1、第 1 页，共 17 页期中数学试卷期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）1.如果某等腰三角形的两条边长分别为 4 和 8，那么它的周长为（）A. 16B. 20C. 20 或 16D. 不确定2.ABC 中，AB=AC，顶角是 120，则一个底角等于（）A. 120B. 90C. 60D. 303.满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（）A. 三角形的三边长满足关系 a+b=cB. 三角形的三边长之比 2：3：4C. 三角形的三边长分别为 5、12、13D. 三角形的一边长等于另一边长的一半4.如图，已知 AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍然
2、不能判定ABCADC 的是（）A. CB=CDB. B=D=90C. BAC=DACD. BCA=DCA5.直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（）A. 三角形内B. 三角形外C. 斜边的中点D. 不能确定6.如图，CDAB，BEAC，垂足分别为 D、E，BE、CD 相交于点 O如果 AB=AC， 那么图中全等的直角三角形的对数是（）A. 1B. 2C. 3D. 47.如图，以 RtABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边 AB=3，则图中的阴影部分的面积（）A. 9B. C. D. 3第 2 页，共 17 页8.如图，在等边三角形 ABC 中，AC=9，点 O 在 AC 上，
3、点 E 在 AB 上，点 F 在 BC 上，且 AO=3，OE=OF，EOF=60，则 BF 的长是（）A. 4B. 8C. 5D. 6二、填空题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）9.在ABC 中，ACB=90，AC=6，AB=10，BC=_10.已知ABCABC，A=60，B=40，则C=_11.直角三角形的三边长为连续整数，则这三个数分别为_12.如图，AB=AC=AD，如果BAC=28，ADBC，那么D=_13.如图，BD 是ABC 的角平分线，DEAB，垂足为 EDE=12，BC=14，则BCD 的面积为_14.如图，在 RtABC 中，ACB=90， A=48，将其折叠， E
4、 是点 A落在边 BC 上的点，折痕为 CD，则EDB 的度数为_15.如图， 在 33 的正方形网格中， 已有两个小正方形被涂黑 再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有_ 种16.如图，在ABC 中，ABC、ACB 的平分线相交于点 O若A=68，则BOC 度数是_第 3 页，共 17 页17.已知：如图，四边形 ABCD 中，ABC=ADC=90，AC 与BD 相交于点 O，E、F 分别是 AC、BD 的中点则EFO=_18.如图，以等腰三角形 AOB 的斜边为直角边向外作第 2 个等腰直角三角形 ABA1， 再以等腰直角三角形 ABA1的斜边为直角边向外作
5、第 3 个等腰直角三角形 A1BB1，如此作下去，若OA=OB=1，则第 n 个等腰直角三角形的面积 Sn= _ 三、解答题（本大题共 10 小题，共 96.0 分）19.如图，ABCD（1）用直尺和圆规作C 的平分线 CP，CP 交 AB 于点 E（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）中作出的线段 CE 上取一点 F，连接 AF要使ACFAEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明）第 4 页，共 17 页20.如图，在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，DEAC，垂足为 E，CD=5，DE=4，求ABC 的面积21
6、.如图，AD 是ABC 的中线，AB：AD：BC=13：12：10，ABD的周长是 60cm求 AC22.已知 ： 如图，ABCD，AB=CD，AD、BC 相交于点 O，BECF，BE、CF 分别交 AD 于点 E、F求证：BE=CF第 5 页，共 17 页23.某中学有一块四边形空地 ABCD，如图现计划在该空地上种草皮，经测量A=90， AB=16m， BC=25m， CD=15m， AD=12m若每平方米草皮需 100 元，问需投入多少元？24.如图，ACBC，DCEC，AC=BC，DC=EC（1）求证：AE=BD；（2）求证：AEBD25.如图，在ABC 中，BAC=90，AB=24，
