1、计算三重积分zyxx,y,zfIddd)( =a ,b ; c ,d ; e ,g123:平面 x=0, y= 0 , z= 0，x+2y+ z =1所围成的区域。4:平面 y=0, z=0，3x+y=6, 3x+2y=12,和 x+y+z=6 所围成的区域。所围成的区域。 , , 与平面 抛物柱面:200zxzyxy5. .所围成的区域 和平面 双曲抛物面:01, zyxxyz6.4 1 22域 及三个坐标平面所围区 与平面曲面:yxyxz7所围区域。 , 和平面抛物柱面: 012242 2zzyxxy89 计算三重积分的另一思路（对有的问题适用） 10 例，计算11 柱面坐标 12 柱面坐
2、标的坐标面为曲顶柱体 所围成的闭区域是由 1222222czbyaxzyxzIddd218 球面坐标下的体积元素围成的区域。在第一卦限所及平面球面:000 2222,z,yxRzyx19202222222)(zy, xaazyx :21的在第一卦限的区域。0所围及椭圆柱面双曲抛物面 :zbyax ,cxy cz1 )0( 2222.yxazaaz yx所围区域0)与圆锥面(旋转抛物面轉:22222 2223. 的公共部分 0)(与 球体:ba bzyxazzyx2222222214zyxzIddd01222zzyx , :15zyxyxIddd1122 所围 锥面 :1222 , zzyx16
3、球面坐标 17 球面坐标的坐标面 计算.13 柱面坐标下的体积元素x0z yabcdz=gz=eNMPzyxzyxfIddd ),( =a ,b ; c ,d ; e ,gI = gezzyxfd),(积分区域是长方体积分区域是长方体. D同理，也有其它同理，也有其它 积分顺序积分顺序 Dyxdd gedcbazzyxfyxd),(dd1.1. x0z yz2(x,y) 为图示曲顶柱体为图示曲顶柱体I = ),(),(d),(yxzyxzzzyxf DyxddPNM.积分区域是曲顶柱体积分区域是曲顶柱体 Dz1(x,y)2.2.zyxzyxfIddd ),( x0z yz2(x,y)I =D积
4、分区域是曲顶柱体积分区域是曲顶柱体 为图示曲顶柱体为图示曲顶柱体z1(x,y)2.2.zyxzyxfIddd ),( ),(),(d),(yxzyxzzzyxf Dyxddz =0y = 0 x =00y x ：平面平面 x= 0, y = 0 , z = 0，x+2y+ z =1 所围成的区域所围成的区域 先画图先画图x0z y1121Dxy 是是曲曲顶顶柱柱体体 Dxy:x = 0, y = 0, x+2y =1 围成围成：上顶上顶yxz21 ：下底下底z = 0121 yxxzyxxddd 481 .3.3.计算三重积分计算三重积分x + 2y + z =1DxyzyxxIddd yxD
5、zxyxxydddI = ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域0y x6241 找出上顶、下底及投影区域找出上顶、下底及投影区域2 画出投影区域图画出投影区域图Dxy:y = 0, 3x+y = 6, 3x+2y =12 围成围成yxz 6z = 0不画立体图做三重积分不画立体图做三重积分Dxy yxDzz , y,xfyxIxy6 0)d(dd yxyyzzyxfxy6032 43 260d),(dd. 是是曲曲顶顶柱柱体体 ：上顶上顶：下底下底4.zyxz , y,xfIddd )( 计计算算666x+y+z=
6、63x+y=62.4.x0z yzyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域666x+y+z=63x+y=62.4.x0z yzyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.4.666x0z y42zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和
7、x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.4.666x0z y42zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域z = 0y = 042x+y+z=6.4.x0z y666zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域42.x0z y666 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+
8、y+z = 6所围成的区域所围成的区域4.zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 yxDzz , y,xfyxI6 0)d(dd.D0y x624D yxyyzzyxfxyI6 032 4 3 26 0d),(dd.0y x 2 xy 1 找出上顶、下底及投影区域找出上顶、下底及投影区域2 画出投影区域图画出投影区域图不画立体图做三重积分不画立体图做三重积分Dxy:xz 2 z = 0 xDzz , y,xfyxIxy2 0)d(dd xxzzyxfyx2 002 0d),(dd围成围成 x,y,xy。Dxy当当 f (x,y,z)= ycos(z+ x), I = ?21162 。是
9、是曲曲顶顶柱柱体体 ：上顶上顶：下底下底 所围成的区域。所围成的区域。与平面与平面抛物柱面抛物柱面 zx,z,yxy2 0 0 : 5.I =试计算：试计算：？zyxz , y,xfIddd )( 计计算算y2=xxyzo.5. 所围成的区域。所围成的区域。与平面与平面抛物柱面抛物柱面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 zx2 2 2 y2=xxyzo.5. 所围成的区域。所围成的区域。与平面与平面抛物柱面抛物柱面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 计计算算z = 0y=0 2 2 xyzo zzyxfyxIxx
