1、7.1 二元一次方程组和它的解第7章 一次方程组导入新课讲授新课当堂练习课堂小结七年级数学下（HS） 教学课件学习目标1.了解二元一次方程（组）及其解的定义（重点）2.会列二元一次方程组，并检验一组数是不是某个二元一次方程组的解（难点）导入新课导入新课观察与思考累死我了！你还累?这么大的个，才比我多驮了2个.哼，我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！真的?！听完它们的对话，你能猜出它们各驮了多少包裹吗?你还累?这么大的个，才比我多驮了2个.我从你背上拿来 1个，我的包裹数就是你的 2 倍！讲授新课讲授新课二元一次方程组的定义一问题1：设老牛驮了x个包裹 , 小马驮了y个包裹.你能根据它们
2、的对话列出方程吗？老牛的包裹数比小马的多2个;老牛从小马的背上拿来1个包裹,就是小马的2倍.xy2x12(y1)昨天，我们昨天，我们8 8个人个人去红山公园玩去红山公园玩, ,买买门票花了门票花了3434元元每张成人票每张成人票 5 5 元，元，每张儿童票每张儿童票 3 3 元，元，设他们中有x个成人,y个儿童.你能得到怎样的方程?问题2：他们到底去了几个成人，几个儿童呢?xy85x3y34上面所列方程各含有几个未知数?含有未知数的项的次数是多少?答：2个未知数答：次数是1 含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.xy2 xy8 x12(y1) 5x3y34 定义
3、：归纳总结方程 xy8 和 5x3y34中，x的含义相同吗？y呢？ x,y所代表的对象分别相同,因而x,y必须同时满足方程xy8和5x3y34 ,把它们联立起来,得: 像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.注意：方程组各方程中同一字母必须代表同一个量.xy85x3y34二元一次方程组的解二问题：（1）x6 , y2适合方程 xy8吗 ? x5 , y3呢? x4 , y4呢? 你还能找到其他x , y的值适合方程xy8吗 ?(2) x5 , y3适合方程5x3y34吗? x2 , y8呢? 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.
4、例如: x6 , y2 是方程xy8 的一个解,记作x6y2x5 ,y 3是否为方程 xy8的一个解?x5 , y 3是否为方程 5x 3y34的一个解?使二元一次方程组中两个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做这个二元一次方程组的解.xy85x3y34 的解.就是二元一次方程组x5y3例如，当堂练习当堂练习D.x=4y=3x=3y=6x=2y=4x=4y=2 A.B. C.1.二元一次方程组 的解是( )x+2y=10y=2xC2.下列各式是二元一次方程的是( )A.x=3y B.2x+y=3z C.x+x-y=0 D.3x+2=5Ax+ =1y+x=23.下列不是二元一次方程组的
5、是( )A.x+y=3x-y=1B.C.x=1y=1D.6x+4y=9y=3x+4y1B4.（嘉兴中考）根据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是（）哦我忘了！只记得先后买了两次，第一次买了5支笔和10本笔记本花了42元钱，第二次买了10支笔和5本笔记本花了30元钱小红，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊？DA.0.8元/支，2.6元/本B.0.8元/支，3.6元/本C.1.2元/支，2.6元/本D.1.2元/支，3.6元/本认识二元一次方程组二元一次方程组的定义课堂小结课堂小结二元一次方程组的解7.2 二元一次方程组的解法导入新课讲授新课当堂练习课堂小结七年级数学下（HS） 教学
6、课件第1课时 用代入法解二元一次方程组学习目标1.会用代入法解二元一次方程组.（重点、难点）导入新课导入新课观察与思考 问题：根据篮球比赛规则：赢一场得2分，输一场得1分,已知某次中学生篮球联赛中，某球队共赛了12场，积20分.求该球队赢了几场？输了几场？解：设该球队赢了x场，输了y场，则怎么求x、y的值呢？x+y=122x+y=20讲授新课讲授新课用代入法解二元一次方程组一 昨天,我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元. 每张成人票5元,每张儿童票3元.他们到底去了几个成人、几个儿童呢?还记得下面这一问题吗?设他们中有x个成人，y个儿童. 我们列出的二元一次方程组为:x+y=85x+3y=
