1、123学法指津学法指津 中点加平行线构造全等三角形中点加平行线构造全等三角形 中线加倍延长构造全等三角形中线加倍延长构造全等三角形 角平分线加垂线构造全等三角形角平分线加垂线构造全等三角形 角平分线加相等线段构造全等三角形角平分线加相等线段构造全等三角形 有两组或以上垂直的线段一般用作证明角有两组或以上垂直的线段一般用作证明角相等相等4例例1 1（6 6分题）：如图，已知分题）：如图，已知B=C=90B=C=90，MM是是BCBC的中点，的中点，DMDM平分平分ADCADC。（1 1）若连接）若连接AMAM，则，则AMAM是否平分是否平分BADBAD？请你证明你的结？请你证明你的结论。论。（2
2、 2）DMDM与与AMAM有怎样的位置关系？请说明理由。有怎样的位置关系？请说明理由。（3 3）求证：）求证：ADADAB+CDAB+CD5练练1 1 （6 6分题）分题） ：如图，：如图，ABCDABCD，DEDE平分平分ADCADC，AEAE平分平分BADBAD，求证：，求证：AD=AB+CDAD=AB+CD6练练2 2 （9 9分压轴题）分压轴题） ：如图，：如图，OPOP是是MONMON的平分线，请你利用该图形画一对以的平分线，请你利用该图形画一对以OPOP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个做全等三角形的方法，解答所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个做全等三角形的方法，解
3、答下列问题下列问题（1 1）如图，在）如图，在ABCABC中，中，ACBACB是直角，是直角，B=60B=60，ADAD、CECE分别分别是是BACBAC、BCABCA的平分线，的平分线，ADAD、CECE相交于点相交于点F F。请你写出。请你写出FEFE与与FDFD之间的数量之间的数量关系。（关系。（2 2）如图，在）如图，在ABCABC中，如果中，如果ACBACB不是直角，而（不是直角，而（1 1）中的其它条件）中的其它条件不变。请问：你在（不变。请问：你在（1 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。（立，请说
4、明理由。（3 3）你还能得出什么结论？请给出证明。）你还能得出什么结论？请给出证明。 7例例2 2 （6 6分题）分题） ：如图，已知：如图，已知B=C=90B=C=90，MM是是BCBC的中点，的中点，DMDM平分平分ADCADC。求证：。求证：ADADAB+CDAB+CD 8练练1 1 （6 6分题）分题） ：如图，已知在：如图，已知在ABCABC中，中，AB=CDAB=CD，BDA=BADBDA=BAD，AEAE为为ABDABD的的BDBD边上的中线，边上的中线，求证：求证：AC=2AEAC=2AE9练练2 2 （6 6分题）分题） ：如图，已知：如图，已知ABCDABCD，ADAD与与
5、BCBC相交于相交于F F，BEBE平分平分ABCABC，E E为为ADAD的中点，问：的中点，问：ABAB、BCBC和和CDCD三条线段三条线段之间有什么数量关系，并给出证明（如有需要可直接运用下之间有什么数量关系，并给出证明（如有需要可直接运用下面的定理：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们面的定理：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等所对的边也相等简写成简写成“等角对等边等角对等边”）。）。1011学法指津学法指津 全等三角形的复杂图形解题思路与基本图全等三角形的复杂图形解题思路与基本图形的解题思路一致。解答复杂图形，要把形的解题思路一致。解答复杂图形，要把复杂
6、图形分解成基本图形进行解答，就会复杂图形分解成基本图形进行解答，就会觉得非常简单了。觉得非常简单了。 图形越复杂，条件越多，做起来越简单，图形越复杂，条件越多，做起来越简单，因为不用做辅助线；图形越简单，条件越因为不用做辅助线；图形越简单，条件越少，做起来越难，往往要通过画辅助线来少，做起来越难，往往要通过画辅助线来创造条件解决。创造条件解决。 解决复杂图形题目时，一般把已知条件在解决复杂图形题目时，一般把已知条件在图中描出来或标出来，这样有利于整理条图中描出来或标出来，这样有利于整理条件。件。12例例3 3（9 9分题）：如图，已知在有公共顶点的分题）：如图，已知在有公共顶点的OABOAB和
