1、第十二章 全等三角形12.2三角形全等的判定第1课时1.探索三角形全等条件.（重点）2.“边边边”判定方法和应用.（难点）3.会用尺规作一个角等于已知角，了解图形的作法学习目标导入新课导入新课 为了庆祝国庆节，老师要求同学们回家制作三角形彩旗（如图），那么，老师应提供多少个数据了，能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等呢？一定要知道所有的边长和所有的角度吗？情境引入 ABCDEF1. 什么叫全等三角形？能够重合的两个三角形叫 全等三角形.3.已知ABC DEF，找出其中相等的边与角.AB=DE CA=FD BC=EF A= D B=E C= F2. 全等三角形有什么性质？全等三角形的对应边相等，
2、对应角相等.知识回顾 如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证ABCDEF吗?想一想：即：三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等探究活动探究活动1 1：一个条件可以吗？：一个条件可以吗？（1）有一条边相等的两个三角形不一定全等（2）有一个角相等的两个三角形不一定全等结论：有一个条件相等不能保证两个三角形全等.三角形全等的判定（“边边边”定理）6cm300有两个条件对应相等不能保证三角形全等.60o300不一定全等探究活动探究活动2 2：两个条件可以吗？：两个条件可以吗？3cm4cm不一定全等30060o3cm4cm不一定全等30o 6cm结论：（1）有两个角对应相等的两个三角形（2）有
3、两条边对应相等的两个三角形（3）有一个角和一条边对应相等的两个三角形结论:三个内角对应相等的三角形不一定全等.（1）有三个角对应相等的两个三角形60o30030060o90o90o探究活动探究活动3 3：三个条件可以吗？：三个条件可以吗？3cm4cm6cm4cm6cm3cm6cm4cm3cm（2）三边对应相等的两个三角形会全等吗？ 先任意画出一个ABC，再画出一个ABC ,使AB= AB ,BC =BC, A C =AC.把画好的ABC剪下，放到ABC上，他们全等吗？ABCA BC想一想：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？作法：（1）画BC=BC；（2）分别以B,C为圆
4、心，线段AB,AC长为半径画圆，两弧相交于点A；（3）连接线段AB,A C .u文字语言：三边对应相等的两个三角形全等. （简写为“边边边”或“SSS”）知识要点 “边边边”判定方法ABCDEF在ABC和 DEF中， ABC DEF（SSS）. AB=DE， BC=EF， CA=FD，u几何语言：例1 如图，有一个三角形钢架，AB =AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架求证：（1）ABD ACD CBDA典例精析解题思路：先找隐含条件 公共边AD再找现有条件 AB=AC最后找准备条件BD=CDD是BC的中点证明： D 是BC中点， BD =DC 在ABD 与ACD 中， ABD A
5、CD （ SSS ）CBDAAB =AC (已知）BD =CD （已证）AD =AD （公共边）准备条件指明范围摆齐根据写出结论(2)BAD = CAD.由（1）得ABDACD ， BAD= CAD.（全等三角形对应角相等）准备条件：证全等时要用的条件要先证好；指明范围：写出在哪两个三角形中；摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；写出结论：写出全等结论.u证明的书写步骤：如图, C是BF的中点，AB =DC,AC=DF.求证:ABC DCF.BCADF在ABC 和DCF中，AB = DC， ABC DCF(已知)(已证)AC = DF，BC = CF，证明：C是BF中点，BC=CF.(已知)(
6、SSS).已知: 如图,点B、E、C、F在同一直线上 , AB = DE , AC = DF ,BE = CF .求证: （1）ABC DEF； （2）A=D.证明: ABC DEF ( SSS ).在ABC 和DEF中，AB = DE，AC = DF，BC = EF，(已知已知)(已知已知)(已证已证) BE = CF， BC = EF. BE+EC = CF+CE，（1）（2） ABC DEF（已证）， A=D（全等三角形对应角相等）.BCAFDE EACBD解：D是BC的中点，BD=CD.在ABD与ACD中，AB=AC（已知），BD=CD（已证），AD=AD（公共边），ABDACD（SS
7、S），例2 如图, ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，试说明：B=C.B=C.典例精析已知：AOB求作： AOB=AOB例3 用尺规作一个角等于已知角ODBCA OCABD 用尺规作一个角等于已知角作图总结 作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA， OB 于点C、D；（2）画一条射线OA，以点O为圆心，OC 长为半 径画弧，交OA于点C；（3）以点C为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中 所画的弧交于点D；（4）过点D画射线OB，则AOB=AOB已知：AOB求作：AOB=AOB用尺规作一个角等于已知角依据是什么？1.如图，D、F是线段BC上的两点
8、，AB=CE，AF=DE， 要使ABFECD ，还需要条件 (填一个条件即可）. BF=CDAE=BDFC当堂练习当堂练习2.如图，ABCD，ADBC, 则下列结论： ABCCDB；ABCCDA；ABD CDB；BADC. 正确的个数是 ( ) A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个OABCDC=3.已知：如图 ，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：ABCAED.证明：BD=CE, BDCD=CECD . BC=ED .=在ABC和ADE中，AC=AD（已知），AB=AE（已知），BC=ED（已证），ABCAED（SSS）.4.已知：如图 ，AC=FE，AD=FB,BC=DE.