7、AC=32，ADBC，垂足为 D，BC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于点 E、F求 AD 与 EF 的长第 6 页，共 17 页26.ABC 的三边长分别是 a、b、c，且 a=n2-1，b=2n，c=n2+1（1）判断三角形的形状；（2）若以边 b 为直径的半圆面积为 2，求ABC 的面积；（3） 若以边 a、b 为直径的半圆面积分别为 p、q，求以边 c 为直径的半圆面积（用 p、q 表示）27.如图，在ABC 中，AB=AC，点 D 在 BC 上，且 BD=BA，点 E 在 BC 的延长线上，且 CE=CA（1）若BAC=90（图 1），求DAE 的度数；（2）若BAC=120（图
8、2），求DAE 的度数；（3）当BAC90时，探求DAE 与BAC 之间的数量关系，直接写出结果28.如图 1，ABC 和CDE 都是等边三角形，且点 A、C、E 在一条直线上，AD 与 BE交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，CD 与 BE 交于点 Q，连接 PQ（1）求证：AD=BE；（2）AOB 的度数为_；PQ 与 AE 的位置关系是_；（3）如图 2，ABC 固定，将CDE 绕点 C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度 ，在旋转过程中，（1） 中的结论是否总成立？AOB 的度数是否改变？并说明理由第 7 页，共 17 页第 8 页，共 17 页答案和解析答案和解析1.【答案】B
9、【解析】解：若 4 为腰，8 为底边，此时 4+4=8，不能构成三角形，故 4 不能为腰；若 4 为底边，8 为腰，此时三角形的三边分别为 4，8，8，周长为 4+8+8=20，综上三角形的周长为 20故选：B因为等腰三角形的腰与底边不确定，故以 4 为底边和腰两种情况考虑：若 4 为腰，则另外一腰也为 4，底边就为 8，根据 4+4=8，不符合三角形的两边之和大于第三边，即不能构成三角形；若 4 为底边，腰长为 8，符合构成三角形的条件，求出此时三角形的周长即可此题考查了等腰三角形的性质，以及三条线段构成三角形的条件，利用了分类讨论的数学思想，由等腰三角形的底边与腰长不确定，故分两种情况考虑
10、，同时根据三角形的两边之和大于第三边，舍去不能构成三角形的情况2.【答案】D【解析】解：ABC 中，AB=AC，顶角是 120，B=C，A=120A+B+C=180，B=C=30，故选：D根据等腰三角形的性质得出B=C，根据题意得出A=120，根据三角形内角和定理即可求得底角的度数本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边对等角是解题的关键3.【答案】C【解析】解：A、三角形的三边满足关系 a+b=c，不符合勾股定理的逆定理，故本选项错误；B、22+32=1342=16，此三角形不是直角三角形，故本选项错误；C、52+122=132，此三角形是直角三角形，故本选项正确；D、三角
11、形的一边等于另一边的一半无法判断三角形的形状，故本选项错误故选：C根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形4.【答案】D【解析】解：A、添加 CB=CD，根据 SSS，能判定ABCADC；B、添加B=D=90，根据 HL，能判定ABCADC；C、添加BAC=DAC，根据 SAS，能判定ABCADC；D、添加BCA=DCA 时，不能判定ABCADC，故选：D要判定ABCADC，已知 AB=AD，AC 是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、BAC=DAC、B=D=90
12、后可分别根据 SSS、SAS、HL 能判定ABCADC第 9 页，共 17 页，而添加BCA=DCA 后则不能本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有 ： SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角5.【答案】C【解析】解：直角三角形的外接圆圆心在斜边中点可得直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的斜边中点故选 C垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，由此可得出此交点在斜边中点此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识， 线段的垂直平分线上的点到线段的
13、两个端点的距离相等6.【答案】C【解析】解：CDAB，BEAC，ADC=AEE=90，在ADC 和AEB 中，ADCAEB（AAS）；AD=AE，C=B，AB=AC，BD=CE，在BOD 和COE 中，BODCOE（AAS）；OB=OC，OD=OE，在 RtADO 和 RtAEO 中，RtADORtAEO（HL）；共有 3 对全等三角形，故选：C共有 3 对，分别为ADCAEB，BODCOERtADORtAEO；做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找，并为直角三角形即可本题考查三角形全等的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键7.【答案】A【解析】解：在