7、和OCDOCD中，中，OA=OBOA=OB，OC=ODOC=OD，且，且AOB=CODAOB=COD。（1 1）求证：）求证：CA=BDCA=BD（2 2）若将）若将OCDOCD绕点绕点O O沿着逆时针方向旋转，当旋转到沿着逆时针方向旋转，当旋转到A A、C C、D D在同一条直线上时，问（在同一条直线上时，问（1 1）中的结论是否仍然成立？）中的结论是否仍然成立？如果结论成立，请证明；如果不成立，请说明理由。如果结论成立，请证明；如果不成立，请说明理由。13练练1 1（9 9分题）：已知，如图，在分题）：已知，如图，在ABCABC中，中，ADAD平分平分BACBAC，DEABDEAB与与E
8、E，DFACDFAC与与F F。（1 1）求证：）求证：ADEFADEF（2 2）如图、，当有一动点）如图、，当有一动点G G在在ADAD所在的直线上运动，所在的直线上运动，其余条件不变，那么，这时其余条件不变，那么，这时EFADEFAD的结论是否仍然成立？的结论是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。 14练练2 2（9 9分压轴题）：如图，一个等腰直角三角尺分压轴题）：如图，一个等腰直角三角尺GEFGEF的两条直的两条直角边与正方形角边与正方形ABCDABCD的两条边分别重合在一起。现正方形的两条边分别重合在一起。现正方形A
9、BCDABCD保保持不动，将三角尺持不动，将三角尺GEFGEF绕斜边绕斜边EFEF的中点（点的中点（点O O也是也是BDBD的中点）顺的中点）顺时针方向旋转。（时针方向旋转。（1 1）如图，当）如图，当EFEF与与ABAB相交于点相交于点O O，GFGF与与BDBD相相交于点交于点N N时，通过观察或测量时，通过观察或测量BMBM、FNFN的长度，猜想的长度，猜想BMBM、FNFN满足满足的数量关系，并证明你的猜想。（的数量关系，并证明你的猜想。（2 2）将三角尺）将三角尺GEFGEF旋转到如图旋转到如图所示的位置时，线段所示的位置时，线段FEFE的延长线与的延长线与ABAB的延长线相交于点的
10、延长线相交于点MM，线段，线段BDBD的延长线与的延长线与GFGF的延长线相交于点的延长线相交于点N N，此时（，此时（1 1）中的猜想还成）中的猜想还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。 151617 学法指津学法指津 学习本课内容，要深刻学习本课内容，要深刻理解七年级第二学期的理解七年级第二学期的“三三角形角形”一章内容以及关于垂一章内容以及关于垂直平分线的知识，才能真正直平分线的知识，才能真正掌握解题技巧及方法，做到掌握解题技巧及方法，做到“胸有成竹胸有成竹”。18例例4 4 （6 6分题）分题） ：如图，要在燃气管道：如图，
11、要在燃气管道l l上修建上修建一个泵站，分别向一个泵站，分别向A A、B B两镇供气。（两镇供气。（1 1）泵站）泵站C C修建在什么地方，可使所用的燃气管线最短？修建在什么地方，可使所用的燃气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）（不写做法，保留作图痕迹）（2 2）请你在（）请你在（1 1）的基础上，过的基础上，过A A点作点作ADADl l，并连接，并连接DBDB，求证：，求证：AD+DBAD+DBAC+CBAC+CB。19练练1 1 （6 6分题）分题） ：如图，已知牧马营地：如图，已知牧马营地MM处，处，每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草地上吃草
12、，最后回到营地，试着设计出最短地上吃草，最后回到营地，试着设计出最短的牧马路线（不写做法，保留作图痕迹）的牧马路线（不写做法，保留作图痕迹）20练练2 2 （6 6分题）分题） ：如图，：如图，E E、F F为为ABCABC的边的边ABAB、ACAC上的两个定点，上的两个定点，在在BCBC上求作一点上求作一点D D，使，使DEFDEF的周的周长最短。长最短。21例例5 5 （6 6分题）分题） ：如图，已知在：如图，已知在ABCABC中，中，DEDE垂直平分垂直平分BCBC，若，若ABCABC的周长为的周长为1010，BC=4BC=4，求，求ACEACE的周长。的周长。22练练1 1 （6 6
