1、时间序列分析研究客观现象随时间发展时间序列分析研究客观现象随时间发展变化的特征与规律，以达到对现状的认识和变化的特征与规律，以达到对现状的认识和未来发展变化趋势的把握。未来发展变化趋势的把握。根据数据的特征，可采用适当的数学模根据数据的特征，可采用适当的数学模型进行近似描述。地学研究中任何时间序列型进行近似描述。地学研究中任何时间序列均可能包含参与其中所有变量共同影响的信均可能包含参与其中所有变量共同影响的信息，因此尽管目前有关动力学建模的尝试很息，因此尽管目前有关动力学建模的尝试很多，但时间序列分析仍是目前研究工作中卓多，但时间序列分析仍是目前研究工作中卓有成效的、重要的组成部分。有成效的、
2、重要的组成部分。1 1 时间序列及其数学描述时间序列及其数学描述 2 2 时间序列的构成和分解时间序列的构成和分解3 3 确定性时间序列分析模型确定性时间序列分析模型4 4 随机时间序列分析模型随机时间序列分析模型5 5 马尔科夫预测技术马尔科夫预测技术1. 1. 时间序列的概念和作用时间序列的概念和作用2. 2. 平稳随机过程平稳随机过程3. 3. 时间序列时间序列 客观现象总是表现出随时间推移而变化的动客观现象总是表现出随时间推移而变化的动态特性。态特性。 (1) (1)从从静态上静态上揭示其数量特征和数量关系；揭示其数量特征和数量关系； (2) (2)从从动态上动态上揭示其发展变化过程及
3、演变规律。揭示其发展变化过程及演变规律。 时间序列（动态数列）：将某一或某些指标按时间序列（动态数列）：将某一或某些指标按时间次序顺序排列所构成的序列。时间次序顺序排列所构成的序列。构成因素：构成因素：一是研究现象所属的时间；一是研究现象所属的时间；二是现象不同时间点数量特征的指标值。二是现象不同时间点数量特征的指标值。要求：各指标值时间单位相等，无需考虑时间要求：各指标值时间单位相等，无需考虑时间单位不同所引起的差异。单位不同所引起的差异。 实际上可将其概念泛化，只要是按一定次序排实际上可将其概念泛化，只要是按一定次序排列的数据序列即可采用时间序列的研究方法进行研列的数据序列即可采用时间序列
4、的研究方法进行研究，如基于深度的序列，基于空间排列方向的序列究，如基于深度的序列，基于空间排列方向的序列等等。等等。 是进行动态分析的依据，主要作用有：是进行动态分析的依据，主要作用有：系统描述：根据统计分析，考察现象发展变系统描述：根据统计分析，考察现象发展变化的方向、速度与结果，并进行动态比较。化的方向、速度与结果，并进行动态比较。系统分析：对不同序列进行综合研究，揭示系统分析：对不同序列进行综合研究，揭示现象之间相互联系的程度及其动态演变关系，从而现象之间相互联系的程度及其动态演变关系，从而深入了解给定时间序列产生的机理。深入了解给定时间序列产生的机理。预测和控制：建立数学模型，描述现象
5、发展预测和控制：建立数学模型，描述现象发展变化的特征与趋势，揭示其变动规律，对未来发展变化的特征与趋势，揭示其变动规律，对未来发展状况进行预测。状况进行预测。2.1 2.1 随机过程随机过程2.2 2.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征2.2.1 2.2.1 均值函数均值函数2.2.2 2.2.2 方差函数与标准差函数方差函数与标准差函数2.2.3 2.2.3 自协方差函数与自相关函数自协方差函数与自相关函数 随机过程定义为一簇随机变量，即随机过程定义为一簇随机变量，即 ， 其中：其中：T T称为参数集，是时间称为参数集，是时间t t的变化范围。的变化范围。 T T的取值范围可以为的取值
6、范围可以为: : 连续区间（如连续区间（如 ） 离散集合（如离散集合（如 ），）， 前者称为连续参数过程前者称为连续参数过程; ; 后者则称离散参数过程或随机序列。后者则称离散参数过程或随机序列。,tX t T(,) (0, 1, 2,) 同时兼有随机性和非随机性的双重性质：同时兼有随机性和非随机性的双重性质：(1)(1)对某一固定时刻对某一固定时刻t t0 0，随机过程，随机过程 XtXt 表现为随表现为随机变量机变量XtXt0 0. .(2)(2)是对某一次观测而言，随机过程是对某一次观测而言，随机过程 XtXt 又表现又表现为为t t的非随机函数，即由各个时刻一种可能取值所构的非随机函数
7、，即由各个时刻一种可能取值所构成的样本函数，若记为成的样本函数，若记为 ， ，则全，则全部样本函数集合构成随机过程部样本函数集合构成随机过程 XtXt 的全体。的全体。( )ix t1,2,iN2.2.1 2.2.1 均值函数均值函数 随机过程，固定随机过程，固定t t，XtXt是一个随机变量，是一个随机变量，设其均值为设其均值为t t。当当t t变动时，均值是变动时，均值是t t的函数，记为的函数，记为 ，此即为随机过程的均值函数，它反映了随机过程变此即为随机过程的均值函数，它反映了随机过程变化的平均趋势。化的平均趋势。,tX t T()ttE X 随机过程，固定随机过程，固定t t，XtX