9、求证：(1)ABCFDE; (2) C= E.证明：(1) AD=FB， AB=FD（等式性质）. 在ABC和FDE 中，AC=FE（已知），BC=DE（已知），AB=FD（已证），ABCFDE（SSS）；ACEDBF=?。（2） ABCFDE（已证）. C=E（全等三角形的对应角相等）. DC CO OA AB B5.如图,ADBC,ACBD.求证:CD .(提示: 连结AB)证明：连结AB两点,ABDBAC(SSS)AD=BC，BD=AC，AB=BA，在ABD和BAC中，D=C.思维拓展 6.如图，ABAC，BDCD，BHCH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？HDCBAABD
10、ACD(SSS)AB=AC，BD=CD，AD=AD，ABHACH(SSS)AB=AC，BH=CH，AH=AH，BDHCDH(SSS)BH=CH，BD=CD，DH=DH，课堂小结课堂小结边边边内 容有三边对应相等的两个三角形全等（简写成 “SSS”)应用思路分析书写步骤结合图形找隐含条件和现有条件，证准备条件注 意四步骤1. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. 第十二章 全等三角形12.2三角形全等的判定第2课时1探索并正确理解三角形全等的判定方法“SAS”.（重点）2会用“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用（重点）
11、 3.了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件（难点）学习目标 1.回顾三角形全等的判定方法1 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为 “边边边”或“SSS”）.在ABC和 DEF中 ABC DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD2.符号语言表达：ABCDEF知识回顾知识回顾当两个三角形满足六个条件中的3个时，有四种情况:三角三边两边一角？两角一边 除了SSS外,还有其他情况吗？讲授新课讲授新课问题：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？ABCABC“两边及夹角”“两边和其中一边的对角”它们能判定两个三角形全等吗？三角形全等的判定（“边角边”
12、定理） 尺规作图画出一个ABC，使ABAB，ACAC，AA （即使两边和它们的夹角对应相等）. 把画好的ABC剪下，放到ABC上，它们全等吗？A B C 探究活动探究活动1 1：SASSAS能否判定能否判定的两个三角形全等的两个三角形全等A B C A D E B C 作法：（1）画DAE=A；（2）在射线AD上截取AB=AB,在射线AE上截取AC=AC；（3）连接BC .思考： A B C 与 ABC 全等吗？如何验证？这两个三角形全等是满足哪三个条件？在ABC 和 DEF中，ABC DEF（SAS）u 文字语言：文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS
13、 ”）知识要点 “边角边”判定方法u几何语言：AB = DE，A =D，AC =AF ，A B C D EF 必须是两边“ 夹 角 ”例1 ：如果AB=CB ， ABD= CBD，那么 ABD 和 CBD 全等吗？分析: ABD CBD.边:角:边: :AB=CB(已知)，ABD= CBD(已知)，？ABCD(SAS)BD=BD(公共边).典例精析证明：在ABD 和 CBD中，AB=CB(已知)，ABD= CBD(已知)， ABDCBD ( SAS).BD=BD(公共边)，变式1:已知：如图,AB=CB,1= 2. 求证:(1) AD=CD； (2) DB 平分 ADC.ADBC1243在AB
14、D与CBD中，证明:ABDCBD（SAS），AB=CB (已知），1=2 （已知），BD=BD （公共边），AD=CD，3=4，DB 平分 ADC.ABCD变式2:已知:AD=CD，DB平分ADC ，求证:A=C.12在ABD与CBD中，证明:ABDCBD（SAS），AD=CD (已知），1=2 （已证），BD=BD （公共边），A=C.DB 平分 ADC，1=2.例2：如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CDCA，连接BC并延长到点E，使CECB连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?CAEDB证明：在AB
15、C 和DEC 中，ABC DEC（SAS），），AB =DE ，（全等三角形的对应边相等）.AC = DC（已知），），ACB =DCE （对顶角相等），），CB=EC（已知） ， 证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.归纳已知:如图, AB=DB,CB=EB,12，求证:A=D.证明: 12(已知)， 1+DBC 2+ DBC(等式的性质)， 即ABCDBE. 在ABC和DBE中, ABDB(已知)， ABCDBE(已证)， CBEB(已知)， ABCDBE(SAS). A=D(全等三角形的对应角相等).1A2CBDE想一想： 如图，把一长一短的两根木