10、d ),(dd2 002 0 。 Dxzz , y,xfyxI2 0)d(dd0y x 2 xy y2=x.5. 所围成的区域。所围成的区域。与平面与平面抛物柱面抛物柱面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 计计算算D 所所围围成成的的区区域域 与与 : z,yxxyzDxy:xyz 围围成成 yx,y,xz =00y x11 xyDzz , y,xfyxIxy 0)d(dd xyxzzyxfyx 01 01 0d),(dd。Dxy：上顶上顶：下底下底是是曲曲顶顶柱柱体体 6.6.双曲抛物面双曲抛物面zyxz , y,xfIddd )( 计计算算1x+ y=1
11、yozx1z=xy.6.6. 所所围围成成的的区区域域 与与 : z,yxxyzzyxz , y,xfIddd )( 计计算算z =01x+ y=1ozx1yz=xy.6.6. 所所围围成成的的区区域域 与与 : z,yxxyzzyxz , y,xfIddd )( 计计算算11z =0ozxx+ y=1y Dxyzz ,y,xfyxI0)d(dd。zz , y,xfyxxyxd )(dd01 010 。z=xy.6.6. 所所围围成成的的区区域域 与与 : z,yxxyzzyxz , y,xfIddd )( 计计算算 4 1:22 及及三三个个坐坐标标面面所所围围区区域域平平面面, , 曲曲面
12、面 yxyxzDxy:122 yxz围围成成 0, yx,yxz = 0440y x 1 022)d(ddyxDzz , y,xfyxIxy 104 04 022d),(ddyxxzzyxfyx。Dxy：上顶上顶：下底下底 是是曲曲顶顶柱柱体体 7.7.zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 4 1:22 及及三三个个坐坐标标面面所所围围区区域域平平面面, , 曲曲面面 yxyxzy14x+ y = 4x = 0 xzo1 22 yxz.7.7.zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 4 1:22 及及三三个个坐坐标标面面所所围围区区域域平平面面, , 曲曲面面 yxyxzy1
13、4x+ y = 4xzo11 22 yxz.7.7.zyxz , y,xfIddd )( 计计算算取第一卦限部分取第一卦限部分 4 1:22 及及三三个个坐坐标标面面所所围围区区域域平平面面, , 曲曲面面 yxyxz4x+ y = 4y = 0 xyz Dyxzz , y,xfyxId )(dd1022.Dzzyxfyxyxxd ),(dd .7.7.ozyxz , y,xfIddd )( 计计算算1所所围围区区域域。和和平平面面抛抛物物柱柱面面 z,zyxxy:Dxy:)241(2yxz ,22xy z = 042。1-20y xDxy：上顶上顶：下底下底是是曲曲顶顶柱柱体体 )()d,(
14、ddyxyyzzyxfxy8.围成围成 124 yx )241(20)d(ddyxDzz , y,xfyxIxy=zyxz , y,xfIddd )( 计计算算8.所所围围区区域域。和和平平面面抛抛物物柱柱面面 z,zyxxy:y0 xz.zyxz , y,xfIddd )( 计计算算8.所所围围区区域域。和和平平面面抛抛物物柱柱面面 z,zyxxy: 24xy 221224 zyx.zyxz , y,xfIddd )( 计计算算y0 xzz =04xy 221224 zyx . )(d),(ddyxyyzzyxfxy )241(20)d(ddyxDzz , y,xfyxIxyDxy.8.所所
15、围围区区域域。和和平平面面抛抛物物柱柱面面 z,zyxxy:zyxz , y,xfIddd )( 计计算算y0 xz x0z yzyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其中其中 c1c2z Dz9. 计算三重积分的另一思路计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）（对有的问题适用） x0z yzyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其中其中 c1c2 .9. 计算三重积分的另一思路计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）（对有的问题适用）zDz x0z yzyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z ,
16、 y,x )()(21 其中其中 c1c2 I = 21dccz zDyxx,y,zfd)d(.9. 计算三重积分的另一思路计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）（对有的问题适用）zDzx0z yzyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其中其中 c1c29. 计算三重积分的另一思路计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）（对有的问题适用）. I = 21dccz zDyxx,y,zfd)d(zyxzIddd2 所围成的闭区域所围成的闭区域 是由是由 其中其中 1222222 czbyaxx0yzbc10. 例例 计算计算aD0 2222221)(cz
