fc= 1kHz的通带内，幅度特性下降小于1dB，在频
8、率大于fst=1.5kHz的阻带内，衰减大于15dB。分别以巴特沃思滤波器巴特沃思滤波器及切贝雪夫滤波切贝雪夫滤波器为原型，器为原型，采用冲激响应不变法冲激响应不变法及双线双线性变换法性变换法, 确定数字滤波器的系统函数。例：35解解: (1) : (1) 以以巴特沃思滤波器巴特沃思滤波器为原型为原型(a) (a) 冲激响应不变法冲激响应不变法根据模拟频率 和数字频率 之间呈线性关系,22sfffTT2 . 010101101233cfc= 1kHz对应于,1014sfTfst=1.5kHz对应于3 . 010101105 . 1233st3615)(log20 1)(log20, 1| )(
9、 | 15|)()(|log20 1|)()(|log20 3 . 02 . 003 . 002 . 00jjjjjjjeHeHeHeHeHeHeH则又根据题意有：即为数字滤波器的性能指标要求。37|),()()(jHTjHeHaaj模拟滤波器的指标为：15)103(|log20| )3 . 0(|log20 1- )102(|log20| )2 . 0(|log2033jHTjHjHTjHaaaaNcajH22)(11)( 巴特沃思滤波器幅度平方函数为：38)(1log10)( 20log2NcajH15)103(1log101)102(1log102323NcNc39则有临界条件为：5 .
10、 1231 . 02310)103(110)102(1NcNc40)2(. 110lglg2)3000lg(2) 1 (. 110lglg2)2000lg(25 . 11 . 0ccNNNN(2)-(1) 得：5858. 5)2000/()3000lg()110/() 110lg(211 . 05 . 1Nsradc/1004743. 7 3代入(1)式使通带边沿满足要求，得 41sradNc/100321. 7 , 63重新代入通带条件式得取查表6-4，6-6可得出归一化原型模拟低通巴特沃思滤波器的系统函数为： 18637033. 34641016. 71416202. 94641016.
11、78637033. 31)(23456sssssssHa ) 1931851652. 1)(141421356. 1)(151763809. 0(1)(222sssssssHa或代入(2)式使阻带边沿满足要求，也可。42s用 代替后得到截止频率为cs )104504.491058478.13(1 )104504.491094475. 9(1 )104504.491064003. 3(1014.120923)(63263263218sssssssHac模拟低通巴特沃思滤波器：43 10) 82001553. 179239041. 6()1211sin()1211cos(10) 97237489.
12、 497237489. 4()129sin()129cos( 10) 79239041. 682001553. 1()127sin()127cos(34, 335 ,236, 1jjsjjsjjsccc6,.,2 , 1,21221keSNkjck代入极点公式得：或者将sradNc/100321. 7 , 6344将此系统函数展成部分分式，利用NkkNcasssH1)()(代入同样可得。8111)(kTskzeTAzHk可得数字滤波器的系统函数：452112112112570. 09972. 016304. 08558. 13699. 00691. 111454. 11428. 26949.
