1、 数学建模数学建模7.1 差分方程基本知识差分方程基本知识7.2 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型7.3 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动7.4 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型7.5 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长第七章第七章 差分方程模型差分方程模型 数学建模数学建模7.1 差分方程基本知识差分方程基本知识 1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系
2、等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 数学建模数学建模Fibonacci 数列数列 13世纪意大利著名数学家世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作在他的著作算盘书算盘书中记载着这样一个有趣的问题：中记载着这样一个有趣的问题： 一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之若不计兔子的死亡数，
3、问一年之后共有多少对兔子？后共有多少对兔子？月份月份 0 1 2 3 4 5 6 7 幼兔幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 成兔成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 总数总数 1 1 2 3 5 8 13 21 数学建模数学建模 将兔群总数记为将兔群总数记为 fn, n=0,1,2,，经过观察可以发现，数列，经过观察可以发现，数列fn满足下列递推关系：满足下列递推关系： f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2, 这个数列称为这个数列称为Fibonacci数列数列. Fibonacci数列是一个十分有趣数列是一个十分有趣的数列，在自然科学和数学领域中都
4、有着广泛的应用的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用. Fibonacci数列的一些实例数列的一些实例. 1. 蜜蜂的家谱蜜蜂的家谱 2. 钢琴音阶的排列钢琴音阶的排列 3. 树的分枝树的分枝 4. 杨辉三角形杨辉三角形 数学建模数学建模日常的经济问题中的差分方程模型日常的经济问题中的差分方程模型 假如你在银行开设了一个假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利元的存款账户，银行的年利率为率为7%. 用用an表示表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：就是你每年的存款额： a0, a1, a2, a3, , an,
5、设设r为年利率，由于为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型因此存款问题的数学模型是：是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3, 数学建模数学建模 从从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度年开始，我国逐步实行了大学收费制度. 为了保障子女为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入银行存入x元作为家庭教育基金元作为家庭教育基金. 若银行的年利率为若银行的年利率为r，试写出第，试写出第n年后教育基金总额的表达式年后教育基金总额的表达式. 预计当子女预计当子女
6、18岁入大学时所需的岁入大学时所需的费用为费用为100000元，按年利率元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元入多少元? 设设n年后教育基金总额为年后教育基金总额为an，每年向银行存入，每年向银行存入x元，依据复利元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3, 数学建模数学建模 小李夫妇要购买二居室住房一套，共需小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元万元. 他们已经筹他们已经筹集集10万元，另外万元，另外20万元申请抵押贷款万元申请抵
7、押贷款. 若贷款月利率为若贷款月利率为0.6%，还贷期限为还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？年，问小李夫妇每月要还多少钱？ 设贷款额为设贷款额为a0，每月还贷额为，每月还贷额为x，月利率为，月利率为r，第，第n个月后的欠个月后的欠款额为款额为an，则，则 a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3, 数学建模数学建模 在上述模型中，给出了在上述模型中，给出了an+1与与an之间的递推公式之间的递推公式. 将它们写成将它们写成统一的形式：统一的形式： a0=c, an+1= an+b, n=0,1,2,3
