1、数学与生活数学数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。通过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。 数学来源于生活，高于生活。拿破仑波拿巴（Napoleon Bona-parte, 17691821），十九世纪法国伟大的军事家、政治家，法兰西第一帝国的缔造者。历任法兰西第一共和国第一执政(1799年-1804年)，法兰西第一帝国皇帝(1804年-1815年)。 名人与数学名人与数学数学的发展与完善与一个国家的繁荣富强休戚相关！拿破仑三角形拿破仑三角形在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角
2、形。这个由三个等边三角形中心构成的三角形称“外拿破仑三角形”。如图中的DEF就是ABC的外拿破仑三角形。在任意一个三角形的三条边上分别向内做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心仍能构成一个等边三角形，这个由三个等边三角形中心构成的三角形称“内拿破仑三角形”。 亚伯拉罕林肯(Abraham Lincoln，1809年2月12日-1865年4月15日)，美国政治家、思想家、战略家，黑人奴隶制的废除者。1860年11月，林肯当选第16任美国总统。 “自任国会议员以来，他学习并几乎精通了几何原本前6卷。他开始学习这门严密的学科，为的是提高他的能力，特别是逻辑和语言的能力。因此他酷爱几何原本，每次
3、巡行，他总是随身携带它；直到能够轻而易举地证明前六卷中的所有命题为止。他常常学到深更半夜，枕边烛光摇曳，而同事们的鼾声却已此起彼伏、不绝于耳。” (1860年总统候选人简介) 詹姆斯艾伯拉姆加菲尔德(James Abram Garfield，18311881) 美国政治家、数学家，美国共和党人，美国第20任总统。勾股定理的证明伽菲尔德对勾股定理的证明伽菲尔德对勾股定理的证明托马斯霍布斯(Thomas Hobbes，1588年4月5日-1679年12月4日)英国政治家、哲学家。 40岁时才开始学习几何。他偶然在一位绅士的图书馆里看到欧几里得几何原本打开着，正好在毕达哥拉斯定理那页上。他读了这个命
4、题。“天啊，”他说，“这是不可能的。”所以他读了定理的证明，证明用到了前面的另一个命题，于是他又读了这个命题。而那个命题又用到前面另一个命题，于是他又读了这个命题。最后他终于对毕达哥拉斯定理深信不疑。这使得他对几何学产生了爱好”。金庸射雕英雄传第29回和31回中通过宋元数学（如开方、幻方、天元术、四元术、同余问题等）来刻画黄蓉才智过人的形象。文学作品中的数学文学作品中的数学福尔摩斯探案集华生博士偶然在一本杂志上看到福尔摩斯写的一篇文章，福尔摩斯在文章中自称“他得出的结论会像欧几里得的命题一样准确他得出的结论会像欧几里得的命题一样准确”他写道： “从一滴水中，一个逻辑学家就能推测出可能有大西洋或
5、尼亚加拉瀑布存在，而无需亲眼看到或亲耳听说过这些。所以，整个生活就是一条巨大的链条，我们只要看到其中的一环，就能知道其本质。”文学作品中的数学文学作品中的数学建筑中的数学建筑中的数学古希腊毕达哥拉斯学派发现，音的和谐与弦长的整数比有密切关系：1 : 2、2 : 3和3 : 4分别对应八度、五度和四度音程。有理由相信，这一发现，连同该学派 “万物皆数”的信条对于古希腊的建筑产生过深远的影响。帕提农神殿帕提农神殿神殿台基长（东西向）69.5米，宽（南北向）30.9米；圆柱的底径1.9米，高10.44米；圆柱中心轴距离4.29米。 台基的宽和长之比、圆柱底径与中心轴间距之比、水平檐口高（柱高加上檐部
6、高3.29米）与台基宽之比均为4 : 9！圣索菲亚大教堂在古典希腊和古罗马时期，建筑师必须同时也是数学家。 查士丁尼大帝统治时期（527-565）建成的拜占廷帝国最辉煌的建筑、首都君士坦丁堡的圣索菲亚大教堂即是由两位小亚细亚数学家伊西多洛斯和安泰缪斯负责设计的。一个顶点正是城堡外八边形的一个顶点。外八边形、内八边形和角上八边形的边长之比为 ，如果再按同样的方法不断在每一个小八边形外作出八个更小的正 八边形，并 保留朝外的五个，那么最后所得的图形乃是一个漂亮的分形图案。12:1:2基督受鞭图 (c.1469)名画中的数学名画中的数学达芬奇：最后的晚餐（1494） 拉斐尔(Raphael, 148