13、0297. 114466. 02871. 0)(zzzzzzzzzzH代入jez 可得数字滤波器频率响应在通带边缘恰好满足衰减小于1dB的要求，而在阻带边缘衰减则大于15 dB的要求。原因在于N=6代入的是通带条件，若不满足需加大N重新计算。46(b) (b) 利用双线性变换法同样可求得。利用双线性变换法同样可求得。47(2) (2) 以切贝雪夫滤波器为原型以切贝雪夫滤波器为原型 (a) (a) 冲激响应不变法冲激响应不变法 同前。48）取则由1)(2tan2()(,3 . 0,2 . 0,2tan2TTjHjHTaacst有： 15)23 . 0tan(2(log201)22 . 0tan(
14、2(log201010jHjHaa(b) (b) 双线性变换法：双线性变换法：49则有： 508847. 01101101 . 010dB1 通带波纹dBstc15,23 . 0tan2,22 . 0tan22由0141. 302104. 10775. 3568158088. 1875081.10 22 . 0tan2/23 . 0tan211050885. 0111011115 . 1111 . 012chchchchchchNcst取N=4 500644015. 1213646235. 0211702. 411111112NNNNba从而可知： 691648. 0,2369322. 0cc
15、ba 则左半平面两对极点为： 512646819. 02188969. 083cos83sin6389997. 00906699. 08cos8sin4 , 3 , 2 , 1,) 12(2cos) 12(2sin3 , 24, 1jbjasjbjasKkNbjkNacccccc由此可得：41)(iiassKsH)4166. 01814. 0)(1180. 04378. 0(04381. 0 22ssss52求得。时为偶数，故由891250942. 011)0(042jHNK)793981. 06737394. 0)(9865049. 02790720. 0(2456533. 0)(22sss
16、ssHan及通带波纹分贝数为或由 , 4NdB1 查表6-5，6-7可得出归一化原型模拟低通切贝雪夫切贝雪夫滤波器的系统函数为：s用 代替后同样可得到cs)(sHa53:) 1(| )()(11112即可求得利用公式TsHzHzzTsa)6493. 05548. 11)(8482. 04996. 11 ()1001836. 0 )( 212141zzzzzzH（可见对于同样性能指标要求的数字滤波可见对于同样性能指标要求的数字滤波器，采用巴特沃思滤波器器，采用巴特沃思滤波器为原型为原型比切贝切贝雪夫滤波器需要更高的阶数雪夫滤波器需要更高的阶数N N。54 利用冲激响应不变法或双线性变换法把归一化
17、模拟低通滤波器数字化成数字低通滤波器，然后利用数字频带变换法，在离散域内变换出所需数字滤波器。 模拟频率变换法在模拟滤波器数字化时，一般为避免混叠效应而不采用冲激响应变换法，而对数字频率变换法则无此要求，因为数字化过程在低通进行满足冲激响应不变法的限带条件。八、 数字频率变换法设计IIR数字 滤波器55 从归一化数字低通滤波器原型出发的变换，直接在数字频域进行变换：)(11)()(ZGzLdzHZH变换函数)(1ZG需满足：a、z平面的单位圆映射到Z平面单位圆上；b、z平面单位圆内映射到Z平面单位圆内；c、系统函数必须是 有理函数。1Z56若jjeZez,则由：)(11ZGz有：)(arg)(
18、)(jeGjjjjeeGeGe)(arg1)(jjeGeG)(1ZG是全通函数。要求：1| )(| )(|11jjeGZGez57所以有：NiiiZaaZZGz111111)(若要系统稳定，需：1ia则：11ia（所有极点都单位圆内）（所有零点都在单位圆外）这是最大相位延迟系统。58，就可获得各类变换选择合适的N和iaNeGj)(arg变化时，由0到591、根据要求，确定归一化模拟低通滤波器的系统函数。2、用冲激响应不变法或双线性变换法求出归一化数字低通滤波器的系统函数。3、由表6-9 进行数字频率变换，求得满足要求的数字滤波器。设计步骤：60, 00由以上关系，可以确定1N。11111)(a
19、ZaZZGzjjjaeaee11aI、数字低通数字低通jjeZez,6162所以可以求出与的关系：cos1sinarctan2aacccc,又由：可以求出：2sin2sincccca630a频率压缩0a频率扩张频率是非线性映射。64)jLeH（21止带压缩）（通带扩展21()jdLHe0数字低通数字低通的变换关系：1111)()(aZaZzLdLzHZH65将低通频率响应在单位圆上旋转1800，就可以获得数字高通的频率响应，即用-Z-1代替Z-1，就完成了数字低通到数字高通的变换：11111111)(aZaZaZaZZGzII、数字低通数字高通6667所以有：jjjaeaee1cccc,0,0