8、,称此类递推关系为称此类递推关系为. 当当b=0时称为齐次差分方时称为齐次差分方程，否则称为非齐次差分方程程，否则称为非齐次差分方程. 对任意数列对任意数列A=a1,a2,an,，其差分算子，其差分算子 定义如下：定义如下： a1=a2-a1, a2=a3-a2, an=an+1-an, 对数列对数列A=a1,a2,an,，其一阶差分的差分称为二，其一阶差分的差分称为二阶差分阶差分, 记为记为 2A= ( A). 即：即： 2an= an+1- an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an 一般地，可以定义一般地，可以定义n阶差分阶差分. 数学建模数学建模 一阶
9、线性差分方程一阶线性差分方程 an+1= an+b 的通解是：的通解是： 对一阶线性差分方程对一阶线性差分方程 an+1= an+b, 若若 | |1, 则则 an逐渐远离平衡解逐渐远离平衡解 b/(1- ) (发散型不动点发散型不动点). 1,1, 1,bccnbann 数学建模数学建模0)(.)()(110tnntntxtaxtaxta则被称为方程对应的则被称为方程对应的 齐次线性差分方程齐次线性差分方程 。若所有的若所有的 ai(t)均为与均为与t无关的常数，则称其为无关的常数，则称其为 常系数差分常系数差分方程方程，即，即n阶常系数线性差分方程可分成阶常系数线性差分方程可分成)(.11
10、0tbxaxaxatntntn（7.1） 的形式，其对应的齐次方程为的形式，其对应的齐次方程为0.110tntntnxaxaxa（7.2） )2(2)1(1tttxcxcx)1(tx)2(tx容易证明，若序列容易证明，若序列与与均为方程（均为方程（7.2）的解，则）的解，则也是方程（也是方程（7.2）的解，其）的解，其 中中c1、c2为任意常数，这说明，为任意常数，这说明，齐次方程的解构成一个齐次方程的解构成一个 线性空间线性空间（解空间）。（解空间）。 此规律对于（此规律对于（7.1）也成立。）也成立。 数学建模数学建模 方程（方程（7.1）可用如下的代数方法求其通解：）可用如下的代数方法求
11、其通解：（步一步一）先求解对应的特征方程）先求解对应的特征方程 0.110nnnaaa （7.3） （步二步二）根据特征根的不同情况，求齐次方）根据特征根的不同情况，求齐次方 程程(7.2）的通解的通解 情况情况1 若特征方程（若特征方程（7.3）有）有n个互不相同的实根个互不相同的实根1 , n ，则齐次方程（，则齐次方程（7.2）的通解为）的通解为11.nnnnCC (C1,Cn为任意常数为任意常数)，iC情况情况2 若若 是特征方程（是特征方程（7.3）的）的k重根，通解中对应重根，通解中对应 于于的项为的项为11()knkCC n 为任意常数，为任意常数，i=1,k。情况情况3 若特征
12、方程（若特征方程（7.3）有单重复根）有单重复根 ia 通解中对应它们的项为通解中对应它们的项为 12CcosCsinnnnn 22 为为的模，的模， arctan 为为的幅角。的幅角。 数学建模数学建模情况情况4 若若ia 为特征方程（为特征方程（7.3）的）的k重复根，则通重复根，则通 解对应于它们的项为解对应于它们的项为111kk 12k(CC)cos(CC)sinknknnnnn iC为任意常数，为任意常数，i=1,2k。 ty .若若yt为方程为方程(7.2)的的通解通解,则非齐次方程则非齐次方程 (7.1)的通解为的通解为（步三步三） 求非齐次方程求非齐次方程 (7.1)的一个特解
13、的一个特解ttyy 求非齐次方程（求非齐次方程（7.1）的特解一般）的特解一般要用到要用到 常数变易法常数变易法，计算较繁。，计算较繁。对特殊形式对特殊形式 的的b(t)也可使用也可使用 待定待定系数法系数法。 数学建模数学建模0)(6) 1(5) 2(nynyny初始条件为初始条件为y(0)=2y(0)=2和和y(1)=3y(1)=3，求方程的齐次解。，求方程的齐次解。例例2.系统的差分方程系统的差分方程特征根为特征根为. 3, 221nnhCCny) 3()2()(21于是于是由初始条件由初始条件212)0(CCy21323) 1 (CCy解得：解得：1, 321CC故齐次解故齐次解nnh
14、ny3)2( 3)(256(2)(3)0 解：特征方程为解：特征方程为 数学建模数学建模2 2、特解、特解 特解得求法：将激励特解得求法：将激励x(nx(n) )代入差分方程右端得到代入差分方程右端得到自由项，特解的形式与自由项及特征根的形式有关。自由项，特解的形式与自由项及特征根的形式有关。（1 1）自由项为）自由项为n nk k的多项式的多项式1 1不是特征根：不是特征根：kkkpDnDnDny110)(1 1是是K K重特征根：重特征根：)()(110kkkKpDnDnDnny 数学建模数学建模（2 2）自由项为）自由项为na 不是特征根，不是特征根，则特解则特解anpDany)( 是特
15、征单根，是特征单根，则特解则特解anpaDnDny)()(21 是是k k重特征根，重特征根，则特解则特解ankkkpaDnDnDny)()(1121 数学建模数学建模（3 3）自由项为正弦）自由项为正弦 或余弦或余弦 表达式表达式0cosn0201cossin)(nDnDnyp0sinn（4 4）自由项为正弦）自由项为正弦)cossin(0201nAnAn 不是特征根不是特征根0je)cossin()(0201nDnDnynp)cossin()(0201nDnDnnynkp 是特征根是特征根0je 数学建模数学建模例例3 3： 求下示差分方程的完全解求下示差分方程的完全解) 1()() 1(
