1、2009042014.8 14.8 条件极值条件极值实例实例： 小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：光盘和磁带，设他购买种急需物品：光盘和磁带，设他购买 张光张光盘，盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为为 设每张光盘设每张光盘8元，元，每盒磁带每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达元以达到最佳效果到最佳效果xyyxyxUlnln),( 问题的实质问题的实质：求：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点yxyxUlnln),( 200108 yx条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加
2、条件的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法找函数找函数),(yxfz 在条件在条件0),( yx 下的可能极值点，下的可能极值点，先构造函数先构造函数),(),(),(yxyxfyxL 其中其中 为某一常数，可由为某一常数，可由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxLyxyxfLyxyxfLyyyxxx 在条件组在条件组)( , 2 , 1 , 0),(21nmmkxxxnk 的限的限求目标函数求目标函数. ),(21的极值的极值nxxxfy ,制下制下其其拉拉格格朗朗日日函函数数是是：),(2121mnxxxL mknkknxxxxxxf11121),( ),( . , 21为拉
3、格朗日常数为拉格朗日常数其中其中m )1(一般形式：一般形式：定理定理1 ,), 2 , 1( 内有内有均在均在如上如上和和设设Dmkfk ,一阶偏导数一阶偏导数是是若若 ),( )0()0(2)0(10DxxxPn ,上述问题的极值点上述问题的极值点 且雅可比矩阵且雅可比矩阵01111Pnmmnxxxx ,m的秩为的秩为使得使得个常数个常数则存在则存在 ,)0()0(2)0(1mm ),()0()0(1)0()0(1mnxx 连续的连续的的的为拉格朗日函数为拉格朗日函数)1(.稳定点稳定点: ),( )0()0(1)0()0(1为下述方程的解为下述方程的解即即mnxx 0),(0),(001
4、11111111nmnmknkknxmkkkxxxLxxLxxfLxxfLmn :骤骤条件极值问题的一般步条件极值问题的一般步用拉格朗日乘数法求解用拉格朗日乘数法求解; 1.和条件组和条件组根据问题确立目标函数根据问题确立目标函数 2.作拉格朗日函数作拉格朗日函数),(2121mnxxxL mkkkf1 ,. 3有稳定点有稳定点求出拉格朗日函数的所求出拉格朗日函数的所这些稳定点这些稳定点;就就是是可可能能的的条条件件极极值值点点. , 4.据理说明确实是据理说明确实是值点值点对每一个可能的条件极对每一个可能的条件极?据什么理据什么理, 2 , 1 , 0),( 1.21mkxxxnk 如条件组
5、如条件组 ,满足隐函数定理的条件满足隐函数定理的条件个变量个变量则在则在nnxxx,21中唯一确定了其中中唯一确定了其中.个变量的一组隐函数个变量的一组隐函数个变量为其余个变量为其余mnm 得得到到一一个个有有个个函函数数代代入入目目标标函函数数将将这这 ,fm.个独立变量函数个独立变量函数mn ,算出此函数的黑赛矩阵算出此函数的黑赛矩阵 ,应用隐函数求导法则应用隐函数求导法则由此判断极值点的由此判断极值点的.类型类型,),( 2.)0()0(1)0()0(1的稳定点的稳定点是是若若Lxxmn 020)( PkjxxLPHL : 则则; ,)( 1.00取条件极小值取条件极小值在在那么那么正定
6、正定如如PfPHL. ,)( 2.00取条件极大值取条件极大值在在那么那么负定负定如如PfPHL. :元元函函数数的的泰泰勒勒公公式式利利用用证证明明n,),( )0()0(2)0(10DxxxPn 记记. 3.判断判断根据问题本身的特点来根据问题本身的特点来而其拉格朗日函数而其拉格朗日函数值值如果某实际问题确有极如果某实际问题确有极 ,仅有一个稳定点仅有一个稳定点或逼近或逼近且在定义域的边界上且在定义域的边界上(,)不取极值不取极值边界时边界时的的则这个稳定点就是所求则这个稳定点就是所求.条件极值点条件极值点. 3. . , 2. 1.较为常用较为常用一般不用一般不用计算量大计算量大 :1例
7、例rzyxxyzzyxf1111),( 在条件在条件求求)0,( rzyx.下的极小值下的极小值:解解设拉格朗日函数为设拉格朗日函数为).1111(),(rzyxxyzzyxL 0000 LLLLzyx由由,3:rzyxL 稳定点为稳定点为知知4)3( r ? )3()3 ,3 ,3( 3是否为条件极值是否为条件极值判断判断rrrrf ),(1111yxzzrzyx 看成隐函数看成隐函数把条件把条件则目标函数则目标函数).,(),(),(yxFyxzxyzyxf , yyxyxxyxyxFFFFFzz计算出计算出,)3 ,3(正定正定rrHF ,)3 ,3 ,3(为极小值点为极小值点故稳定点故
8、稳定点rrr.进而最小值点进而最小值点,)3( 3rxyz 所以所以)1111rzyx 且且0,( rzyx, czbyax 令令1)111( cbar则则 )3( 3得得代入代入rxyz 31)111(3 cbaabc. )111(3 31abccba 或或4).P174( :2例例教材教材例例解解设设),(000zyxP为为椭椭球球面面上上一一点点,令令1),(222222 czbyaxzyxF, 过过),(000zyxP的切平面方程为的切平面方程为 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化简为化简为 1202020 czzbyyaxx,该切平面在三个轴上的截距各
9、为该切平面在三个轴上的截距各为 02xax ，02yby ，02zcz ,所所围围四四面面体体的的体体积积 000222661zyxcbaxyzV ,在条件在条件1220220220 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxG 000lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax ,由由,010, 0, 0220220220000 cybyaxGGGzyx可得可得30ax 30by ，30cz 此为唯一的驻点此为唯一的驻点四面体的体积最小四面体的体积最小abcV23min .根据实际情况四面体体积有最小值根据实际情况四面体体积有最小值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法小结小结作业作业习题习题1461 (4, 5, 6); 2； 3； 4.