7、34解：设去了x个成人，则去了(8x)个儿童，根据题意，得： 解得：x=5.将x=5代入8x=85=3.答：去了5个成人， 3个儿童. 用一元一次方程求解用二元一次方程组求解解：设去了x个成人，去了y个儿童，根据题意，得： 观察:列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？列出的方程和方程组又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？ 5x+3(8-x)=34x+y=85x+3y=34用二元一次方程组求解用二元一次方程组求解由得：y = 8x. 将代入得：5x+3(8x)=34.解得：x = 5.把x = 5代入得：y = 3.所以原方程组的解为：. 3, 5yxx+y=85x+3y=34
8、归纳总结 解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”. 前面解方程组是将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.将x=5代入 ，得 y=2.所以原方程组的解是x=5，y=2.解：由，得 y=7-x 将代入，得 3x+7-x=17. 2x =10 x=5. 例1：解方程组 x+y=7 3x+y=17 典例精析将y=2代入 ，得 x=5.所以原方程组的解是x=5，y=2.解：由，得 x=13-4y 将代入，得 2（13 - 4y）+3y=16 26
9、8y +3y =16 -5y=-10 y=2 例2：解方程组 2x+3y=16 x+4y=13 归纳总结解二元一次方程组的步骤：第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.第四步：回代求出另一个未知数的值.第五步：把方程组的解表示出来.第六步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立. 用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值
10、都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形. 当堂练习当堂练习y=2xx+y=12(1)(2)2x=y-54x+3y=65解：(1)x=4y=8(2)1.解下列方程组.x=5y=152.（济南中考）二元一次方程组的解是（ ） ABCD.D3.（江津中考）方程组的解是（ ）B C DA.B解二元一次方程组基本思路“消元”课堂小结课堂小结代入法解二元一次方程组的一般步骤7.2 二元一次方程组的解法导入新课讲授新课当堂练习课堂小结七年级数学下（HS） 教学课件第2课时 用加减法解二元一次方程组学习目标1.会用加减法解二元一次方程组（重点）导入新课导入新课观察与思考信息一：已知买3瓶苹果汁和2瓶橙汁共
11、需23元；信息二：又知买5瓶苹果汁和2瓶橙汁共需33元.解：设苹果汁的单价为x元，橙汁的单价为y元，根据题意得，你会解这个方程组吗？3x+2y=235x+2y=33你是怎样解这个方程组的？解：由得 将代入得 解得：y=4把y=4代人 ，得x=5所以原方程组的解为：除代入消元，除代入消元，还有其他方法吗？还有其他方法吗？3x+2y=235x+2y=33x=5y=4讲授新课讲授新课用加减法解二元一次方程组仔细观察这组方程，你有什么发现吗？解：-得 5x-3x=33-23 ， 解得 x=5 .将x=5代入得 15+2y=23, 解这个方程得 y=4.所以原方程组的解是 3x+2y=235x+2y=3
12、3-的话就只剩下一个未知数了x=5y=4这样是不是更简单呢？解：+得 7x=14 ， 解得 x=2 .将x=2代入得 6+7y=9, 解这个方程得 .所以原方程组的解是 3x+7y=9，4x7y=5.x=5典例精析例1：用加减法解方程组:37y 37y 归纳总结 像上面这种解二元一次方程组的方法,叫做加减消元法,简称加减法.当方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数或相等时,可以把方程的两边分别相加(系数互为相反数)或相减(系数相等)来消去这个未知数,得到一个一元一次方程,进而求得二元一次方程组的解.例2：用加减法解方程组:3410,5642.xyxy 对于当方程组中两方程不具备上述特点时
13、，必须用等式性质来改变方程组中方程的形式，即得到与原方程组同解的且某未知数系数的绝对值相等的新的方程组，从而为加减消元法解方程组创造条件分析：3得：所以原方程组的解是6,2.xy解： +得: 19x=144， x=6. 把x=6代入，得 30+6y=42， 解得: y2. 2得：9x12y=30 10 x+12y=84 归纳总结主要步骤： 特点:基本思路:写解求解加减二元一元加减消元:消去一个元分别求出两个未知数的值写出原方程组的解同一个未知数的系数相同或互为相反数用加减法解二元一次方程组：当堂练习当堂练习1.（芜湖中考）方程组 的解是 2. 用加减法解方程组6x+7y=196x-5y=17应