13、分题）分题） ：如图，在：如图，在ABCABC中，中，DEDE垂直平分垂直平分ACAC，AC=5AC=5，ABDABD的的周长为周长为1313，求，求ABCABC的周长。的周长。23练练2 2 （6 6分题）分题） ：如图，等腰三角形：如图，等腰三角形ABCABC的周长为的周长为2121，底边，底边BC=5BC=5，DEDE垂直平分垂直平分ABAB，求，求BECBEC的周长。的周长。24例例6 6 （6 6分题）分题） ：如图，已知：如图，已知ABCABC，请，请你用尺规作图画出你用尺规作图画出ABCABC关于直线关于直线l l的对的对称图形。称图形。25练练1 1 （6 6分题）分题） ：如
14、图，已知：如图，已知ABCABC，请你用，请你用尺规作图画出尺规作图画出ABCABC关于直线关于直线l l的对称图形。的对称图形。26练练2 2 （6 6分题）分题） ：如图，已知有一个圆在直线：如图，已知有一个圆在直线l l的左侧，请你用尺规作图画出这个圆关于直的左侧，请你用尺规作图画出这个圆关于直线线l l的对称图形。的对称图形。2728学法指津学法指津 角平分线加平行线构建等腰三角形。角平分线加平行线构建等腰三角形。 学习本课内容，要综合运用学习本课内容，要综合运用“等腰等腰三角形三线合一三角形三线合一”、“等边对等等边对等角角”、“等角对等边等角对等边”及及“等边三等边三角形三条边相等
15、、三个内角相等且角形三条边相等、三个内角相等且三个内角都是三个内角都是6060”等定理，才能等定理，才能做出复杂图形题目。做出复杂图形题目。29例例7 7（7 7分题）：已知，分题）：已知，ABCABC和和ECDECD均为等边三角形，且均为等边三角形，且B B、C C、D D三点在同三点在同一条直线上，求证：一条直线上，求证：（1 1）BE=ADBE=AD（2 2）FGBDFGBD30练练1 1 （7 7分题）分题） ：已知：已知ABCABC和和ECDECD均为等边三角形，求证：均为等边三角形，求证：AD=BEAD=BE31练练2 2 （7 7分题）分题） ：如图，已知：如图，已知ABCABC
16、和和ECDECD均为等边三角形，求证：均为等边三角形，求证：BE=ADBE=AD32例例8 8 （7 7分题）分题） ：如图，已知四边形：如图，已知四边形ABCDABCD和和ECFGECFG均为正方形，求证均为正方形，求证：（：（1 1）DF=BEDF=BE（2 2）DFBEDFBE33练练1 1 （7 7分题）分题） ：如图，已知：如图，已知ADCADC和和BDEBDE均为等腰直角三角形，求证：（均为等腰直角三角形，求证：（1 1）BC=AEBC=AE（2 2）BCACBCAC34练练2 2 （7 7分题）分题） ：已知：已知ABCABC和和EDCEDC均为等均为等腰直角三角形，求证腰直角三
17、角形，求证（1 1）AE=BDAE=BD。（。（2 2）AEBDAEBD。35提高题（提高题（9 9分压轴题）：如图，已知分压轴题）：如图，已知D D为为ABAB的中点，的中点，AB=AC=10AB=AC=10厘米，厘米，BC=8BC=8厘米，厘米，点点D D为为ABAB的中点。的中点。（1 1）如果点）如果点P P在线段在线段BCBC上以上以3 3厘米厘米/ /秒的速度由秒的速度由B B点向点向C C点运动，同时，点点运动，同时，点Q Q在线在线段段CACA上由上由C C点向点向A A点运动点运动若点若点Q Q的运动速度与点的运动速度与点P P的运动速度相等，经过的运动速度相等，经过1 1秒
18、后，与是否全等，请说明理秒后，与是否全等，请说明理由；由；若点若点Q Q的运动速度与点的运动速度与点P P的运动速度不相等，当点的运动速度不相等，当点Q Q的运动速度为多少时，能够的运动速度为多少时，能够使与全等？使与全等？（2 2）若点）若点Q Q以中的运动速度从点以中的运动速度从点C C出发，点出发，点P P以原来的运动速度从点以原来的运动速度从点B B同时出发，同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P P与点与点Q Q第一次在的哪条边上相遇？第一次在的哪条边上相遇？36小结小结 证明两条线段相等或角相等，如果证明两条线段相等或角相等，如果这两条线段或角在两个三角形内，就这两条线段或角在两个三角形内，就证明这两个三角形全等；如果这两条证明这两个三角形全等；如果这两条线段或角在同一个三角形内，就证明线段或角在同一个三角形内，就证明这个三角形是等腰三角形；如果看图这个三角形是等腰三角形；如果看图时两条线段既不在同一个三角形内，时两条线段既不在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，那么就利也不在两个全等三角形内，那么就利用辅助线进行等量代换。用辅助线进行等量代换。37