7、3-1520)：雅典学派 丢勒：圣徒杰罗姆在书房(雕版画, 1514) 战争中的数学战争中的数学1990年，伊拉克点燃了科威特的数百口油井，浓烟遮天蔽日，美国在“沙漠风暴”之前，曾担心点燃所有油井的后果。五角大楼要求太平洋-赛拉研究公司研究此问题。该公司利用Navier-Stokes方程和有热损失能量方程作为计算模型，在进行一系列模拟计算后得出结论：大火的烟雾可能招致以一场重大的污染事件，它将波及波斯湾、伊朗南部、巴基斯坦和印度北部，但不会失去控制，不会造成全球性的气候变化，不会对地球的生态和经济系统造成不可挽回的损失。这样才促成美国下定决心。所以人们说：第一次世界大战是化学战、第二次世界大战
8、是物理战（原子弹）、海湾战争则是数学战。天文中的数学天文中的数学德国天文学家提丢斯于1766年将数列4，7，10，16，28，52，100，196，388，772与行星和太阳之间的相对距离联系起来，得到了一个惊人的法则今称 Bode 定律。行行 星星Bode Bode 距离距离实际距离实际距离( (单位单位: : 天文单位天文单位/10)/10)水星金星地球火星谷神星谷神星木星土星天王星天王星海王星冥王星4710162828521001961963887723.97.210.015.227.6 27.6 （G. Piazzi, 1801G. Piazzi, 1801元旦）元旦）52.095.3
9、192192（Herschel,1781Herschel,1781）301396谷神星 意大利天文学家皮亚齐（G. Piazzi）于1801年1月1日发现。平均直径为952km，等于月球直径的1/4，质量约为月球的1/50。 德国数学家高斯（C. F. Gauss）根据皮亚齐的观测资料，计算出了谷神星的公转周期为4.6年。1801年12月31日夜，德国天文爱好者奥伯斯，再次用望远镜发现了这颗星！ 斐波纳契数列斐波纳契(Fibonacci)计算之书(1202)“一对兔子，出生后第二个月开始有生育能力，每月繁殖一对小兔子。问一对兔子一年中可繁殖出多少对兔子？” 1，1，2，3，5，8，13，21，
10、34，55， 89，144，如从第3个数开始每隔两个必是2的倍数，从第4个数开始每隔3个必是3的倍数，从第5个数开始每隔4个必是5的倍数另外，这个数列最具有和谐之美的地方是，越往后，相邻两项的比值会无限趋向于黄金比0.61803 向日葵上方向相反的两族等角螺线的数目是斐波纳契数列中的相邻两项通常逆时针方向21条，顺时针方向34条，或逆时针方向34条，逆顺时针方向55条，更大的向日葵的螺线数则有89和144，甚至144和233。 从选定的某第一片叶子开始，往上作经过各片叶子的螺旋线，直到与选定叶子同在一条直线上的那片叶子为止。设p为螺旋线转过的周数，q为螺旋线经过的叶片数（不包括第一片）。那么分
11、数p/q就刻画了叶的趋异性。令人惊奇的是，许多植物的p和q都是斐波纳契数！ 雄蜂谱系：满足斐波纳契数列雄蜂谱系：满足斐波纳契数列意大利艺术家Mario Merz（1925）可谓三十年“情系”斐波纳契数列。他把这个数列用于装饰巴黎Salpe-triere的圣路易斯教堂，图灵的塔尖，更引人注目的是，他还用这个数列来装饰芬兰Turku一家核电厂的烟囱！ 从历史上看，和相似三角形情形一样，古人对全等三角形的认识源于测量，可以上溯到古代埃及和巴比伦文明，但很难判断古人认识“边角边”、“角边角”和“边边边”三个全等条件的先后顺序。表1给出三个定理在几何原本和华师大版教材中分别出现的先后顺序以及证明方法。华
12、师大版中的顺序也是现代教材通常采用的顺序，与美国数学史家和数学教育家史密斯（D. E. Smith, 18601944）几何的教学1中安排的顺序一致。采用与几何原本不同的顺序，显然是出于证明的需要。 定 理几何原本华师大版教材顺 序证 法顺 序证 法边角边1（卷1命题4）叠 置1叠 置边边边2（卷1命题8）反证法3利用边角边定理角边角3（卷1命题26）反证法2叠 置 全等定理的顺序与证法1 边角边边角边我们认为，历史上人们认识三种全等条件的先后顺序大致是由测量的难易程度来决定的，因此，几何原本中的顺序可能更符合历史顺序。教师可以从最简单的长度测量方法入手。古人往往 “就地取材”，用自己的手或脚