16、2)(nxnxnyny其中激励函数其中激励函数 ，且已知，且已知2)(nnx1) 1(y解：特征方程：解：特征方程：02 2齐次通解：齐次通解：nc)2(将将 代入方程右端，得代入方程右端，得)(nx12)1()1()(22nnnnxnx设特解为设特解为 形式，代入方程得形式，代入方程得21DnD 数学建模数学建模 数学建模数学建模 数学建模数学建模日常的经济问题中的差分方程模型日常的经济问题中的差分方程模型 假如你在银行开设了一个假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利元的存款账户，银行的年利率为率为7%. 用用an表示表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列年后你账户上的存
17、款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：就是你每年的存款额： a0, a1, a2, a3, , an, 设设r为年利率，由于为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型因此存款问题的数学模型是：是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3, 数学建模数学建模 从从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度年开始，我国逐步实行了大学收费制度. 为了保障子女为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入银行存入x元作为家庭教育基金元作为家庭教育基金. 若银行的年利率为若银行
18、的年利率为r，试写出第，试写出第n年后教育基金总额的表达式年后教育基金总额的表达式. 预计当子女预计当子女18岁入大学时所需的岁入大学时所需的费用为费用为100000元，按年利率元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元入多少元? 设设n年后教育基金总额为年后教育基金总额为an，每年向银行存入，每年向银行存入x元，依据复利元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3, 数学建模数学建模 由由 a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0
19、,1,2,3, 得通解得通解: 将将 a0=x, =1+r, b=x 代入代入, 得得 c =x(1+r)/r, 因此方程的特解因此方程的特解是是:1bcannnnnnarrxrrxa1)1 (,1)1 (11 将将 a18=100000,r=0.03 代入计算出代入计算出 x=3981.39. 数学建模数学建模 小李夫妇要购买二居室住房一套，共需小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元万元. 他们已经筹他们已经筹集集10万元，另外万元，另外20万元申请抵押贷款万元申请抵押贷款. 若贷款月利率为若贷款月利率为0.6%，还贷期限为还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？年，问小李夫妇每月要
20、还多少钱？ 设贷款额为设贷款额为a0，每月还贷额为，每月还贷额为x，月利率为，月利率为r，第，第n个月后的欠个月后的欠款额为款额为an，则，则 a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3, 数学建模数学建模 由由 a0=200000, an+1=(1+r)an-x, n=0,1,2,3,将将 =1+r, b=-x 代入得到方程的特解代入得到方程的特解:rrxraannn1)1 ()1 (0 若在第若在第N个月还清贷款，令个月还清贷款，令 aN=0, 得得:1)1 ()1 (0NNrrrax 将将 a0=20000
21、0, r =0.006, N=20*12=240 代入计算出代入计算出 x=1574.70 数学建模数学建模 小王看到一则广告：商场对电脑实行分期付款销售小王看到一则广告：商场对电脑实行分期付款销售. 一台售一台售价价8000元的电脑，可分元的电脑，可分36个月付款，每月付个月付款，每月付300元即可元即可. 同时他同时他收到了银行提供消费贷款的消息：收到了银行提供消费贷款的消息：10000元以下的贷款，可在三元以下的贷款，可在三年内还清，年利率为年内还清，年利率为15%. 那么，他买电脑应该向银行贷款，还那么，他买电脑应该向银行贷款，还是直接向商店分期付款？是直接向商店分期付款？ 经过分析可
22、知，分期付款与抵押贷款模型相同经过分析可知，分期付款与抵押贷款模型相同. 设第设第n个月后个月后的欠款额为的欠款额为an，则，则 a0=8000, an+1=(1+r)an-300, n=0,1,2,3, 贷款模型贷款模型 a0=8000, an+1=(1+0.15/12)an-x, n=0,1,2,3, 数学建模数学建模7.2 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型问问 题题供大于求供大于求现现象象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降价格下降减少产量减少产量增