20、由：2cos2coscccca1111)()(aZaZzLdHzHZH数字低通数字高通的变换关系：68 低通到带通的变换，在单位圆上需两次旋转，故可令N=2，则有：111)(11222112111111ZdZddZdZZaaZaZaZZGzIII、数字低通数字带通697000, 00,由：有：1) 1 (, 1) 1(GG1112221121ZdZddZdZz（取-号）71由：2112,cc有：2tan)2cot(12tan)2cot(112122ccd2tan2cot12cos2cos21212121cd72令：2cos2cos1212a2cot2tan12ck则：012cos,12,11a
21、kakdkkd1112221121)()(ZdZddZdZzLdBzHZH数字低通数字带通的变换关系：73 低通到带阻的变换，在单位圆上也需两次旋转，故可令N=2，则有：1)(1122211211ZdZddZdZZGzIV、数字低通数字带阻747500, 00由：有：1) 1 (, 1) 1(GG1112221121ZdZddZdZz（取+号）76由：1221,cc有：2tan)2tan(12tan)2tan(112122ccd2tan2tan12cos2cos21212121cd77令：2cos2cos1212a2tan2tan12ck则：012cos,12,11akadkkd1112221
22、121)()(ZdZddZdZzLdRzHZH数字低通数字带阻的变换关系：78总结79NiiiZaaZZGz111111)(（-）N阶全通表示N个通带变换；（+）N阶全通表示N个阻带变换。V、数字低通多通带数字滤波器80NkkkMiiizazbzH101)(设九、直接设计IIR数字滤波器 1）、频域直接设计 幅度平方函数设计法81则NkkMkkNkkMkkNiijiNkkjkMkkjkMiijiezjkgkekdkceaeaebebzHzHeHj020200000012)2(cos)2(cos)cos()cos()()()(82仿照模拟滤波器，有)(11)(22NjAeH可表示低通滤波器。2t
23、an2tan)(222cNNNA巴特沃思滤波器：2tan2tan)(222cNNCA切贝雪夫滤波器：832121222)1 ()1 ()(211)(211cos1cos12cos2sin2tanzzeeeejezjjjj84000)()(kkNiiiMiiizkhzazbzH由有MiiiNiiikkzbzazkh000)(2）、时域直接设计I、帕德逼近法85在MNk0范围内，)(kh逼近希望的单位抽样响应)(khd由MiiiNiiiMNkkzbzazkh000)(可得：NjjkjkjMNkMjkhaMkbjkha00, 0)(0,)(比较系数10a86用)(khd代替)(kh，可以求出：),
24、2 , 1(Niai这样就可以确定系统函数), 2 , 1(Mibi)(zHN+M以后的项不加考虑。87 对某特定输入波形，可以得到一个确定的输出波形。 第一步，用最小均方误差的准则求单位抽样响应的最佳值； 第二步，利用帕德逼近法求系统函数的系数。II、波形形成滤波器88 即计算机辅助设计法。在某种准则下使逼近误差最小所进行的设计。 这种方法的特点是不 直接给出滤波器系统函数的显式 解，而是在所要求的频率响应与实际设计出来滤波器频率响应之间规定一个误差范围，用某种最优化算法确定滤波器系统函数。十、最优化方法设计IIR数字滤波器89最佳准则是一种在有限频率点上，频率响应幅度均方误差 最小的准则。
25、设在一组离散频率点 上所要求的频率响应为 ，实际频率响应为 ，则这种设计法要求：21)()(MijdjiieHeHE最小，这样得到的)(ijeH就是)(ijdeH的一种逼近。)(ijdeH)(ijeH1）、最小均方误差设计法),.2 , 1(Mii90采用二阶节的表达式如下： 其中可看出，所求的系数为A和 an，bn，cn，dn ，n =1，2，3，K 共（4K+1)个值 。为求出使E最小的各未知参数，可使E对它们的导数分别为零解方程组。)()()(1zPAzHAzHKnn212111)(zdzczbzazHnnnnn911、 这种最优化算法，对零、极点位置没有任何限制，因此有可能得到不稳定的
26、滤波器（极点在单位圆外）。可级联一全通网络将单位圆外极点反射到单位圆内。2、 通过级联全通网络得到稳定滤波器后，可再次用此最优化算法，使均方误差更小。3、所选频率组 可以是均匀分布，也可以是不均匀分布的。4、二阶节级联数目K越大，逼近效果越好。几点注意：),.2 , 1(Mii92对幅度响应和相位响应两者都适用。2）、最小p误差设计法 最小P误差设计法是最小均方误差设计法的推广，是误差的P次幂的加权平均的最小化作为逼近准则。即使 pMijdjiiieHeHWE21)()()(最小。 （ 其中 为正的加权函数）()iW93NkkMkkjkdkcDNeH002)cos()cos()()()( 分子、分母的系数分别都是线性的，因此可以用线性规划来设计。3）、线性规划设计法94十一、与本章相关的Matlab文件：9596