14、RtABC 中，AB2=AC2+BC2，AB=3，S阴影=SAEC+SBFC+SADB= （）2+ （）2+ （）2= （AC2+BC2+AB2）= AB2，= 32第 10 页，共 17 页= 故选：A先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，进而可将阴影部分的面积求出本题主要是考查勾股定理的应用，比较简单注意：以直角三角形的两条直角边为斜边的两个等腰直角三角形的面积的和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积；等腰直角三角形的斜边是直角边的倍8.【答案】D【解析】解：ABC 为等边三角形，A=C=60，BC=AC=9，AOE+AEO+A=180，A
15、OE+COF+EOF=180，AOE+AEO=120，AOE+COF=120，AEO=COF，在AOE 和CFO 中，AOECFO（AAS），AO=CF=3，BF=BC-CF=6；故选：D根据“AAS”判断AOECFO，得出 AO=CF=3，即可得出答案本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键9.【答案】8【解析】解：由勾股定理得：BC=8，故答案为：8由勾股定理可得结论本题考查了勾股定理，属于基础题，掌握勾股定理是关键10.【答案】80【解析】解：ABCABC，A=A=60，B=B=40，C=180-60-40=80故答案为：80直接利用全等三角形
16、的性质得出对应角相等进而得出答案此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角是解题关键11.【答案】3，4，5【解析】解：设这个直角三角形三边长分别为 a、a+1、a+2，则根据勾股定理：a2+（a+1）2=（a+2）2，解得：a=3，或 a=-2（舍去），a=3，a+2=4，a+2=5，即这三个数分别为 3，4，5设直角三边长为 a、a+1、a+2、，则 a+2 为斜边，由勾股定理得出方程，解方程求出 a第 11 页，共 17 页，即可得出结果本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用， 本题中抓住三边为三个连续整数是解题的关键12.【答案】38【解析】解：AB=AC，BAC=28，ABC
17、=ACB= （180-28）=76，ADBC，DAC=C=76，BAD=BAC+DAC=28+76=104，AB=AD，D=ABD= （180-104）=38，故答案为 38想办法求出BAD，再利用等腰三角形的性质即可解决问题本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型13.【答案】84【解析】解：作 DFBC 于 F，BD 平分ABC，DEAB，DFBC，DF=DE=12，BCD 的面积= BCDF= 1412=84，故答案为：84作 DFBC 于 F，根据角平分线的性质得到 DF=DE=12，根据三角形的面积公式计算 ，得到
18、答案本题考查的是角平分线的性质， 掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键14.【答案】8【解析】解：ACB=90，A=48，B=90-A=90-48=42，CDE 是CDA 翻折得到，CED=A=48，在BDE 中，CED=B+EDB，即 48=42+EDB，EDB=8故答案为：8根据直角三角形两锐角互余求出B，在BDE 中，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，翻折的性质，熟记性质是解题的关键15.【答案】5【解析】第 12 页，共 17 页【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练
19、掌握轴对称图形的性质是解题关键根据轴对称图形的性质分别得出即可【解答】解：如图所示：所标数字 1，2，3，4，5 都符合要求，一共有 5 种方法故答案为 516.【答案】124【解析】解：在ABC 中，ABC+ACB=180-A=112BO 平分ABC，CO 平分ACB，OBC= ABC，OCB= ACB，OBC+OCB= （ABC+ACB）=56在BCO 中，BOC=180-（OBC+OCB）=124故答案为：124在ABC 中，利用三角形内角和定理可求出（ABC+ACB）的度数，由角平分线的定义可求出（OBC+OCB） 的度数，再在BCO 中，利用三角形内角和定理可求出BOC度数本题考查了