23、加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡数量与价格在振荡 数学建模数学建模蛛蛛 网网 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格消费者的需求关系消费者的需求关系)(kkxfy 生产者的供应关系生产者的供应关系减函数减函数增函数增函数供应函数供应函数需求函数需求函数f与与g的交点的交点P0(x0,y0) 平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgy 数学建模
24、数学建模xy0fgy0 x0P0设设x1偏离偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是稳定平衡点是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲线斜率曲线斜率蛛蛛 网网 模模 型型0321PPPP 数学建模数学建模)(kkxfy )(1kkyhx在在P0点附近用直线近似曲线点附近用直线近似曲线)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0稳定
25、稳定P0不稳定不稳定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1方方 程程 模模 型型gfKKgfKK方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致 数学建模数学建模)(00 xxyykk 商品数量减少商品数量减少1单位单位, 价格上涨幅度价格上涨幅度)(001yyxxkk 价格上涨价格上涨1单位单位, (下时段下时段)供应的增量供应的增量考察考察 , 的含义的含义 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定结果解释结果解释xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk
26、第第k时段商品价格时段商品价格1经济稳定经济稳定结果解释结果解释 数学建模数学建模经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时政府的干预办法1. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf结果解释结果解释需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直 数学建模数学建模2/ )(0101yyyxxkkk模型的推广模型的推广 生产者根据当前时段和前一时生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。段的价格决定下一时段的产量。)(00
27、 xxyykk生产者管理水平提高生产者管理水平提高设供应函数为设供应函数为需求函数不变需求函数不变, 2 , 1,)1 (22012kxxxxkkk二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程x0为平衡点为平衡点研究平衡点稳定，即研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件)(1kkyhx211kkkyyhx 数学建模数学建模48)(22, 1012)1 (22xxxxkkk方程通解方程通解kkkccx2211(c1, c2由初始条件确定由初始条件确定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡点稳定，即平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件:12,12平衡点稳定条件平衡点
28、稳定条件比原来的条件比原来的条件 放宽了放宽了122, 1模型的推广模型的推广 数学建模数学建模7.4 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动背背景景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分分析析 体重变化由体内能量守恒破坏引起体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 体重指数体重指数BM
29、I=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重超重; BMI30 肥胖肥胖. 数学建模数学建模模型假设模型假设1）体重增加正比于吸收的热量）体重增加正比于吸收的热量每每8000千卡增加体重千卡增加体重1千克；千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗每周每公斤体重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而异因人而异), 相当于相当于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不