14、用（ ）A.-消去y B.-消去xC. - 消去常数项D. 以上都不对B 解： 4得：所以原方程组的解为3.（青岛中考）解方程组： 得：7x = 35，解得：x = 5.把x = 5代入得，y = 1.4x-4y=16解二元一次方程组基本思路“消元”课堂小结课堂小结加减法解二元一次方程组的一般步骤7.2 二元一次方程组的解法导入新课讲授新课当堂练习课堂小结七年级数学下（HS） 教学课件第3课时 二元一次方程组与实际问题学习目标1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决的简单的实际问题.（重点）2.学会利用二元一次方程组解决其他类型问题.（重点、难点）导入新课导入新课问题引入小刚买了3k
15、g苹果，2kg梨，共花了18.8元小玲买了2kg苹果，3kg梨，共花了18.2元你能算出苹果和梨各自的单价吗？讲授新课讲授新课 列方程组解决简单实际问题互动探究问题1 题中有哪些未知量，你如何设未知数？未知量：苹果的单价，梨的单价；问题2 题中有哪些等量关系？（1）3千克苹果和2千克梨共18.8元;（2）2千克苹果和3千克梨共18.2元;设未知数：设苹果的单价为x元/千克， 梨的单价为y元/千克.解：设苹果的单价为x元/千克，梨的单价为y元/千克，根据小刚和小玲卖水果花费的费用，列方程组：_2.18_8.18_yx解得：3x2y2x3y43.4所以，苹果的单价为4元/千克，梨的单价为3.4元/
16、千克.典例精析例1 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，试问该队胜几场，平几场？分析：题中的未知量有胜的场数和平的场数，等量关系有：胜的场数+平的场数=11； 胜场得分+平场得分=27. 胜场平场合计场数得分x3xyy1127解：设市第二中学足球队胜x场，平y场.依题意可得_27_11_yx解得：8y3xy3答：该市第二中学足球队胜8场，平3场.x通过上述两题，总结用二元一次方程组解决实际问题的步骤例2 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售.该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨.现计划用15天完成加
17、工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？ 分析：问题的关键是解答前一个问题，即先求出安排粗加工和精加工的天数.从题目信息可以得到的等量关系有： 粗加工天数+精加工天数=15； 粗加工任务+精加工任务=140. 解：设应安排x天粗加工，y天精加工.依题意可得6+ =151+6 =140.xyxy, ,解这个方程组，得=5=10.xy, ,出售这些加工后的蔬菜一共可获利 1000165+2000610=200000（元）.答：应安排5天粗加工，10天精加工，加工后出售共
18、可 获利200000元.解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：(1)审题：弄清题意和题目中的_；(2)设元：用_表示题目中的未知数；(3)列方程组：根据_个等量关系列出方程组；(4)解方程组：利用_法或_解出未知数的值；(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.归纳总结数量关系字母2代入消元加减消元法小试身手 某城市规定：出租车起步价所包含的路程为03km，超过3km的部分按每千米另收费. 甲说：“我乘这种出租车走了11km，付了17元.”乙说：“我乘这种出租车走了23km，付了35元.”请你算一算：出租车的起步价是多少元？超过3km后，每千米的车费是多少元？分析 本问题
19、涉及的等量关系有： 总车费=03km的车费(起步价)+超过3km的车费.解 设出租车的起步价是x元，超过3km后每 千米收费y元.+ 11 3=17+ 23 3=35.xyxy(),(),()()- - -根据等量关系，得解这个方程组，得=5=1.5.xy, ,答：这种出租车的起步价是5元， 超过3km后每千米收费1.5元.起步价超过3km后的费用合计费用甲乙xx(11-3)y (23-3)y1735当堂练习当堂练习1.有大小两种货车，2 2辆大车与3 3辆小车一次可以运货15.515.5吨；5 5辆大车与6 6辆小车一次可以运货3535吨。3 3辆大车与5 5辆小车一次可以运货多少吨？ 解：
