1、第六讲第六讲 向量乘法向量乘法(内积、外积、混合积内积、外积、混合积)一一. 向量的内积向量的内积1. 向量的射影与正交分解向量的射影与正交分解.,.,.,aeakekaprapreaAOAlAelOaOAeaeee记为上的分量在称为实数从而有记为上的射影在方向量所表示的向量就称为向那么点上的射影是在直线设点的方向表示平行于单位向量的直线过表示向量用有向线段是一个单位向量是一个向量设(1)定义eOa1aAA2al.,2121方向的分解为正交分解沿向量则称向量若其中方向可分解为沿向量向量上图中eaaaaaaea(2)正交分解正交分解(3)向量的夹角向量的夹角.0,abbabababa，且，的夹角
2、记为与向量向量.,cos|:eaaaeae的方向上的分量在单位向量向量:命题1.)(,)(,akakbababaeeeeee有则对任意向量是一个单位向量设:命题22. 向量的内积概念及性质向量的内积概念及性质.,cos|bababababa定义为一个实数：的内积与两个向量(1)定义1.|,cos,|:|1bababaaaa有由定义. 0:1)2(baba垂直的充分必要条件是与向量定理. 0. 0)4();()()3(;)()2(;) 1(,:2)3(aaaIPbakbakIPcbcacbaIPabbaIPkcba而且等号成立等价于正定性：质：关于标量乘法的线性性质：关于向量加法的线性性对称性质
3、有以及实数对任意的向量向量的内积有下列性质定理. | )(, 00bababb 则若3. 用直角坐标计算向量的内积用直角坐标计算向量的内积.:),(),(,;,:3) 1 (332211321321bababababbbaaakjiOba则它们的内积为与下的坐标分别为在直角坐标系设向量定理232221232221332211232221arccos,bbbaaababababaaaaa从而(2). 向量的方向余弦非零向量 与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角方向角. .a, kajaia ,02322211cosaaaaiaiaxyzikja0a2322212cosaaaajaja2322213
4、cosaaaakaka cos， cos， cos称为向量称为向量a的方向余弦的方向余弦. 1coscoscos)cos,cos,(cos2220且单位向量aaa.365化成单位向量将向量kjia例1.,)2, 1 , 2(),3 , 2, 1 (的夹角求已知向量baba例2.703706705kjiaaa0:解93625365kjibababa,cos:解.31912622.) 1 , 1 , 1 (),2 , 1, 1 (上的射影在求向量eaea例3.eaaaapree,cos:解.32362116.),6, 3, 2(的方向余弦求向量aa例4.,72cos:解,73cos.76cos10
5、),2.(9, 7, 6, 5)2.(3)2.(1:46，教材作业P二二. 向量的外积向量的外积.),(,:,sin|:|,构成右手系并且使均垂直与它的方向规定为它的长度规定为仍是一个向量的外积与两个向量babababababababa:定义11. 外积的概念外积的概念2. 外积的的直接应用外积的的直接应用. 0,).1 (baba共线两个向量定理 :1.,/, 0,22121babaababbbbaba则其中方向的正交分解为沿向量向量如果特别地1b2bba(问题问题:外积的几何意义？)0(aa显然.90.,(bebbeebe得到的向量旋转右手螺旋规则绕按等于则是单位向量设定理:22).ebb
6、e.)( ,)(:)3();()(),()(2(;:) 1(,:cbcacbacabacbaEPbakbkabakbakEPabbaEPkcba分配律反交换律有：和任意实数对于任意向量外积具有下列运算性质:定理33. 外积的性质外积的性质4. 用直角坐标计算向量的外积用直角坐标计算向量的外积),(),(),(,;122131132332321321babababababababbbaaabakjiO 的坐标为：则分别是在其中的坐标与是一个右手直角标架设定理:4321321:bbbaaakjiba即)()(321321kbjbibkajaiaba分析分析:kjbabaikbabajibaba)(
7、)()(233231131221.)()()(122131132332kbabajbabaibaba.2,423都垂直的向量求与kjibkjia例1.cab解解211423 kji.510kj.21).6, 4 , 0(),1 , 1 , 4(),1, 0 , 1 (3边上的高的长度）求（的面积；）求（点已知空间ABABCCBA例2.ABCH5. 外积在立体几何中的应用外积在立体几何中的应用.)2() 1 ( :求夹角；点到直线或平面的距离解决的主要问题AB|ABACABdC由例2可知（教材P52):.)()()(,:5acbbcacbacba有对于任意的向量定理6. 二重外积二重外积7:57
8、P教材作业9, 5, 4:57P教材练习三三. 向量的混合积向量的混合积).,(.)(,3,. 1cbacbacba也可记为为这三个向量的混合积称个向量是设:定义1。左手系时混合积取负值混合积取正值；构成构成右手系时当平行六面体的体积个向量张成的这的混合积的绝对值等于个向量：定理,.3,3(cbacba11).2. 混合积的性质混合积的性质0)(,3(cbacba共面个向量定理:22).,3(要改变混合积的符号而对换任何两个因子都号个因子不会改变它的符轮换混合积的定理 :33)0),(cba).,(),(),(),(),(),(:bcaabccabbacacbcba即:, 3 显然有结论由定理
9、).()(:cbacba推论.3, 0,3个向量共面证明这满足：个向量设accbbacba例10),(,0),(),(),(:cbacacccbcbac从而作内积，则有将题设等式与分析3. 用直角坐标计算混合积用直角坐标计算混合积333222111321321321)(),(),(),;cbacbacbacbacccbbbaaacbakjiO则分别是（在其中的坐标和是一个右手直角坐标设定理 :4321321321cccbbbaaa),(122131132332bababababababa 的坐标为：分析分析:312212311312332)()()()(cbabacbabacbabacba则321321321cccbbbaaa.3, 0),(321的系数线性表示个向量被这求向量已知混合积cxbxaxddcba例2.).,(),(),( :1321cbaxcbcxbxaxcbd分析.)()(,4dbcbdacadcbadcba有个向量对任意定理5.)4(),3(),2.(3),4(),3.(2),2(),1.(1:6463P教材练习14) 1.(3),2(),1.(2),4(),3.(1:6463，教材作业P