30、宜超过）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。千卡。 数学建模数学建模某甲身高某甲身高1.70米，体重米，体重100千克，千克，BMI=34.6.目前每目前每周吸收周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至至75千克。千克。第一阶段：每周减肥第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（少，直至达到下限（10000千卡）；千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段
31、增加运动，试安排计划。）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。）给出达到目标后维持体重的方案。 数学建模数学建模)()1()()1(kwkckwkw千卡）千克 /(80001 确定某甲的代谢消耗系数确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k) 第第k周周(末末)体重体重c(k) 第第k周吸收热量周吸收热量 代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运
32、动情况的两阶段减肥计划每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不变千克不变wcww025. 0100800020000wc 数学建模数学建模 第一阶段第一阶段: w(k)每周减每周减1千克千克, c(k)减至下限减至下限10000千卡千卡1) 1()(kwkwk20012000 )() 1()() 1(kwkckwkw第一阶段第一阶段10周周, 每周减每周减1千克，第千克，第10周末体重周末体重90千克千克10kkwkw)0()()1(1)0()1(kwkc80001025.09, 1 , 0,20012000) 1(kkkc吸收热量为吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动
33、情况的两阶段减肥计划1)(1)1(kwkc10000mC 数学建模数学建模)1 ()1 (1 )()1 ()(1nmnCkwnkw 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)减至减至75千克千克 代入得以10000,80001,025. 0mC5050)(975. 0)(kwnkwnmmnCCkw)()1 (1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划)() 1()() 1(kwkckwkw基本模型基本模型mCkwkw)()1 () 1( 数学建模数学建模nnkwkw求，要求已知75)(,90)(50)5090(975.075n 第二阶段：每周第二阶段：每周c(
34、k)保持保持Cm, w(k)减至减至75千克千克 5050)(975.0)(kwnkwn第二阶段第二阶段19周周, 每周吸收热量保持每周吸收热量保持10000千卡千卡, 体重按体重按 减少至减少至75千克。千克。)19, 2 , 1(50975. 040)(nnwn19975. 0lg)40/25lg(n 数学建模数学建模)028. 0()025. 0(t24,003. 0tt即取运动运动 t=24 (每周每周跳舞跳舞8小时或自行车小时或自行车10小时小时), 14周即可。周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量根据资料每小时每千克体
35、重消耗的热量 (千卡千卡): 跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行车自行车(中速中速) 游泳游泳(50米米/分分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周运动每周运动时间时间(小时小时)()() 1()() 1(kwtkckwkw基本基本模型模型6 .44)6 .4490(972. 075n14nmmnCCkwnkw)()1()( 数学建模数学建模3）达到目标体重）达到目标体重75千克后维持不变的方案千克后维持不变的方案)()() 1()() 1(kwtkckwkw每周吸收热量每周吸收热量c(k)保持某常数保持某常数C，使体重，使体重w不变不变wtCww)(wtC)()(150007502
36、5. 08000千卡C 不运动不运动)(1680075028. 08000千卡C 运动运动(内容同前内容同前) 数学建模数学建模)1()(Nxrxtx,2, 1),1 (1kNyryyykkkk7.3 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型连续形式连续形式的阻滞增长模型的阻滞增长模型 (Logistic模型模型)t, xN, x=N是是稳定平衡点稳定平衡点(与与r大小无关大小无关)离散离散形式形式x(t) 某种群某种群 t 时刻的数量时刻的数量(人口人口)yk 某种群第某种群第k代的数量代的数量(人口人口)若若yk=N, 则则yk+1,yk+2,=N讨论平衡点的稳定性，即讨论平衡点的稳定
