1、1求函数的解析式2掌握求函数解析式的常用方法.（1）换元法或配凑法；（2）待定系数法；（3）构造方程法。3 求下列函数的解析式：(1)已知二次函数满足f(3x+1)=9x2-6x+5,求f(x);(2)已知2f(x)+f(-x)=3x+2，求f(x).例1根据条件可灵活运用不同的方法求解.4 (1)(方法一)待定系数法.设f(x)=ax2+bx+c(a0),则f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c =9ax2+(6a+3b)x+a+b+c.又f(3x+1)=9x2-6x+5,所以9ax2+(6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5,5比较两端的系数，得 9a=9 6a+3b=
2、-6 ， a+b+c=5所以f(x)=x2-4x+8.(方法二)换元法.令t=3x+1,则x= ,代入f(3x+1)=9x2-6x+5中，得f(t)=9( )2-6 +5=t2-4t+8, 所以f(x)=x2-4x+8.a=1b=-4 ,c=8解得13t 13t 13t 6（方法三）配凑法.因为f(3x+1)=(3x+1)2-4(3x+1)+8，所以f(x)=x2-4x+8.(2)直接列方程组求解.由2f(x)+f(-x)=3x+2,用-x代换此式中的x,得2f(-x)+f(x)=-3x+2,解方程组 2f(x)+f(-x)=3x+2 2f(-x)+f(x)=-3x+2,得f(x)=3x+ .
3、237练一练： (1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1) =2x+17，求f（x）；（2）已知（3）已知f(x)满足2f(x)+ =3x,求f(x). 问题（1）由题设知f（x）为一次函数， 故可先设出f（x）的表达式，用待定系数法求解； 问题（2）已知条件是一复合函数的解析式，因此可用换元法；问题（3）已知条件中含x， ，可用构造方程组法求解. );(,2) 1(xfxxxf求)1(xfx1思维启迪8 函数的解析式是函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量之间建立的桥梁.求函数的解析式是高考中的常见问题，其特点是类型活，方法多.求函数的解析式常有以下几种方法：
4、如果已知函数ff(x)的表达时，可用换元法或配凑法求解；如果已知函数的结构时，可用待定系数法求解；如果所给式子含有f(x)、f( )或f(x)、f(-x)等形式，可构造另一方程，通过解方程组求解.1x9解 （1）设f（x）=ax+b（a0），则3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，a=2，b=7，故f（x）=2x+7. (1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1) =2x+17，求f（x）；10).1( 1)(, 11, 1) 1(112)(2) 1().1( 1)(),1( 1)(,2) 1(. 11),(1
5、) 2(22222xxxfxxxxxxxfxxxftttfxxxftxttx?方法二方法一：换元法：配凑法（2）已知);(,2) 1(xfxxxf求11).()(,)()()()()(,)()(,)(012363231231231213 xxxxfxxxfxxfxfxxfxfxxfxfxx所所以以得得联联立立方方程程得得换换成成把把题题目目中中的的（3）已知f(x)满足2f(x)+ =3x,求f(x).)1(xf12(1)已知函数 f(x)= f (x+2)(x-1) 2x+ 2 ( -1x1) 2x-4 (x1)，则f f(-2008)= ；(2) f(x)= -x+1(x0) x-1(x0
6、),则不等式x+(x+1)f(x+1)1的解集是 .13(1)已知函数 f(x)= f (x+2)(x-1) 2x+ 2 ( -1x1) 2x-4 (x1)，则f f(-2008)= ；0(1)ff(-2008)=ff(-2006)=ff(-2)=ff(0)=f(2)=22-4=0.14 (2) f(x)= -x+1(x0) x-1(x0),则x+(x+1)f(x+1)1的解集是 .x|x -12 (2)当x+10时，f(x+1)=-(x+1)+1=-x，则原不等式可化为 x-1 x+(x+1)(-x)1,即x-1;当x+10时，f(x+1)=(x+1)-1=x，则原不等式可化为 x-1 x+
7、(x+1)x1,即-1x-1+ .综合,得原不等式的解集为x|x -1.2215(3) 设 则fg(3)=_, =_. )(,)()()(xgxxxxxf00132,)()( 12122xxx)(21 fg16317.1631)41(2)41()21(,41)21()21(22gfgf解析 g(3)=2, fg(3)=f(2)=32+1=7，16分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；分段函数求解时，一定要注意自变量的取值范围，从而确定解析式；分类讨论时，各种条件下的解集一定要与各自的条件取交集，最后所有的解集取并集.17 已知函数对任意的实数a、b,都有f(ab)=f(a)
8、+f(b)成立. (1)求f(0),f(1)的值； (2)求证：f( )+f(x)=0(x0); (3)若f(2)=m,f(3)=n(m、n均为常数)，求f(36)的值.1x 本题是一个抽象函数问题，直接求函数的解析式是不可能的，需通过取特殊值来解决.18 (1)不妨设a=b=0.由f(ab)=f(a)+f(b),得f(0)=0.设a=b=1,得f(1)=0.(2)证明：当x0时，因为x ，于是f(1)=f(x )=f(x)+f( )=0,所以f( )+f(x)=0.1x1x1x1x(3)因为f(2)=m,f(3)=n,所以f(36)=f(22)+f(32)=f(22)+f(33) =2f(2
9、)+2f(3)=2(m+n).19 1.已知函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可. 如分式的分母不等于零，开偶次方的被开方数不小于零，对数的真数大于零且底数大于零而不等于等等. 20 2.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、配方法、函数方程法、赋值法等.当已知函数为某类基本初等函数时用待定系数法，已知复合函数的问题时用换元法或配凑法，抽象函数问题一般用赋值法或函数方程法. 3.分段函数是指自变量在取值情况不同时，对应法则不同.分段函数的定义域为自变量的所有取值的并集.21 抽象函数由于只给出函数的某些性质，却不知道函数的具体解析式，因而成为函数问题中的一个难点，但这类问题能很好地考查学生的思维能力.解决抽象函数问题，要全面应用其所具有的性质展开解题思路，通常的方法是赋值法，并善于根据题目条件寻找该函数的一个原型，帮助探求结论，找到解题的思路和方法.
