1、梁 的 内 力 INTERNAL FORCES IN THE BEAM 1 工程实际中的弯曲问题 2 梁的荷载和支座反力 3 梁的内力及其求法 4 内力图 5 弯矩、剪力、荷载集度之间的关系 6 叠加法作剪力图和弯矩图1 工程实际中的弯曲问题 梁在垂直于其轴线的荷载作用下要变弯，其梁在垂直于其轴线的荷载作用下要变弯，其轴线由原来的直线变成曲线，这种变形叫做弯曲轴线由原来的直线变成曲线，这种变形叫做弯曲变形。产生弯曲变形的构件称为受弯构件。变形。产生弯曲变形的构件称为受弯构件。AB一、平面弯曲的基本概念F2F1 The member of which the deformation is mai
2、nly bending is generally called beam(梁梁).M工程实例 建筑工程中的各类梁、火车轴、水压作用下的水建筑工程中的各类梁、火车轴、水压作用下的水槽壁等。槽壁等。桥式吊梁桥式吊梁火车轴火车轴 平面弯曲：梁的轴线在变形后仍保持在同一平面平面弯曲：梁的轴线在变形后仍保持在同一平面(荷载作用面荷载作用面)内，即梁的轴线成为一条平面曲线。内，即梁的轴线成为一条平面曲线。 (a)ABF2F1 (c)对称（平面）弯曲(Planar bending) 对称平面对称平面 F2F1 (b)2 梁的荷载和支座反力 一、梁的荷载 1 集中力：作用在微小局部上的横向力；集中力：作用在微
3、小局部上的横向力； 2 集中力偶：作用在通过梁轴线的平面（或与该面集中力偶：作用在通过梁轴线的平面（或与该面平行的平面）内的力偶。平行的平面）内的力偶。MeF3 分布荷载：分布荷载：沿梁长连续分布的横向力沿梁长连续分布的横向力。荷载集度：荷载集度：用用q(x)表示表示 分布荷载的大小分布荷载的大小 均布荷载均布荷载非均布荷载非均布荷载q(x)q(x)=C二、梁的支座及支座反力支座形式1 固定铰约束固定铰约束2 可动铰约束可动铰约束3 固定支座固定支座RFRyFRxFRyFRxFRM 计算简图 确定梁的确定梁的“计算简图计算简图” 包含：包含： 以梁的轴线经代替实际的梁；以梁的轴线经代替实际的梁
4、； 以简化后的支座代替实际的支座；以简化后的支座代替实际的支座； 实际支承实际支承理想支承理想支承 以简化后的荷载代替实际的荷载。以简化后的荷载代替实际的荷载。 三、梁的分类 按支座情况按支座情况 简支梁：一端固定铰，一端可动铰简支梁：一端固定铰，一端可动铰外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁悬臂梁：一端固定支座，另一端自由悬臂梁：一端固定支座，另一端自由 按支座反力的求解方法 静定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；静定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；ABAMAFAzFAxFAyFAxFB 超静定梁：仅用平衡方程不能求出全部未知反超静定梁：仅用平衡方程不能求出
5、全部未知反力的梁。力的梁。FF 按梁的横截面 等截面梁：横截面沿梁的长度没有变化；等截面梁：横截面沿梁的长度没有变化； 变截面梁：横截面沿梁的长度有变化。变截面梁：横截面沿梁的长度有变化。汽车钢板弹簧汽车钢板弹簧鱼腹梁鱼腹梁3 梁的内力及其求法 一、求梁的内力的方法截面法0yF0OMM内力的形式及名称剪力剪力弯矩弯矩N或或kNNm或或kNm11QFMFQFRAaAAFRAFRB laF1F20yF0OMRARA0MFaMFa内力的求法BF1FRAF2FQ M?RAQQRA0FFFFMFQFRAaA内力的正负号剪力剪力弯矩弯矩MM M M FQFQ顺时针转为正顺时针转为正逆时针转为负逆时针转为负
6、上压下拉为正上压下拉为正上拉下压为负上拉下压为负FQFQ 例例1 图示简支梁受两个集中力作用，已知图示简支梁受两个集中力作用，已知F1=12kN，F2=10kN，试计算指定截面试计算指定截面1-1、2-2的内力的内力。0BM0yFRR120ABFFFFR15kNAFR7kNBF解：(1) 求支座反力12R2.51.530AFFF BAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m(2)求1-1截面上的内力 0yF0OM1R1110.509kN mAMFFM FRAAFQ1M11mF10.5mkN301Q1Q1RAFFFFBAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m (