37、性，即k, ykN ？y*=N 是平衡点是平衡点 数学建模数学建模kkyNrrx) 1( 1rb记) 1 ()1 (1Nyryyykkkk离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性kkkyNrryry) 1(1) 1(1)2()1 (1kkkxbxx一阶一阶(非线性非线性)差分方程差分方程 (1)的平衡点的平衡点y*=N讨论讨论 x* 的稳定性的稳定性变量变量代换代换(2)的平衡点的平衡点brrx111* 数学建模数学建模(1)的平衡点的平衡点 x*代数方程代数方程 x=f(x)的根的根稳定性判断稳定性判断)2()()(*1xxxfxfxkk(1)的近似线性方
38、程的近似线性方程x*也是也是(2)的平衡点的平衡点1)(* xfx*是是(2)和和(1)的稳定平衡点的稳定平衡点1)(* xfx*是是(2)和和(1)的不稳定平衡点的不稳定平衡点补充知识补充知识一阶非线性差分方程一阶非线性差分方程) 1 ()(1kkxfx的平衡点及稳定性的平衡点及稳定性 数学建模数学建模)21()(*xbxf1)(* xf0yxxy )(xfy 4/b*x2/11)1 ()(xbxxfx)1 (1kkkxbxx的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点bx11*稳定性稳定性31 b2/ 1/ 11*bx*xxk（单调增）0 x1x1x2xx* 稳定稳定21)1( b)
39、1)(3*xfbx* 不不稳定稳定另一平衡另一平衡点为点为 x=01 rb1)0(bf不稳定不稳定b 2 数学建模数学建模3)3(b01/21y4/bxy )(xfy 0 x1x*x2xx32)2( b2/ 1/ 11*bx*xxk（振荡地）y0 xxy )(xfy 0 x1x2x*x2/114/b*xxk（不）)1 (1kkkxbxx的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性 数学建模数学建模)1 (1kkkxbxx初值初值 x0=0.2数值计算结果数值计算结果bx11*b 3.57, 不存在任何收敛子序列不存在任何收敛子序列混沌现象混沌现象4倍周期收敛倍周期收敛 数学建模数学建模)1 (1kkk
40、xbxx的收敛、分岔及混沌现象的收敛、分岔及混沌现象b 数学建模数学建模7.4 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律假设与建模假设与建模 种群按年龄大小等分为种群按年龄大小等分为n个年龄组，记个年龄组，记i=1,2, , n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2, 以雌性个体数量为对象以雌性个体数量为对象 第第i 年龄组年龄组1雌性个体在雌性个体在1时段内的时段内的繁殖率繁殖率为为b
41、i 第第i 年龄组在年龄组在1时段内的死亡率为时段内的死亡率为di, 存活率存活率为为si=1- di 数学建模数学建模1, 2 , 1),() 1(1nikxskxiii假设假设与与建模建模xi(k)时段时段k第第i 年龄组的种群数量年龄组的种群数量)() 1(kLxkx)0()(xLkxkTnkxkxkxkx)(),(),()(21按年龄组的分布向量按年龄组的分布向量预测任意时段种群预测任意时段种群按年龄组的分布按年龄组的分布000000121121nnnsssbbbbLLeslie矩阵矩阵(L矩阵矩阵)() 1(11kxbkxinii(设至少设至少1个个bi0) 数学建模数学建模稳定状态
42、分析的数学知识稳定状态分析的数学知识nkk, 3 , 2,1 L矩阵存在正单特征根矩阵存在正单特征根 1， 若若L矩阵存在矩阵存在bi, bi+10, 则则 nkk, 3 ,2,1)0()(xLkxk11),(PdiagPLnP的第的第1列是列是x*)0()0, 0 , 1 ()(lim11xPPdiagkxkkTnnssssssx11121212111*, 1特征向量特征向量*1)(limcxkxkk, c是由是由bi, si, x(0)决定的常数决定的常数 且且解解释释L对角化对角化11),(PdiagPLknkk*cx 数学建模数学建模*)() 1xckxk)() 1()2kxkx稳态分
43、析稳态分析k充分大充分大种群按年龄组的分布种群按年龄组的分布*1)(limcxkxkk 种群按年龄组的分布趋向稳定，种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布称稳定分布, 与初始分布无关。与初始分布无关。 各年龄组种群数量按同一各年龄组种群数量按同一倍数增减，倍数增减， 称固有增长率称固有增长率Tnssssssx121211*, 1)() 1(kxkxii)() 1(kLxkx与基本模型与基本模型比较比较3） =1时时*)() 1(cxkxkx 各年龄组各年龄组种群种群数量不变数量不变 数学建模数学建模 1个个体在整个存活个个体在整个存活期内的繁殖数量为期内的繁殖数量为11121121nnsssbsbb稳态分析稳态分析Tnssssx, 1 1211*,)()4*xckxk存活率存活率 si是同一时段的是同一时段的 xi+1与与 xi之比之比（与（与si 的定义的定义 比较）比较） )()1(1kxskxiii1,2, 1),()(1nikxskxiii3） =1时时*xLx Tnssssssx121211*, 1000000121121nnnsssbbbbL