20、三角形内角和定理以及角平分线的定义， 利用三角形内角和定理及角平分线的定义，找出（OBC+OCB）的度数是解题的关键17.【答案】90【解析】解：连接 EB、ED，ABC=90，E 是 AC 的中点，BE= AC，同理，DE= AC，EB=ED，又 F 是 BD 的中点，EFBD，EFO=90，故答案为：90连接 EB、ED，根据直角三角形的性质得到 EB=ED，根据等腰三角形的性质得到答案本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键18.【答案】2n-2【解析】解：根据直角三角形的面积公式，得 S1= =2-1；根据勾股定理，得：
21、AB=，则 S2=1=20；A1B=2，则 S3=21，第 13 页，共 17 页依此类推，发现：Sn=2n-2本题要先根据已知的条件求出 S1、 S2的值， 然后通过这两个面积的求解过程得出一般化规律，进而可得出 Sn的表达式本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值19.【答案】解：（1）作图如右；（2）取点 F 和画 AF 正确（如图）；添加的条件可以是：添加 AFCE，可根据 AAS 判定ACFAEF；添加CAF=EAF，可根据 AAS 判定ACFAEF 等（选一个即可）【解析】（1）本题首先作出图形（2）要使ACFAEF，添加 AFCE 或CAF=EAF
22、 后可分别根据 AAS 判定ACFAEF是一个尺规作图题常见错误 主要问题有作图后没有留下痕迹，没有在图中标出应有的字母 F补充的条件时，只是补充ACE=CEA，没有对这种图形分析20.【答案】解：CD 是斜边 AB 上的中线，AB=2CD=10，BCA=90，DEAC，BCDE，又点 D 是 AB 的中点，BC=2DE=8，由勾股定理得，AC=6，ABC 的面积= 68=24【解析】 根据直角三角形的性质求出 AB，根据三角形中位线定理求出 BC，根据勾股定理求出 AC，根据三角形的面积公式计算，得到答案本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理、三角形的面积计算，掌握在直角三角形中，斜
23、边上的中线等于斜边的一半是解题的关键21.【答案】解：设 AB=13x，AD=12x，BC=10 x，AD 是ABC 的中线，BD=CD=5x，ABD 的周长是 60cm，13x+12x+5x=60，解得 x=2，BD=10，AD=24，AB=26，102+242=262，BD2+AD2=AB2，ABD 为直角三角形，ADB=90，ADBC，而 BD=CD，AC=AB=26（cm）【解析】 设 AB=13x，AD=12x，BC=10 x，则 BD=CD=5x，所以 13x+12x+5x=60，解得 x=2， 根据勾股定理的逆定理可证明ABD 为直角三角形， ADB=90， 所以 AD 垂直平分
24、 BC，从而得到 AC=AB=26（cm）第 14 页，共 17 页本题考查了三角形的角平分线、中线和高：正确理解三角形的角平分线、中线和高的定义也考查了勾股定理的逆定理22.【答案】证明：ABCD，A=D，BECF，BEO=CFO，AEB=DFC，在ABE 和DCF 中，ABEDCF（AAS），BE=CF【解析】 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件首先根据平行线的性质可得A=D，BEO=CFO，进而得到AEB=DFC，然后根据AAS 定理判定ABEDCF，再根据全等三角形
25、的性质可得 BE=CF23.【答案】解：A=90，AB=16m，DA=12m，DB=20（m），BC=25m，CD=15m，BD2+BC2=DC2，DBC 是直角三角形，SABD+SDBC= 1216+ 1520=246（m2），需投入总资金为：100246=24600（元）【解析】根据勾股定理得出 BD 的长，再利用勾股定理的逆定理得出DBC 是直角三角形，进而求出总的面积求出答案即可此题主要考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理， 得出DBC 是直角三角形是解题关键24.【答案】（1）证明：ACB=DCE=90，ACD=ACD，DCB=ECA，在DCB 和ECA 中，DCBECA（SAS
26、），A=B，BD=AE（2）证明：AGD=BGC，B+BGC=90，A+AGD=90，AFG=90，AEBD【解析】（1）证明DCBECA（SAS），推出A=B，BD=AE；（2） 由AGD=BGC，B+BGC=90推出A+AGD=90，可得AFG=90，即可解决问题本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵第 15 页，共 17 页活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型25.【答案】解：连接 BE，由勾股定理得，BC=40，SABC= ABAC= BCAD，即 2432= 40AD，解得，AD=19.2，EF 是 BC 的垂直平分线，EB=EC，BF=FC