20、设1 1辆大车一次运货x x吨，1 1辆小车一次运货y y吨，根据题意列出方程组得2x+3y=15.55x+6y=35（以下部分由同学们完成）2.计划若干节车皮装运一批货物。如果每节装15.5吨，则有4吨装不下，如果每节装16.5吨，则还可多装8吨.问多少节车皮？多少吨货物？ 解：设x节车皮，y吨货物，根据题意列出方程组得y=15.5x+4y=16.5x-8（以下部分由同学们完成）3. 甲、乙两人都从A地到B地，甲步行，乙骑自行车，如果甲先走6千米乙再动身，则乙走34小时后恰好与甲同时到达B地；如果甲先走1小时，那么乙用12小时可追上甲，求两人的速度及A，B两地间的距离解析 设甲的速度为x千米
21、/时，乙的速度为y千米/时，那么有右侧线段示意图 解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时（以下部分由同学们完成）336.4413x.22yxy课堂小结课堂小结二元一次方程组的应用应用步骤简单实际问题其他类型问题审题：弄清题意和题目中的 设元：用_表示题目中的未知数列方程组：根据_个等量关系列出方程组解方程组检验作答数量关系字母2代入法；加减法；*7.3 三元一次方程组及其解法导入新课讲授新课当堂练习课堂小结七年级数学下（HS） 教学课件学习目标1.理解三元一次方程组的概念2.能解简单的三元一次方程组导入新课导入新课复习引入1、解二元一次方程组有哪几种方法？2、解二元一次方程组的基本思
22、路是什么？ 二元一次方程组代入加减消元一元一次方程化未知为已知化归转化思想代入消元法和加减消元法消元法讲授新课讲授新课三元一次方程组的概念一 在第7.1节中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队“我们的小世界杯”足球赛第一轮比赛中胜与负的场数。 在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的记分规则，共得18分。已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？自主探究这个问题可以用多种方法（算术法、列出一元一次方程或二元一次方程组）来解决。 小明同学提出了一个新的思路： 问题中有三个未知数，如果设这个队在第二轮比赛中胜，平，负的场数分别为
23、x，y，z，又将怎样呢？ 分别将已知条件直接“翻译”，列出方程，并将它们写成方程组的形式，得 10.318.xyzxyxyz这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？10.318.xyzxyxyz 在这个方程组中，x+y+z=10和x=y+z都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程.（linear equation with three unknowns）总结归纳 像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.三元一次方程组的解二 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.怎样解三元一次方程组呢？
24、能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？10.318.xyzxyxyz 解方程组解：将分别代入得 2y+z=22 3y-z=18 解由组成的二元一次方程组，得 y=3, z=2 把y=3, z=2代入，得x=5. 所以原方程的解是 x=5， y=3，z=2.10.318.x y zx yxy z 典例精析 例1：解方程组解：由方程得 x=y+1 把分别代入得 2y+z=22 3y-z=18 解由组成的二元一次方程组，得 y=8,z=6 把y=8代入，得x=9 所以原方程的解是x=9y=8z=623,1,220.xyzxyxyz 例2：解方程组解：得 3x+6z=24 即 x+2z=
25、8 3+4，得 17x17z=17 即 x-z=1 联合组成二元一次方程组，得 x+2z=8x-z=13433.2322.53422.xyzxyzxyz解得 x=2，z=3.将x=2，z=3代入方程 ，得 y=0. 所以原方程的解是 x=2,y=0, z=3.总结归纳 解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程消元消元消元“三元”“二元”二元一次方程组一元一次方程当堂练习当堂练习1.解方程组 ,则x_，y_，z_.xyz11，yzx5，zxy1.【解析】通过观察未知数的系数，
26、可采取 +求出y， + 求出z，最后再将y与z的值代入任何一个方程求出x即可.6832.若x2y3z10，4x3y2z15，则xyz的值为（ D ）A.2 B.3 C.4 D.5 解析: 通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.3.在等式 y=ax2bxc中,当x=1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.解:根据题意，得三元一次方程组abc= 0， 4a2bc=3， 25a5bc=60. ， 得 ab=1 ，得 4ab=10 与组成二元一次方程组ab=1，4ab=10.a=3，b=-2.解这个方程组，得把 代入