17、byax, czc|z , y,x cczz d2 zDyxddzyxzIddd2 Dz 所围成的闭区域所围成的闭区域 是由是由 其中其中 1222222 czbyax.bczyxzIddd2 cczzczabd)1(222.3154abc =.10. 例例 计算计算x0yzD0a1)1()1(22222222 czbyczax. 2222221)(czbyax, czc|z , y,xz0 xz yM(r, , z)z rN cosrx xyz sinry (x, y, z) (r, , z)11. 柱面坐标柱面坐标z = z. z动点动点M(r, , z)柱面柱面Sr =常数：常数：平面平
18、面 z =常数：常数：x0yzMrz12.12. 柱面坐标的坐标面柱面坐标的坐标面动点动点M(r, , z)半平面半平面P柱面柱面S =常数常数:r =常数：常数：平面平面 z =常数：常数：zx0yzMr 12.12. 柱面坐标的坐标面柱面坐标的坐标面.xz y0 drrrd d z平面z元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：半平面半平面 及及 +d ; 半径为半径为r及及 r+dr的园柱面；的园柱面； 平面平面 z及及 z+dz；13.13. 柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素xz y0 drrrd d z底面积底面积 ：r drd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由
19、六个坐标面围成：半平面半平面 及及 +d ; 半径为半径为r及及 r+dr的园柱面；的园柱面； 平面平面 z及及 z+dz；dz平面平面z+dz13.13. 柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素.xz y0 drrrd d z底面积底面积 ：r drd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：半平面半平面 及及 +d ; 半径为半径为r及及 r+dr的园柱面；的园柱面； 平面平面 z及及 z+dz；dz ),sin,cos(zrrf zrrdddzyxddddV =zrrddd .13.13. 柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素.zyxzyxfddd ),( dVzyxz
20、Iddd 0 , 1 :222 zzyx1zzyxIxyDyxddd 4 . Dxy:221yxz ：下下底底122 yx：上顶上顶z = 0用哪种坐标？用哪种坐标？.柱面坐标柱面坐标0 xz yDxyzzrrrddd2101020 14.14. 计算计算I =1zyxyxIddd1122 所所围围锥锥面面 , zzyx:0 xz y1DxyzrrrIDrd11dd1 2 zrrrrdd1d1 1 0 22 0 )222(ln . Dxy:rz 1 rz = 1锥面化为锥面化为: r = z1.：下下底底：上顶上顶用哪种坐标？用哪种坐标？ 柱面坐标柱面坐标15.15. 102)d111(2rr
21、r.0 xz y x y zM(r, , )r Nyxz. cos sinr sin sinr cosr.16.16. 球面坐标球面坐标 SrM yz x0r =常数常数: =常数常数:球面球面S动点动点M(r, , )17.17. 球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面17.17. 球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面 r =常数常数: =常数常数:球面球面S半半平面平面P动点动点M(r, , )M yz x0 =常数常数:锥面锥面C. r drd rsin xz y0圆锥面圆锥面 rd 球面r圆锥面圆锥面 +d 球面球面r+d r元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：d rsin d
22、18.18. 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及 +d r drd xz y0 ,sinsin,cossin( rrf d rd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：rsin d 18.18. 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素.半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及 +d zyxzyxfddd ),( r 2sin drd d sin drd d r 2rcos )dVdV =rR 对对r: 从从0R积分积分,得半径得半径任
23、取球体内一点任取球体内一点.z ,y,xRzyx:所围成的区域所围成的区域在第一卦限在第一卦限 及平面及平面球面球面 000 2222 19.zyxzyxfIddd ),( 求求0 xz y0 xz yMr R对对 : 从从0 积分，积分，.19.zyxzyxfIddd ),( 求求2.z ,y,xRzyx:所围成的区域所围成的区域在第一卦限在第一卦限 及平面及平面球面球面 000 2222 对对r: 从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点任取球体内一点 R对对 : 从从0 积分，扫遍球体积分，扫遍球体 .19.zyxzyxfIddd ),( 求求2得锥面得锥面.z ,y,xRzyx:所