8、t的方差为的方差为，当，当t t变动时，此方差是变动时，此方差是t t的函数，记为的函数，记为: :此为随机过程的方差函数。此为随机过程的方差函数。 方差函数的平方根称为随机过程的标准方差函数的平方根称为随机过程的标准差函数，反映了随机过程差函数，反映了随机过程XtXt相对于均值的偏相对于均值的偏离程度。离程度。,tX tT2t22()() ttttVar XE X在随机过程中，除了要刻画各个时刻的统计在随机过程中，除了要刻画各个时刻的统计特性外，还需要了解不同时刻间的统计联系的数特性外，还需要了解不同时刻间的统计联系的数字特征。对于两个随机变量，可用其协方差或相字特征。对于两个随机变量，可用
9、其协方差或相关系数描述其相关程度。在随机过程中主要用自关系数描述其相关程度。在随机过程中主要用自协方差函数和自相关函数来描述。协方差函数和自相关函数来描述。 ( ),X t tT, t sT对随机过程对随机过程，取，取定义其自协方差函数为：定义其自协方差函数为：,(,)()()t ststtssCov XXE XX(3.1),t ss t,t st st stst ts s ,1,t tt ss t, t s 刻画了随机过程刻画了随机过程X Xt t在时刻在时刻t t和时刻和时刻s s处处取值的相关程度。由定义可知：取值的相关程度。由定义可知：2,()t tttVar X当当t=st=s时，时
10、，即为方差函数。即为方差函数。自相关函数是标准化的自协方差函数，并有：自相关函数是标准化的自协方差函数，并有：, t s标准化，即可定义自相关函数：标准化，即可定义自相关函数：若将若将（3.2）1212, ,(,)mmtttt ttxxx12121212(,)(,;,)mtttmmmP xxxFxxxx xx t tt 通常所说的时间序列是一类特殊的随机过程通常所说的时间序列是一类特殊的随机过程离散随机过程。离散随机过程。 时间序列的概率结构是被其有限维分布簇所确时间序列的概率结构是被其有限维分布簇所确定的。也就是说，当对每个自然数定的。也就是说，当对每个自然数m m和每组整数和每组整数的的m
11、 m维联合分布维联合分布 （3.33.3）都被给定时，时间序列都被给定时，时间序列X X(t(t) )的概率结构被完全确定。的概率结构被完全确定。平稳时间序列又称为平稳序列，是最重平稳时间序列又称为平稳序列，是最重要的一类时间序列，其研究程度最为深入，要的一类时间序列，其研究程度最为深入，应用也最为广泛。平稳时间序列的统计特性应用也最为广泛。平稳时间序列的统计特性不随时间推移而变化。平稳序列又可分为：不随时间推移而变化。平稳序列又可分为：3.2.1 3.2.1 严平稳时间序列严平稳时间序列3.2.2 3.2.2 宽平稳时间序列宽平稳时间序列12121212( ,;,)( ,; , ,)mmmm
12、F x xxts tstsF x xxt tt12,mtststsxxx12,mttt如对任意正整数如对任意正整数m m和整数和整数序列中的随机变量序列中的随机变量的联合分布与整数的联合分布与整数s s无关，即：无关，即： （3.43.4） 这表明严平稳序列的任何有限维联合分布具有时这表明严平稳序列的任何有限维联合分布具有时间平移不变性，即仅与坐标的个数及之间的相对位间平移不变性，即仅与坐标的个数及之间的相对位置有关。置有关。表明宽平稳序列的均值和自协方差函数随时间表明宽平稳序列的均值和自协方差函数随时间平移具有不变性。条件（平移具有不变性。条件（2 2）表明宽平稳序列的自协）表明宽平稳序列的
13、自协方差函数只与方差函数只与t-st-s有关。有关。宽平稳序列指如果宽平稳序列指如果tx具有有穷的二阶矩，具有有穷的二阶矩，ttExc( , )()()(,0)tst sE xc xcts而且满足以下条件：而且满足以下条件： 一个严平稳序列未必有二阶矩，即未必是宽平一个严平稳序列未必有二阶矩，即未必是宽平稳序列；而宽平稳序列的分布未必随时间平移具有稳序列；而宽平稳序列的分布未必随时间平移具有不变性，即未必是严平稳序列。不变性，即未必是严平稳序列。 tx必是宽平稳序列。必是宽平稳序列。 tx2tEx 是严平稳序列，且是严平稳序列，且，则，则但如果但如果 平稳时间序列的遍历性是指可用一个较长期的平
14、稳时间序列的遍历性是指可用一个较长期的现实来估计平稳序列的统计特征，即只要观测时间现实来估计平稳序列的统计特征，即只要观测时间充分长，则它的每一个现实都能遍历所有的可能状充分长，则它的每一个现实都能遍历所有的可能状态，因而可用某一个现实的时间平均近似代替它在态，因而可用某一个现实的时间平均近似代替它在固定时刻的统计平均。固定时刻的统计平均。 TT遍历性非遍历性遍历性非遍历性11()ntttE xxxn11()(),0n kkt kttxx xxknn0,0kkkn若平稳序列若平稳序列tx12,nx xx有有n n个样本个样本样本均值为：样本均值为：样本的自协方差函数为：样本的自协方差函数为：样本的自相关函数为：样本的自相关函数为：,kkkk当当n n充分大时，有：充分大时，有：（3.6）（3.7）（3.8）