27、，得a=3，b=-2c=-5,a=3，b=-2，c=-5.因此三元一次方程组三元一次方程组的概念课堂小结课堂小结三元一次方程组的解法7.4 实践与探索导入新课讲授新课当堂练习课堂小结七年级数学下（HS） 教学课件学习目标1.学会用二元一次方程组（或三元一次方程组）来解决实际问题.（难点）导入新课导入新课问题引入 要用20张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒底盖3个.如果一个盒身和2个底盖可以做成一个包装盒，那么能否把这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？讲授新课讲授新课三元一次方程组的概念一合作探究 问题1： 要用20张白卡纸做包装盒，
28、每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒底盖3个.如果一个盒身和2个底盖可以做成一个包装盒，那么能否把这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？通过试验发现： 1张白卡纸能做0个盒子； 2张白卡纸能做1个盒子，1张做盒身，1张做盒底盖； 3张白卡纸能做2个盒子，1张做盒身，2张做盒底盖； 4张白卡纸能做3个盒子，2张做盒身，2张做盒底盖； 5张白卡纸能做4个盒子，2张做盒身，3张做盒底盖； 6张白卡纸能做5个盒子，2张做盒身，4张做盒底盖； 7张白卡纸能做6个盒子，3张做盒身，4张做盒底盖； 第8张和第1张情况类似； 第9张和第2张情况类似-归纳：用n表示纸的张
29、数，若n=7k+1(k是自然数），情况和1张的情况相同；，若n=7k+2(k是自然数），情况和2张的情况相同；-，若n=7k+ 6(k是自然数），情况和6张的情况相同；若n=7k (k是自然数），盒子的数量是64k. 由上述归纳可知：20张卡纸，20=72+6，余数是6，因此和6张相似，可以做5个盒子，14张纸可以做62=12个盒子，因此20张白卡纸可以做17个盒子。 那么还有没有其他的简便方法呢？解：设用x张白卡纸做盒身，用y张白卡纸做盒底盖，由题意得;322,20yxyx;7311,748yx所以可做16个包装盒.解得想一想：如果一张白卡纸可以适当的套裁出一个盒身和一个盒盖，那么，又怎样分
30、这些白卡纸，才能既使做出的盒身和盒盖配套，又能充分地利用白卡纸？ 用8张做盒身，11张做盒底盖，另一张套裁出1个盒身 ，1个盒底盖，则共可做盒身17个，盒底盖34个，正好陪成7个包装盒，较充分利用材料。 问题1： 小明在拼图时,发现8个一样大小的长方形如图那样,恰好拼成一个大长方形.xyxxxyyyy 小红看见了,说:“我来试一试。”结果七拼八凑，拼成如图那样的正方形。咳，怎么中间还留下了一个洞，恰好是边长为2的 小正方形！y2xx2 你能求出这些长方形的长和宽吗？3x=5y2y=x+2解：设每个小长方形的长为x,宽为y,则有解方程组，得 x=10 y=6 典例精析 例1：小芳和小亮各自买了同
31、样数量的信纸和同样数量的信封，他们各自用自己买的信纸写了一些信。小芳每封信都是一张信纸，小亮每封信都用了三张信纸。结果小芳用掉了所有的信封但余下20张信纸，而小亮用掉了所有的信纸但余下50个信封，那他们每人买的信纸为多少张？信封为多少个？解：设他们买了x张信纸，y封信封，根据题意，则：解得 x=105，y=85.;503,20 xyyx答：他们买了105张信纸，85封信封. 当堂练习当堂练习1.泉州是个美丽的城市。30名工人一共种植了1360平方米草坪，已知一名男工人种植50平方米草坪，一名女工人种植30平方米草坪，各有男、女工人多少人？解：设有男工人x人，女工人y人，根据题意，则：解得 x=
32、23，y=7.30,50301360;xyxy答：有男工人23人，女工人7人. 2.如图，用8块相同的小长方形地砖拼成一个大的长方形图案，已知大长方形的周长为200cm，那么每个小长方形地砖的面积是多少？ 解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm， 根据题意，则：解得 x=30，y=10.3,55200;xyxy答：每个小长方形的面积为300cm2. 所以每个小长方形的面积等于3010=300cm2.课堂小结课堂小结 1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题. 2.这种处理问题的过程可以进一步概括为：3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用.通过本课时的学习，需要我们掌握：