13、来测量长度。在古代巴比伦和埃及，常用的长度单位为“肘尺”（cubit）从肘到中指端的长度（约53cm）；在古代希腊和罗马，常用的长度单位是“尺”（foot）脚掌的长度（从275mm到330mm不等）和“掌”（palm）四指宽（1肘尺6掌）；在中世纪的英国，据说“码”（yard）是根据亨利一世（Henry I, 10681135）的手臂长确定的。我国古代的长度单位之一是“步”，荀子劝学篇云：“不积跬步，无以至千里”，按秦时的度量制度，一步等于二跬，一跬等于三尺，即单脚一次跨出的长度。介绍上述度量知识之后，教师提出如下问题：假设一个人的双腿伸直，那么在什么条件下他前后两次跨出的长度相等？案例案例
14、5 全等三角形的应用全等三角形的应用 教师引导学生将这个问题转化为如下几何问题：已知两个等腰三角形的腰相等，那么，在什么条件下底边也相等？ 要解决这个问题，就要研究腰相等的两个等腰三角形全等的条件。通过叠置方法，引导学生得出“两个等腰三角形顶角相等”这个条件。对于两个一般的三角形，如果两边和夹角对应相等，是否全等呢？ 提出这个问题后，安排给定两边长度和顶角大小的三角形作图活动，引导学生得出“边角边确定了一个三角形形状”的结论，并借助圆规这一作图工具加以说明：当圆规的两脚和张角固定时，两脚尖之间的距离是固定的，所以用圆规可以画出圆来。最后利用叠置方法证明边角边定理。 2 边边边边边边教师可以从桥
15、梁的桁架重新引出三角形“稳定性”的话题：给定三边长度，三角形的形状是固定的。接着，安排作图活动，引出“边边边”定理，并利用菲罗的方法加以证明。边边边定理的应用有着十分悠久历史。古代的水准仪 在古代埃及和巴比伦，一些测量工具和基本的几何图形，往往被看作神圣的符号而被用作护身符。下图是埃及古墓中出土的测量工具形状的护身符，其中第二种显然是测水准的工具。 古代的水准仪由一个等腰三角形以及悬挂在顶点处的铅垂线组成。测量时，调整底边的位置，如果铅垂线经过底边中点，就表明底边垂直于铅垂线，即底边是水平的。这就是“边边边”定理的应用。 我们有理由相信，埃及人在建造金字塔时必用到这种测量工具。 在古罗马土地丈
16、量员的墓碑上，我们也看到了这种水平仪。中世纪和文艺复兴时代，这种工具仍被广泛使用。 17世纪意大利数学家Pomodoro的实用几何一书中给出的利用水准仪测量山坡高度的方法 3 角边角角边角 希腊几何学的鼻祖泰勒斯（Thales, 前6世纪）发现了角边角定理。普罗克拉斯（Proclus, 5世纪）告诉我们：“欧得姆斯在其几何史中将该定理归于泰勒斯。因为他说，泰勒斯证明了如何求出海上轮船到海岸的距离，其方法中必须用到该定理。” 坦纳里（P. Tannery, 18431904）认为，泰勒斯应该是用右图所示的方法来求船到海岸的距离的：设A为海岸上的观察点，作线段AC垂直于AB，取AC的中点D，过C作
17、AC的垂线，在垂线上取点E，使得B、D和E三点共线。利用角边角定理，CE的长度即为所求的距离。这种方法为后来的罗马土地丈量员所普遍采用。 EBCDA希思（T. L. Heath, 1861-1940）提出了另一种猜测：如图，泰勒斯在海边的塔或高丘上利用一种简单的工具进行测量。直竿 EF 垂直于地面，在其上有一固定钉子A，另一横杆可以绕 A 转动，但可以固定在任一位置上。将该细竿调准到指向船的位置，然后转动EF（保持与底面垂直），将细竿对准岸上的某一点C。则根据角边角定理，DC = DB。 上述测量方法广泛使用于文艺复兴时期。右图是16世纪意大利数学家贝里（S. Belli, ?1575）出版于1565年的测量著作中的插图，图中所示的方法与泰勒斯所用方法相同。有一个故事说，拿破仑军队在行军途中为一河流所阻，一名随军工程师用运用泰勒斯的方法迅速测得河流的宽度，因而受到拿破仑的嘉奖。因此，从古希腊开始，角边角定理在测量中一直扮演者重要角色。谢谢您的聆听