16、棍的一端固定在一起，摆出ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到ABD.这个实验说明了什么？B A CDABC和ABD满足AB=AB ,AC=AD,B=B,但ABC与ABD不全等.探究活动探究活动2 2：SSA能否判定两个三角形全等画一画：画ABC 和DEF，使B =E =30， AB =DE=5 cm ，AC =DF =3 cm 观察所得的两个三角形是否全等？ ABMCDABCABD 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.结论例3 下列条件中，不能证明ABCDEF的是()典例精析AABDE，BE，BCEFBABDE，AD，ACDFCBCEF，BE，ACDFDBCEF，CF，AC
17、DF解析：要判断能不能使ABCDEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C.C方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的当堂练习当堂练习1.在下列图中找出全等三角形进行连线.?308 cm9 cm?308 cm8 cm8 cm5 cm30?8 cm5 cm308 cm?5 cm8 cm5 cm?308 cm9 cm?308 cm8 cm2.如图，AB=DB，BC=BE，欲证ABEDBC，则需要增加的条件是 ( ) A.AD B.EC C.A=C D.AB
18、DEBC D3.如图，点E、F在AC上，AD/BC，AD=CB，AE=CF. 求证：AFDCEB. FABDCE证明：AD/BC， A=C，AE=CF，在AFD和和CEB中，AD=CBA=CAF=CE AFDCEB（SAS）.AE+EF=CF+EF， 即 AF=CE. (已知），），(已证），），(已证），），4.已知：如图，AB=AC,AD是ABC的角平分线， 求证：BD=CD.证明：AD是ABC的角平分线， BAD=CAD，在ABD和ACD中，AB=ACBAD=CADAD=AD ABDACD（SAS）.(已知），(已证），(已证）， BD=CD.已知：如图，AB=AC, BD=CD，求证：
19、 BAD= CAD.变式变式1证明： BAD=CAD，在ABD和ACD中，ABDACD（SSS）.AB=ACBD=CDAD=AD (已知），(公共边），(已知），已知：如图，AB=AC, BD=CD，E为AD上一点，求证： BE=CE.变式变式2证明： BAD=CAD，在ABD和ACD中，AB=ACBD=CDAD=AD (已知），(公共边），(已知）， BE=CE.在ABE和ACE中，AB=ACBAD=CADAE=AE (已知），(公共边），(已证），ABDACD（SSS）.ABEACE（SAS）.5.如图，已知CA=CB,AD=BD, M，N分别是CA，CB的中点，求证：DM=DN.在ABD
20、与CBD中证明:CA=CB (已知）AD=BD （已知）CD=CD （公共边）ACDBCD（SSS）能力提升连接CD，如图所示；A=B又M，N分别是CA，CB的中点， AM=BN在AMD与BND中AM=BN (已证）A=B （已证）AD=BD （已知）AMDBND（SAS）DM=DN.课堂小结课堂小结边角边内容有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成 “SAS”)应用为证明线段和角相等提供了新的证法注意1.已知两边，必须找“夹角”2. 已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边 第十二章 全等三角形12.2三角形全等的判定第3课时1探索并正确理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”
21、2会用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”证明两个三角形全等学习目标导入新课导入新课 如图,小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?情境引入321讲授新课讲授新课问题：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？ABCABC图一图一图二图二“两角及夹边”“两角和其中一角的对边”它们能判定两个三角形全等吗？三角形全等的判定（“角边角”定理）作图探究 先任意画出一个ABC，再画一个A B C ， 使A B =AB， A =A， B =B (即使两角和它们的夹边对应相
