1、初三年级 数学新函数探究新函数探究知识层面确定自变量取值范围求函数值画函数图象根据图象研究函数性质函数与方程、不等式之间的联系能力层面研究函数的基本方法借助函数知识和方法解决问题一次函数二次函数反比例函数已有经验知识概要关键内容典型例题新函数探究一、知识概要函数概念函数图象描点法一个概念 一种方法 一种思想 数形结合实际问题抽象函数模型解决问题观察图象规律函数性质表格/表达式二、关键内容 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数 函数概念两个变量的相互关系两个实质单值对应描点法画函数图象描点法画
2、函数图象的过程：列表描点连线函数图象直观表示变量之间的单值对应关系探究函数性质解决问题 数形结合思想 在利用函数模型解决问题时，数形结合是重要的研究问题的方法图象法数量关系直观化、形象化表达式、列表法深入局部和细节三、典型例题例1 如图，在矩形ABCD中， E是BA延长线上的定点， M为BC边上的一个动点，连接ME，将射线ME绕点M顺时针旋转76，交射线CD于点F，连接MD76小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM的长度之间的关系进行了探究下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如上表位置1 位置2位置3
3、位置4位置5位置6位置7位置8位置9BM/cm0.000.531.001.692.172.963.463.794.00DF/cm0.001.001.742.492.692.211.140.001.00DM/cm4.123.613.162.522.091.441.141.021.00在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；BMDFDM76（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如上表位置1 位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9BM/cm0.000.531.001.692.172.
4、963.463.794.00DF/cm0.001.001.742.492.692.211.140.001.00DM/cm4.123.613.162.522.091.441.141.021.00在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；DMDFBM76思考： 如何在具体情境中确定哪个变量是自变量，哪个变量是函数呢？位置1 位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9BM/cm0.000.531.001.692.172.963.463.794.00DF/cm0.001.001.742.492.692.211.140.001.00DM/cm
5、4.123.613.162.522.091.441.141.021.00描点横坐标纵坐标BM的长度对应的DF的长度用平滑的曲线从左到右连线关注自变量取值范围（2）在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；（以BM的长是自变量，画表示DF长度的函数图象为例）（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF=2cm时，DM的长度约为 cm思考：直线y=2与函数y1图象交点的横坐标代表什么？自变量BM的长，约为1.23和3.14y=2表示DF长度的函数记为y1，表示DM长度的函数记为y2思考：如何求DM的长？当x=1.23和3.14时， 对应y2的值2.98，1.35数形结合理解图象上点的横
6、纵坐标代表的含义y2y1（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如上表位置1 位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9BM/cm0.000.531.001.692.172.963.463.794.00DF/cm0.001.001.742.492.692.211.140.001.00DM/cm4.123.613.162.522.091.441.141.021.00在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；DMDFBM76例2 在研究反比例函数1yx的图象与性质时，我们对函数解析式进行了
7、深入分析 首先确定自变量x的取值范围是全体非零实数，因此函数图象会被y轴分成两部分；其次分析解析式，得到y随x的变化趋势：当x0时，随着x值的增大， 1x的值减小，且逐渐接近于零；随着x值的减小， 的值会1x越来越大由此，可以大致画出在x0时的部分图象，如图所示： 1yx利用同样的方法，我们可以研究函数 的图象与性质通过分析解析式画出部分函数图象如图所示 11yx（1）请沿此思路在图中完善函数图象的草图并标出此函数图象上横坐标为0的点A；（画出网格区域内的部分图象即可）全体非零实数，因此函数图象会被y轴分成两部分；其次分例2 在研究反比例函数1yx的图象与性质时，我们对函数解析式进行了深入分析
8、 首先确定自变量x的取值范围是析解析式，得到y随x的变化趋势：当x0时，随着x值的增大， 1x的值减小，且逐渐接近于零；随着x值的减小， 的值会1x越来越大利用同样的方法，我们可以研究函数 的图象与性质通过分析解析式画出部分函数图象如图所示 11yx（1）请沿此思路在图中完善函数图象的草图并标出此函数图象上横坐标为0的点A；（画出网格区域内的部分图象即可）思考：函数 自变量的取值范围11yx01xx且y随x的变化趋势：当x1时，y随x的增大而减小思考：当0 x1时，y随x的增大而减小思考：当0 x1时，y随x的增大而减小；当0 x0时A11yx的图象与直线 有两个交点(1)ya x过定点(1,
