1、平面向量复习课平面向量复习课 实际背景实际背景向量向量线性运算线性运算基本概念基本概念基本定理基本定理坐标表示坐标表示数量积数量积实实际际应应用用本章知识结构本章知识结构Q1:Q1:向量的表示方法有哪些？向量的表示方法有哪些？1)1)几何表示几何表示2)2)字符表示字符表示3)3)坐标表示坐标表示ABaAB 有向线段AB, i j （为相互垂直的单位向量）( , )axiy jx y( , )( , )aOAx yA x y 点(,)BABAaABxxyy （2）向量的模）向量的模（或长度）（或长度）：表示向量的有向线段的长度表示向量的有向线段的长度.（3）零向量：）零向量：模为零的向量，记作
2、模为零的向量，记作0.（4）单位向量：）单位向量：模为模为1的向量的向量.（5）相等向量：）相等向量：长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量.（6）相反向量：）相反向量：长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相反的向量.Q2Q2：向量有哪些概念？：向量有哪些概念？（1）向量：）向量： 既有大小，又有方向的量既有大小，又有方向的量.（7）平行向量）平行向量（共线向（共线向量）量）：（8）向量的数量积：）向量的数量积：方向相同或相反的非零向量方向相同或相反的非零向量.a b | |cosabQ3:Q3:向量的线性运算有哪些？向量的线性运算有哪些？加法运算加法运算数乘运算数乘运算减法运算减
3、法运算1.向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则2.向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则3.向量减法的三角形法则向量减法的三角形法则abABBCAC ABCDabABADAC 中，abABADDB 加法运算和减法运算加法运算和减法运算向量加法的运算律向量加法的运算律( (交换律、结合律）交换律、结合律）特点特点: :首尾相连，首指向尾为和首尾相连，首指向尾为和特点特点:起点相同对角为和起点相同对角为和特点：起点相同连接终点指向被减特点：起点相同连接终点指向被减ABCABDCBDA)0(aa)0(a实数与向量的积的实质是：实数与向量的积的实质是：向量的伸缩变换向量的伸缩变换。数乘运
4、算数乘运算是一个向量是一个向量4 4. .实数与向量的积实数与向量的积a1122(,),(,),1)2)3)ax ybxyababa若则1212(,)xxyy1212(,)xxyy11(,)xy线性运算的坐标形式线性运算的坐标形式Q4:Q4:本章平面向量的有关定理有哪些？本章平面向量的有关定理有哪些？,/ /ab ab 向量 和非零向量12210 x yx yab有唯一的实数 ，使1122(,),(,),axybxy若则共线定理共线定理平面向量基本定理平面向量基本定理12121 12212,.e eaaeee e 如果 、是同一平面内的两个不共线的向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一
5、对实数使,把不共线的向量 、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底),(2121aee时，当代数运算代数运算向量运算向量运算坐标坐标 （1 1）两个非零向量）两个非零向量 的的数量数量积积ab与a b | |cosab（2 2）向量数量积的几何意义）向量数量积的几何意义|cosbba叫做向量 在 方向上的投影可正可负可为零可正可负可为零|a ba AabBB1OQ5:Q5:向量的数量积需要我们掌握什么？向量的数量积需要我们掌握什么？(3)运算律运算律cbcacbabababaabba)(3()()()(2(1）（注意：注意：)()( :cbacba即数量积不满足结合律数量积不满足结合律(4)数量
6、积的有关公式数量积的有关公式1122,(,),(,),a baxybxy 设为两个非零向量，且则数量积：数量积：两点间的距两点间的距离：离：两向量垂直：两向量垂直：两向量夹角：两向量夹角：a b | |cosab2121yyxx向量的模：向量的模：222yxaa22)()(BABAyyxxABab12120 x xy ya b 222122212121cosyyxxyyxxbaba0, 两个非零向量两个非零向量 的夹角的夹角ab与向量夹角问题向量夹角问题aOABbab注意：保证同起点，若不是则平移到同一起点注意：保证同起点，若不是则平移到同一起点c学以致用学以致用例例1 线性运算的问线性运算的
7、问题：题：CFD.ADC.BEB.0A. ) (EFCDABABCDEF) 1 (中，如图，正六边形FEDCBA2-D.C.2.6B6-A.32),1 , 2(),3 , 1 ()2(的值为（）平行，则与若已知向量bababaAB例例2 平面向量基本定理的问题：平面向量基本定理的问题：)21,32D.()31,31C.()32,32B.()21,21A.(,ABFBECDECAEDB,ADABC）为（则（设，交于与，中，如图，yxbyaxAFbACaa)0 , 1 (xyob) 1 , 0(c)sin,(cos1cossin0)sin)(sin1 ()cos)(cos1 (0)()sin1 ,
8、cos(),sin,cos1 (即cbcacbca1)cos(sin23)sin1 ()cos1 ()sin1 ,cos1 (22cbacba而ABC._, 00,的最大值为则）（）满足（，若均为单位向量，且已知cbacbcacbacba例例3 向量的数量积：向量的数量积：baDcbaaxyobcABC圆弧单位圆的右上的轨迹是的终点41Cccacb._, 00,的最大值为则）（）满足（，若均为单位向量，且已知cbacbcacbacba练习练习一、选择题：一、选择题：1、如图所示，如图所示，G为为ABC的重心，则的重心，则GA+GB-GC等于（等于（ ） A. 0 B. GE C. 4GDD.
9、4GF2、若若a=(,2)，b=(-3,5)，且，且a与与b的的夹角为钝角，则夹角为钝角，则的取值范围是的取值范围是( ) A. B. C. D.3、已知已知|a|=18,|b|=1,ab=-9，则，则a和和b的夹角的夹角是（是（ ） A.120。 B.150。 C.60。 D.30。310310310310ABDCGFEDAA4、已知已知|a|=|b|=1,a与与b的夹角为的夹角为90。，c=2a+3b,d=ka-4b,cd,k=（ ） A. -6B. 6C. 3D. -35、已知已知|a|=3,|b|=4,(a+b)(a+3b)=33，则则a与与b的夹角为（的夹角为（ ） A. 30。 B
10、. 60。 C. 120。 D. 150。6.若若|a-b|= ,|a|=4,|b|=5,则则ab=( ) A.10 B.-10 C.10 D.1033232041BCA思想方法归纳思想方法归纳 1向量中“数与形”转化化归思想向量既有大小，又有方向，兼备“数”“形”双重特点.向量运算均有相应的几何性质，因此有关几何性质的问题可通过向量或其运算转化化归为代数问题来分析、探究. 2向量的工具性作用线段的长，直线的夹角，直线的平行与垂直关系均可用向量形式表示，从而向量具有工具性作用，可以用向量来研究几何问题，利用其运算可以用来研究代数问题. 查阅资料，了解向量在高中数学中有哪些应用？查阅资料，了解向量在高中数学中有哪些应用？
