1、1第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n一、极大线性无关组的概念一、极大线性无关组的概念上一节讨论了向量组的线性相关与线性无关的概念，其上一节讨论了向量组的线性相关与线性无关的概念，其中线性无关也称为中线性无关也称为线性独立线性独立。系数及右端项构成系数及右端项构成行向量行向量，则线性相关与线性无关的概念实，则线性相关与线性无关的概念实反映了线性方程组中各个方程反映了线性方程组中各个方程是否关联是否关联或或是否独立是否独立。本节将讨论如果一个给定的向量组线性相关，那么，本节将讨论如果一个给定的向量组线性相关，那么，(1) 该向量组中到底有多少个向量是独立的？该向量组中到底有多少个向
2、量是独立的？(2) 具体哪些向量是独立的？具体哪些向量是独立的？(3) 其余的向量是如何由这些独立向量组合出来的？其余的向量是如何由这些独立向量组合出来的？如果以线性方程组中各方程的如果以线性方程组中各方程的2第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n一、极大线性无关组的概念一、极大线性无关组的概念定义定义如果向量组如果向量组 中的一个部分组中的一个部分组r ,21siii ,21满足满足: (1) 线性无关；线性无关；siii ,21(2) 向量组向量组 中的每一个向量都可由中的每一个向量都可由r ,21siii ,21线性表示，线性表示，(即在即在 中再加一个向量就相关中再加一个向
3、量就相关. .)siii ,21则称则称 为为 的的( (一个一个) )极大线性极大线性siii ,21r ,21无关组无关组。3第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n则则 是一个极大线性无关组；是一个极大线性无关组；,31 , ,41 ,32 等都是极大线性无关组。等都是极大线性无关组。由此可见，一个向量组的极大线性无关组不是惟一的。由此可见，一个向量组的极大线性无关组不是惟一的。 需要讨论的问题需要讨论的问题(1) 一个向量组中各极大线性无关组的向量个数是否惟一？一个向量组中各极大线性无关组的向量个数是否惟一？(2) 如何求出向量组的一个极大线性无关组？如何求出向量组的一个极大
4、线性无关组？如何将其余的向量表示为极大线性无关组的线性组合？如何将其余的向量表示为极大线性无关组的线性组合？4第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n设有两个向量组设有两个向量组1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示定义定义若向量组若向量组( () )中的每个向量都能由向量组中的每个向量都能由向量组( (I I) )线性表示，线性表示，mjmjjjccc 2211,),(2121 jmjjmccc 则称则称向量组向量组()()能由向量组能由向量组( (I I) )线性表示线性表示。,21jmjjccc,j 此时，对每个向量此时，对每个向量使得使得存在数存在数二、向量组的秩二、
5、向量组的秩5第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n, ),(21ssnB , ),(21mmnA 若记若记即有即有),(21s ,),(21222211121121 smmmssmccccccccc ,smmnsnCAB 其中其中 n 为向量的维数。为向量的维数。则所谓的则所谓的向量组向量组()()能由向量组能由向量组( (I I) )线性表示线性表示意味着意味着使得使得,smC 存在矩阵存在矩阵1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示二、向量组的秩二、向量组的秩6第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n,322211 1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示
6、二、向量组的秩二、向量组的秩例如例如设设向量组向量组 能由能由 线性表示：线性表示：4321, 4321, ,414433 则有则有.1100011000111001),(),(43214321 7第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示定理定理 设向量组设向量组 可由可由 线性表示，线性表示，s ,21r ,21二、向量组的秩二、向量组的秩则向量组则向量组 线性相关。线性相关。若若r ,21, sr 换句话说，若换句话说，若 线性无关，则线性无关，则. sr r ,21证明证明 ( (略略) )*推论推论n + 1 个个 n 维向量一定
7、线性相关。维向量一定线性相关。基本向量基本向量 线性表示线性表示neee,21因为任何因为任何 n 维向量都可由维向量都可由 n 维维8第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n 上述定理的直观解释上述定理的直观解释 （仅以（仅以 为例）为例）2, 3 sr(1) 设由两个向量设由两个向量 构成的向量组，通过线性组合得到构成的向量组，通过线性组合得到21, 三个向量三个向量,321 显然，即使显然，即使 是是线性独立线性独立的，也不可能线性组合出的，也不可能线性组合出21, 三个三个性线独立性线独立的向量；的向量；更何况更何况 本身可能是本身可能是21, 线性相关线性相关的。的。因此，
8、向量组因此，向量组 必然是必然是线性相关线性相关的。的。321, (2) 特别地，若特别地，若 “代表代表” 某方程组中的两个方程，某方程组中的两个方程，21, 显然，通过线性组合不可能得到更多的独立方程。显然，通过线性组合不可能得到更多的独立方程。9第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示2. 向量组之间的等价向量组之间的等价定义定义 若向量组若向量组 与向量组与向量组 能够相互能够相互s ,21m ,21线性表示线性表示 ，, ),(21ssnB , ),(21mmnA 此时此时, 若记若记其中其中 n 为向量的维数。为向量的维数。则