9、0)当a0时A自变量的取值范围确定描点法函数图象函数表达式函数性质观察图象结合表达式数形结合解决问题增减性最值图象特征对称性探究函数图象性质的过程xy（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）x /cm 012345678y /cm3.02.41.91.82.13.44.25.0找准动点位置xyPE依题意准确画图精准测量2.7（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；x /cm 012345678y /cm3.02.41.91.82.13.44.25.02.7（3）结合画出的函数图象，解决问题：点
10、E是BC边的中点时，PA的长度约为 cm E86.8DE是ABC的中位线DE= AB=412（3）结合画出的函数图象，解决问题：点E是BC边的中点时，PA的长度约为 cm 6.8取BC的中点E方法二：作PEBC，交AB于点P测量AP的长PE补全表格有表达式应用取点、画图、测量代入求值函数图象描点法自变量取值范围关注与变量相关的等式几何图形性质解决问题数形结合无表达式例4 如图，Q是AB与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交AB于点C，连接AC已知 AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为 y1cm，A，C两点间的距离为y2cm小腾根据学
11、习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小腾的探究过程，请补充完整：y2y1x（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值x /cm0y1 /cmy2 /cm3.00y2Cy1Px（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象ACPC（3）结合函数图象，解决问题：当APC为等腰三角形时，AP的长度约为 cmACPC分类讨论：3当AC=PC时1当AP=PC时2当AP=AC时y2y1x3.00关注直线y=x与y1图象交点的横坐标关注y1与y2
12、图象交点的横坐标或或 4.81或或 5.86关注直线y=x与y2图象交点的横坐标函数图象描点法与变量相关的等式几何图形性质应用补全表格无表达式取点、画图、测量问题的解检验解决问题数形结合函数与方程的联系 从实际中抽象出函数的有关概念，又运用函数解决实际问题，这是贯穿于函数学习的主线例5 某种型号的电热水器工作过程如下：在接通电源以后，从初始温度20下加热水箱中的水，当水温达到设定温度60时加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到保湿温度30时，再次自动加热水箱中的水至60，加热停止；当水箱中的水温下降到30时，再次自动加热，按照以上方式不断循环 小宇根据学习函数的经验，对该型号电热水器
13、水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，发现水温y是时间x的函数，其中y(单位：)表示水箱中水的温度，x(单位：min)表示接通电源后的时间（1）小宇记录了从初始温度20第一次加热至设定温度60，之后水温冷却至保湿温度30的过程中，y随x的变化情况如下表所示接通电源后的时间接通电源后的时间x( (单位：单位：min) )水箱中水的温度水箱中水的温度y( (单位：单位：) )请写出一个符合加热阶段y与x关系的函数表达式 由表格可知，08分钟是加热阶段接通电源的时间每增加1min，水箱中水的温度增加5y=5x+20(0 x8)（1）小宇记录了从初始温度20第一次加热至设定温度60，之后水温冷却至保
14、湿温度30的过程中，y随x的变化情况如下表所示接通电源后的时间接通电源后的时间x( (单位：单位：min) )水箱中水的温度水箱中水的温度y( (单位：单位：) )根据该电热水器的工作特点，当第二次加热至设定温度60时，距离接通电源的时间x为 min26（2）根据上述的表格，小宇画出了当0 x20时的函数图象，请根据该电热水器的工作特点，帮他画出当20 x40时的函数图象接通电源后的时间接通电源后的时间x( (单位：单位：min) )水箱中水的温度水箱中水的温度y( (单位：单位：) )直线型：(20，30)，曲线型：(26，60)，直线型：(38，30)，(32，40)，(34，36)，(3
15、6，33)，(38，30)(30，45)，(28，51)，(40，40)(26，60)（2）根据上述的表格，小宇画出了当0 x20时的函数图象，请根据该电热水器的工作特点，帮他画出当20 x40时的函数图象接通电源后的时间接通电源后的时间x( (单位：单位：min) )水箱中水的温度水箱中水的温度y( (单位：单位：) )（3）已知适宜人体沐浴的水温约为35-40，小宇在上午8点整接通电源，水箱中水温为20，热水器开始按上述模式工作，若不考虑其他因素的影响，请问在上午9点30分时，热水器的水温（填“是”或“否”）适合他沐浴，理由是接通电源后的时间接通电源后的时间x( (单位：单位：min) )
16、水箱中水的温度水箱中水的温度y( (单位：单位：) )从第2分钟起，每18分钟，水温从30上升到60，再下降到30，循环一次从8:00-9:30，经过了90分钟，故9:30的水温与第18分钟时水温一致，是33，所以不适合沐浴新函数探究函数概念描点法画函数图象利用函数模型解决实际问题应用函数知识解决数学问题两个变量的相互关系单值对应自变量取值范围平滑曲线新函数探究函数概念描点法画函数图象利用函数模型解决实际问题应用函数知识解决数学问题图象性质增减性对称性图象特征最值变量间的关系解决新问题函数与方程、不等式的联系图表结合使用数形结合思想思考： 新函数探究问题多是利用函数模型解决问题，又有哪些情境是通过建立函数模型解决问题的呢？再 见