24、围成的区域所围成的区域在第一卦限在第一卦限 及平面及平面球面球面 000 2222 0 xz y对对r: 从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点任取球体内一点对对 : 从从0 积分，积分，20 xz yR . 0I=V当当 f =1,.19.zyxzyxfIddd ),( 求求rrrrrfIRdsin)cos,sinsin,cossin(dd022020 .z ,y,xRzyx:所围成的区域所围成的区域在第一卦限在第一卦限 及平面及平面球面球面 000 2222 对对r: 从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点任取球体内一点得锥面得锥面对对 : 从从0 积分，积分，2对对 : 从从
25、0 积分，扫遍球体积分，扫遍球体2球系下确定积分限练习球系下确定积分限练习1 为全球体为全球体2 为空心球体为空心球体3 为上半球体为上半球体4 为右半球体为右半球体5 为球体的第一、二卦限部分为球体的第一、二卦限部分rrfIRdsindd02 02 0 为洞为洞添加添加 Rzyx rrfIRRdsindd22 02 0 rrfIRdsindd022 02 0 rrfIRdsindd02 0 0 rrfIRdsindd022 0 0 . Rzyx.19.zyxzyxfIddd ),( 求求计算计算已知已知 )( .zyx,aazyx: z 0 xyar=2a cos 4 .M. cos20:a
26、r 20 40 r M20.20.zyxzyxfIddd ),( rrrrrfIsadsin )cos,sinsin,cossin(ddco2 024 02 0 Dxy:cxyz 围成围成 1 2 byax,y,xzzyxfyxDcxyd ),(dd 0 zzyxfyxcxyaxaabd ),(dd 0 0 022 。z = 0ab0y xDxy。直角坐标直角坐标：上顶上顶：下底下底 是是曲曲顶顶柱柱体体 用哪种坐标？用哪种坐标？区区域域。 所所围围成成的的在在第第一一卦卦限限的的及及 zbyaxcxyz: , )( c 21.21.zyxzyxfIddd ),( 计计算算zyxzyxfIdd
27、d ),( azob12222 byaxyxcz=xy.21.21.区区域域。 所所围围成成的的在在第第一一卦卦限限的的及及 zbyaxcxyz: , )( c zyxzyxfIddd ),( 计计算算zz = 0a12222 byaxcz=xyyxb.21.21.区区域域。 所所围围成成的的在在第第一一卦卦限限的的及及 zbyaxcxyz: , )( c zyxzyxfIddd ),( 计计算算oazoxy. zzyxfyxIDcxyd ),(dd zzyxfyxcxyaxaabd ),(dd cz=xyb.21.21.区区域域。 所所围围成成的的在在第第一一卦卦限限的的及及 zbyaxcx
28、yz: , )( c zyxzyxfIddd ),( 计计算算Dxy:。a0y xDxy)( aazyx:曲面曲面所围区域所围区域与与 yxaz raz 2ar z2 azarL ：解得交线解得交线 0 zar razazr2 2联立联立柱面坐标柱面坐标zz ,r ,rfrrIxyDraard )sincos(dd22 zzrrfrrraarad ),sin,cos(dd20202 。：上顶上顶：下底下底 是是曲曲顶顶柱柱体体 用哪种坐标？用哪种坐标？22.22.zyxzyxfIddd ),( 2aaraz 2azr 2.L razazr2 2联立联立柱面坐标柱面坐标2a0 xyz )( aa
29、zyx:曲面曲面所围区域所围区域与与 yxaz azarL ：解得交线解得交线22.22.zyxzyxfIddd ),( zzrrfrrraarad ), sin, cos(dd2 0 202 zzrrfrrDraard ),sin,cos(dd2 2 0 xz y.LD arzD :.raz 2azr 2. razazr2 2联立联立柱面坐标柱面坐标)( aazyx:曲面曲面所围区域所围区域与与 yxaz azarL ：解得交线解得交线a2a22.22.zyxzyxfIddd ),( 。 的公共部分的公共部分与球体与球体球体球体 )( : babzyxazzyx20 xz yab23.23.
30、b0 xz ya 问题问题：2 要不要分块？要不要分块？3 怎么分块？怎么分块？把图形放大一些把图形放大一些把图形放大一些把图形放大一些1 用哪种坐标？用哪种坐标？（球系）（球系）23.23.zyxzyxfIddd ),( 计计算算。 的公共部分的公共部分与球体与球体球体球体 )( : babzyxazzyx223.23.0 xz yba联立联立r =2a cos r =b交线交线 Lab2arccos0 交线交线 L处处.。 的公共部分的公共部分与球体与球体球体球体 )( : babzyxazzyx2.zyxzyxfIddd ),( 计计算算23.23.0 xz yba. . zyxzyxfIddd),( 1I.z 。 的公共部分的公共部分与球体与球体球体球体 )( : babzyxazzyx2.zyxzyxfIddd ),( 计计算算rrrrrfbdsin)cos,sinsin ,cossin(dd220000 .ab2arccos0 23.23.0 xz yba. zyxzyxfIddd),(.I = I1+ I2。 的公共部分的公共部分与球体与球体球体球体 )( : babzyxazzyx2.zyxzyxfIddd ),( 计计算算 dsin)cossinsin cossin(dd202cos2020 arrr ,r ,rfI2 = 2.