9、存在矩阵则存在矩阵 和和 使得使得smC ,msD ,smmnsnCAB ,mssnmnDBA 二、向量组的秩二、向量组的秩任何一个向量组与它的极大线性无关组是任何一个向量组与它的极大线性无关组是等价等价的。的。例如例如则称这两个则称这两个向量组向量组等价等价。10第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示二、向量组的秩二、向量组的秩性质性质(1) 反身性，反身性，(2) 对称性，对称性，(3) 传递性，传递性，即向量组自己与自己等价；即向量组自己与自己等价；若若 与与 等价，等价，( (I I) )()()则则 与与 等价；等价；( (I
10、 I) )()()若若 与与 等价，且等价，且 与与 等价，等价，()()( (I I) )()()()()则则 与与 等价。等价。( (I I) )()()2. 向量组之间的等价向量组之间的等价11第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示二、向量组的秩二、向量组的秩定理定理两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量2. 向量组之间的等价向量组之间的等价个数相等。个数相等。证明证明等价等价等价等价等价等价等价等价m ,21向量组向量组极大线性无关组极大线性无关组riii ,21n ,2
11、1向量组向量组极大线性无关组极大线性无关组siii ,2112第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示二、向量组的秩二、向量组的秩定理定理两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量2. 向量组之间的等价向量组之间的等价个数相等。个数相等。证明证明即即 可由可由 线性表示，线性表示，riii ,21siii ,21因此因此. sr 同理同理. sr 即得即得. sr 且且 线性无关，线性无关，riii ,2113第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1. 向量组之间的线性表示
12、向量组之间的线性表示二、向量组的秩二、向量组的秩推论推论(1) 若两个线性无关的向量组等价，则它们所含的向量若两个线性无关的向量组等价，则它们所含的向量2. 向量组之间的等价向量组之间的等价个数相等。个数相等。(2) 在一个给定的向量组中，各个极大线性无关组所含在一个给定的向量组中，各个极大线性无关组所含的向量个数相等。的向量个数相等。组的向量个数是惟一的。组的向量个数是惟一的。即即一个向量组中各极大线性无关一个向量组中各极大线性无关14第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示2. 向量组之间的等价向量组之间的等价二、向量组的秩二、向量组
13、的秩定义定义一个向量组中的极大线性无关组所含一个向量组中的极大线性无关组所含的向量个数称为的向量个数称为3. 向量组的秩向量组的秩向量组的向量组的秩秩。结论结论等价的向量组秩相等。等价的向量组秩相等。15第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示2. 向量组之间的等价向量组之间的等价3. 向量组的秩向量组的秩二、向量组的秩二、向量组的秩4. 向量组的秩与矩阵秩的关系向量组的秩与矩阵秩的关系16第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n设设定理定理4. 向量组的秩与矩阵秩的关系向量组的秩与矩阵秩的关系二、向量组的秩二、向量组的秩m ,
14、21 的秩的秩则则)(Arn ,21 的秩。的秩。通常说，通常说，矩阵的秩矩阵的秩等于等于行秩行秩等于等于列秩列秩(行秩行秩)(列秩列秩) 此定理给出了一种求向量组的秩的方法。此定理给出了一种求向量组的秩的方法。17第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n证明证明(1) 首先证明一个引理：首先证明一个引理：QCP化为标准形化为标准形, tI000其中其中. st ,1 tIP000可逆矩阵可逆矩阵 P 和和 使得使得,ssQ 事实上，对于矩阵事实上，对于矩阵 ,21sC 下面利用反证法证明下面利用反证法证明. st 可逆矩阵可逆矩阵 P 和和 使得使得若若列列向量向量 线性无关，线性
15、无关，s ,21则存在则存在 .21 ssIQP 0,Q tIPP)(21000QC tIP1000即即一定存在一定存在18第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n sssssssqqqqqqqqqQC11222211121121 假设假设 则有则有, st ,2211 sssssqqq 0由由 Q 可逆，有可逆，有 不全为零，不全为零，ssssqqq,21这与这与 线性无关矛盾，因此引理成立。线性无关矛盾，因此引理成立。s ,21证明证明(1) 首先证明一个引理：首先证明一个引理：可逆矩阵可逆矩阵 P 和和 使得使得若若列列向量向量 线性无关，线性无关，s ,21则存在则存在 .2
16、1 ssIQP 0,Q 000tIP1019第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n证明证明它的一个极大线性无关组为它的一个极大线性无关组为,21s 则存在可逆则存在可逆),(),(2121snR 0记为记为,C QCP, sI00 0(2) 设由矩阵设由矩阵 A 的的列列构成的向量组构成的向量组 的秩为的秩为 s，n ,21对矩阵对矩阵 根据引理一定存在可逆阵根据引理一定存在可逆阵 和和 使得使得P,Q,C矩阵矩阵 R，使得，使得 QRAP, sI00 0即得即得sQRAPrAr )()(n ,21 的秩的秩 .进一步有进一步有)()(TArAr m ,21 的秩的秩 .20第三章
