1、2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 复平面内，复数满足，则（ ）A. B. C. D. 3. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）A. B. C. D. 5. 若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）A. B. C.
2、D. 6. 中国共产党党旗党徽制作和使用若干规定指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，则A. 64B. 96C. 128D. 1607. 函数是A. 奇函数，且最大值为2B. 偶函数，且最大值为2C. 奇函数，且最大值为D. 偶函数，且最大值为8. 某一时间段内，从天空降落到地面上雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）24h降雨量的等级划分如下：在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形
3、雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨9. 已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则 A. B. C. D. 10. 已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12第二部分（非选择题共110分）二、填空题5小题，每小题5分，共25分11. 在的展开式中，常数项为_12. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴与于点.若，则点的横坐标为_； 的面积为_13. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示若网格纸上小正方形的边长为
4、1，则 _；_.14. 若点关于轴对称点为，写出一个取值为_15. 已知函数，给出下列四个结论：若，恰 有2个零点；存在负数，使得恰有个1零点；存在负数，使得恰有个3零点；存在正数，使得恰有个3零点其中所有正确结论的序号是_三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 在中，（1）求；（2）再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长条件：；条件：周长为；条件：的面积为；17. 如图：在正方体中，为中点，与平面交于点（1）求证：为的中点；（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值18. 在核酸检测中, “k合1” 混采核酸
5、检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的分布列与数学期望E(X).(II）将这100人随机分成20
6、组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)19. 已知函数（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值20. 已知椭圆一个顶 点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为（1）求椭圆E的方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|15时，求k的取值范围21. 设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列： ，且；，（1）如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由；（2）若数列是数列，求；（3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由