27、=20，AE=32-EC=32-EB，在 RtABE 中，BE2=AB2+AE2，即 BE2=242+（32-EB）2，解得，EB=25，则 EF=15【解析】连接 BE，根据勾股定理求出 BC，根据三角形的面积公式求出 AD，根据线段垂直平分线的性质得到 EB=EC，BF=FC=20，根据勾股定理计算，得到答案本题考查的是线段的垂直平分线的性质、勾股定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键26.【答案】解：（1）ABC 是直角三角形，理由如下：在ABC 中，三条边长分别是 a、b、c，且 a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n1），a2+b2=（n2-1）2+
28、（2n）2=n4-2n2+1+4n2=（n2+1）2，c2=（n2+1）2，a2+b2=c2，C=90，ABC 是直角三角形（2）以边 b 为直径的半圆的半径为 r，则 （ ）2=2，解得：b=4，2n=4，n=2，a=3，ABC 的面积= ab= 34=6；（3）以边 a、b 为直径的半圆面积分别为 p、q，p= （ ）2=，q= （ ）2=，ABC 是直角三角形，a2+b2=c2，以边 c 为直径的半圆面积= （ ）2= （a2+b2）=+=p+q【解析】（1）先求出 a2+b2及 c2的值，再根据勾股定理的逆定理进行解答即可；（2）先求出 b=4，得出 n=2，a=3，即可得出答案；（3
29、）由圆面积公式得出 p=，q=，由勾股定理和圆面积公式是即可得出答案本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及圆面积公式是等知识；熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键27.【答案】解：（1）如图 1，AB=AC，BAC=90，B=ACB=45，第 16 页，共 17 页BD=BA，BAD=BDA= （180-B）=67.5，CE=CACAE=E= ACB=22.5，BAE=180-B-E=112.5，DAE=BAE-BAD=45，（2）如图 2，AB=AC，BAC=90，B=ACB=30，BA=BD，BAD=BDA=75，DAC=45，CA=CE，E=CAE=15，DAE=DAC+CAE=60；
30、（3）DAE= BAC，理由：设CAE=x，BAD=y，则B=180-2y，E=CAE=x，BAE=180-B-E=2y-x，DAE=BAE-BAD=2y-x-y=y-x，BAC=BAE-CAE=2y-x-x=2y-2xDAE= BAC【解析】（1）由于 AB=AC，BAC=90，从而求出B=ACB=45，又因为 BD=BA，可知BAD=BDA=67.5，因为 CE=CA，可知CAE=E= ACB=22.5，最后可求出得DAE=BAE-BAD=45（2）由于 AB=AC，BAC=120，从而求出B=ACB=30，又因为 BD=BA，可知BAD=BDA=75，因为 CE=CA，可知CAE=E=
31、ACB=15，最后可求出得DAE=BAE-BAD=60（3）可设CAE=x，BAD=y，则B=180-2y，E=CAE=x，从而可知BAE=2y-x，DAE=y-x，BAC=2y-2x，所以可知DAE= BAC，考查等腰三角形的性质，内角和定理，外角性质等知识多次利用外角的性质得到角之间的关系式正确解答本题的关键28.【答案】60 PQAE【解析】（1）证明：ABC 和CDE 为等边三角形，AC=BC，CD=CE，BCA=DCE=60，ACD=BCE，在ACD 和BCE 中，AC=BC，ACD=BCE，CD=CE，ACDBCE（SAS），AD=BE；第 17 页，共 17 页（2）解：ACDB
32、CE，DAC=EBC，由三角形的外角性质，AOB=BEA+DAC，ACB=EBC+BEA，AOB=ACB=60；DCP=60=ECQ，在CDP 和CEQ 中，ADC=BEC，CD=CE，DCP=ECQ，CDPCEQ（ASA）CP=CQ，CPQ=CQP=60，PCQ 是等边三角形，QPC=BCA，PQAE；故答案为：60，PQAE；（3）解：在旋转过程中，（1）中的结论总成立，AOB 的度数不会改变，理由如下：ABC 和CDE 都是等边三角形，AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60，ACB+BCD=DCE+BCD，即ACD=BCE，在ACD 和BCE 中，ACDBCE（SAS），AD=BE
33、，DAC=EBC，BOA=180-ABO-BAO=180-ABC-BAC=60（1） 根据等边三角形性质得出 AC=BC， CE=CD， ACB=ECD=60， 求出BCE=ACD，根据 SAS 推出两三角形全等即可；（2）由三角形的外角性质，可得AOB=BEA+DAC，ACB=EBC+BEA，则AOB=ACB=60，证明QPC=BCA，可得 PQAE；（3）证明ACDBCE（SAS），得到 AD=BE，DAC=EBC，根据BOA=180-ABO-BAO=180-ABC-BAC，即可解答本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键