22、等).把画好的A B C 剪下，放到ABC上，它们全等吗？ACBACBABCED作法：（1）画AB=AB;（2）在AB的同旁画DAB =A，EBA =B，AD，BE相交于点C.想一想：从中你能发现什么规律？知识要点 “角边角”判定方法u文字语言：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.u几何语言：A=A （已知），）， AB=A B （已知），），B=B （已知），），在ABC和和A B C中， ABC A B C （ASA）.AB CA B C 例1 已知：ABCDCB，ACB DBC，求证：ABCDCBABCDCB(已知）， BCCB（公共边）， ACBD
23、BC（已知），证明： 在ABC和DCB中，ABCDCB（ASA ）.典例精析BCAD 判定方法：两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等 例2 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC, B=C,求证：AD=AE.ABCDE分析：证明ACDABE,就可以得出AD=AE.证明：在ACD和ABE中，A=A（公共角 ），）， AC=AB（已知），），C=B （已知 ），）， ACDABE（ASA)，AD=AE.问题：若三角形的两个内角分别是60和45，且45所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?6045合作探究用“角角边”判定三角形全等6045思考： 这里的条件与1中的条件有什么相同点与不同点？
24、你能将它转化为1中的条件吗？75两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.归纳总结A=A（已知），）， B=B （已知），），AC=AC （已知），），在ABC和和ABC中， ABC A B C （AAS）.AB CA B C 例3：在ABC和DEF中，AD，B E，BC=EF.求证：ABCDEFBE， BCEF， CF.证明： 在ABC中，A+B+C180.ABCDEF（ASA ）. C180AB.同理同理 F180DE.又又 AD，B E, CF.在ABC和DEF中，例4 如图，已知：在ABC中，BAC90，ABAC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m
25、，垂足分别为点D、E.求证：(1)BDAAEC；证明：(1)BDm，CEm，ADBCEA90，ABDBAD90.ABAC，BADCAE90，ABDCAE.在BDA和AEC中，ADB=CEA=90， ABDCAE,ABAC，BDAAEC(AAS).(2)DEBDCE.BDAE，ADCE，DEDAAEBDCE.证明：BDAAEC,方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化 1. ABC和DEF中，ABDE，BE，要使ABCDEF ，则下列补充的条件中错误的是（ ）AACDF BBCEF CAD DCF
26、 2. 在ABC与ABC中，已知A44，B67，C69 ，A44，且ACAC，那么这两个三角形（）A一定不全等 B一定全等 C不一定全等 D以上都不对 当堂练习当堂练习AB 3. 如图，已知ACB=DBC，ABC=CDB，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由. 不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边.ABCDABCDEF4.如图ACB=DFE，BC=EF，那么应补充一个条件 ，才能使ABCDEF （写出一个即可）.B=E或A=D或 AC=DF（ASA）（AAS）（SAS）AB=DE可以吗？可以吗？ABDE5.已知：如图， ABBC，ADDC，1=2, 求证：AB=AD.ACDB1 2证
27、明： ABBC，ADDC， B=D=90 . 在ABC和ADC中，1=2 （已知），）， B=D（已证），），AC=AC （公共边），）， ABCADC（AAS)，AB=AD.学以致用：如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?321答：带1去，因为有两角且夹边相等的两个三角形全等.能力提升：已知：如图，ABC ABC ，AD、A D 分别是ABC 和ABC的高.试说明AD AD ，并用一句话说出你的发现.ABCDA B C D 解：因为ABC ABC ，所以AB=AB（全等三角形对应边相等），ABD=ABD（全等三角形对应角相等）.因为ADBC，ADBC，所以ADB=ADB.在ABD和ABD中，ADB=ADB（已证），ABD=ABD（已证），AB=AB（已证），所以ABDABD.所以AD=AD.ABCDA B C D 全等三角形对应边上的高也相等.课堂小结课堂小结边 角 边角 角 边内 容有两角及夹边对应相等的两个三角形全等（简写成 “ASA”)应 用为证明线段和角相等提供了新的证法注 意注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别