17、 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n4. 向量组的秩与矩阵秩的关系向量组的秩与矩阵秩的关系二、向量组的秩二、向量组的秩推论推论设设 A 为为 mn 阶矩阵，且阶矩阵，且 则有则有,)(rAr (1) 当当 r = m 时，时，A 的的行行向量线性无关，向量线性无关，当当 r m 时，时，A 的的行行向量线性相关；向量线性相关；(2) 当当 r = n 时，时，A 的的列列向量线性无关，向量线性无关，当当 r n 时，时，A 的的列列向量线性相关；向量线性相关；特别地，方阵特别地，方阵 A 的的行行( (列列) )向量线性无关的充要条件向量线性无关的充要条件是是.0| A21第三章 维向
18、量空间3.4 向量组的极大线性无关组n三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系 首先介绍几个引例，用来掌握首先介绍几个引例，用来掌握在什么情况下在什么情况下，可以非常，可以非常容易地知道一个容易地知道一个列向量组列向量组的的秩秩、极大线性无关组极大线性无关组以及它以及它们之间的们之间的线性组合关系线性组合关系。引例引例11 2 4 3 (1) 向量组的秩为向量组的秩为 2;(2) 极大线性无关组为极大线性无关组为;,21 (3) 组合关系组合关系,32213 .4)1(214 000000004310120122第三章 维向量空间3.4 向量组的极大
19、线性无关组n引例引例21 2 4 3 (1) 向量组的秩为向量组的秩为 2;(2) 极大线性无关组为极大线性无关组为;,31 (3) 组合关系组合关系,2312 .23314 (1) 向量组的秩为向量组的秩为 3;(2) 极大线性无关组为极大线性无关组为;,421 引例引例31 2 4 3 5 (3) 组合关系组合关系,0524213 .644215 0000000021203011 0000061000105104020123第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系1. 原理原理定理定理设矩阵设矩阵
20、 A 经过经过行行变换得到矩阵变换得到矩阵 B，矩阵矩阵 B 的的列列向量有向量有相同的线性组合关系相同的线性组合关系。证明证明设设, ),(21mB , ),(21mA 则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵 P，使得，使得,BAP ,1BPA 若若有有,0 XA,01 XBP,0 XB若若有有,0 XB,0 XAP,0 XA即方程即方程 与与 同解，同解，0 XB0 XA故故 与与 有有相同的线性组合关系。相同的线性组合关系。m ,21m ,21则矩阵则矩阵 A 的的列列向量与向量与24第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系三、如何求向量组的极大
21、无关组及线性组合关系1. 原理原理2. 方法方法(1) 无论所给的向量组是行向量还是列向量，都按照无论所给的向量组是行向量还是列向量，都按照列向量列向量排列，并构成矩阵排列，并构成矩阵 A ；(2) 对矩阵对矩阵 A 进行初等进行初等行变换行变换得到得到行标准形行标准形矩阵矩阵 B ；(3) 根据矩阵根据矩阵 B 的秩及其列向量的线性组合关系，直接得出的秩及其列向量的线性组合关系，直接得出原向量组的原向量组的秩秩、极大线性无关组极大线性无关组以及以及线性组合关系线性组合关系。25第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n 151225311421例例 设设 求求(1) 向量组的秩向量组
22、的秩;(2) 向量组的极大线性无关组；向量组的极大线性无关组；(3) 将其余向量表示为极大线性无关组的线性组合。将其余向量表示为极大线性无关组的线性组合。1 2 4 3 解解 333011101421行变换行变换26第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n(1) 向量组的秩为向量组的秩为 2;(2) 极大线性无关组为极大线性无关组为;,21 (3) 线性组合关系为线性组合关系为,2213 .)1(214 333011101421行变换行变换 00001110120127第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1 2 4 3 解解TTTT 8642753243213211行变
23、换行变换例例设设(1) 向量组的秩向量组的秩;(2) 向量组的极大线性无关组；向量组的极大线性无关组；(3) 将其余向量表示为极大线性无关组的线性组合。将其余向量表示为极大线性无关组的线性组合。求求 222011101110321128第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n 由于极大线性无关组是不惟一的，因此可以根据要求选择由于极大线性无关组是不惟一的，因此可以根据要求选择不同的极大线性无关组，不同的极大线性无关组，(1) 向量组的秩为向量组的秩为 2;(2) 极大线性无关组为极大线性无关组为;,21 (3) 线性组合关系为线性组合关系为,213 .2214 行变换行变换 2220
24、111011103211行行变换变换，此时只需按要求对矩阵继续进行此时只需按要求对矩阵继续进行比如：比如： 000000001110210129第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n 0000000011102101极大线性无关组为极大线性无关组为;,41 线性组合关系为线性组合关系为,)2(412 .)1(413 第一种选择第一种选择 0000000011100121行变换行变换21)2(rr 30第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n 0000000010112101行变换行变换12)1(rr 0000000011102101第二种选择第二种选择极大线性无关组为极大线性无关组为;,32 线性组合关系为线性组合关系为,)1(321 .2)1(324