7、3)求2-2截面上的内力 0yF0OM1222R1.507m2k.0N5AFFMMFF2F1AM2FQ2FRARA12Q2Q207kNFFFFF RA12Q2FFFF1R2221.50.5AFMFFQ2RBFF BAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m 结论： 1 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面左梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（侧（或右侧或右侧）所有竖向力（包括斜向外力的竖向分力、）所有竖向力（包括斜向外力的竖向分力、约束反力）的代数和；且截面左边向上（约束反力）的代数和；且截面左边向上（右边向下右边向下）的外力使截面产生正号的剪力。的外力使截面产生
8、正号的剪力。 2 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面左梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（侧（或右侧或右侧）所有竖向力对该截面形心力矩的代数和）所有竖向力对该截面形心力矩的代数和（包括外力偶、约束反力偶）；且截面左边顺时针（包括外力偶、约束反力偶）；且截面左边顺时针（右边逆时针右边逆时针）的力矩使截面产生正号的弯矩。）的力矩使截面产生正号的弯矩。RA12Q2FFFF1R2221.50.5AFMFFF2F1M2FQ2FRAMFQ 例例2 试利用上述结论写出图示梁试利用上述结论写出图示梁1-1截面上的剪力和截面上的剪力和弯矩的表达式。弯矩的表达式。M RBFsin2 Fql1F2l
9、ceqleMfFRBbfFsin2eF 1qF1FRBlbcMeF2de11fMFQQF 例例3 求图示简支梁求图示简支梁1-1与与2-2截面的剪力和弯矩截面的剪力和弯矩。0BMR68 4.512 31.5AF R15kNAF0AMR68 1.512 34.5BF R29kNBFFRB解：(1)求支座反力FRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m(2)求求1-1截面的剪力截面的剪力FQ1、弯矩弯矩M1根据根据1-1截面截面左侧左侧的外力计算可得的外力计算可得：1M1MR1587kNAFFR22 1.526kN mAFF R37kNBqFR32.5426kN mBqF根
10、据根据1-1截面截面右侧右侧的外力计算可得的外力计算可得可见计算结果完全相同可见计算结果完全相同。Q1FQ1FFRBFRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m (3) 求求2-2截面的剪力截面的剪力FQ2、弯矩弯矩M2 根据根据2-2截面右侧的外力计算可得截面右侧的外力计算可得：2MR1.511kNBqF R1.50.751.530kN mBqFQ2FFRBFRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m4 内力图剪力图和弯矩图 为了形象地看到内力的变化规律，通常将剪力、弯为了形象地看到内力的变化规律，通常将剪力、弯矩沿梁长的变化情况用图形表示出来
11、，这种表示剪力矩沿梁长的变化情况用图形表示出来，这种表示剪力和弯矩变化规律的图形分别称为剪力图和弯矩图。和弯矩变化规律的图形分别称为剪力图和弯矩图。 xMM 函数图形 具体作法是：具体作法是： 剪力方程：剪力方程： 弯矩方程：弯矩方程： xFFQQ 例例4 求作图示受均布荷载作用的简支梁的剪力图和求作图示受均布荷载作用的简支梁的剪力图和弯矩图弯矩图。 解：(1)求支座反力RR2ABqlFF QFx xMR2AlFqxqxR22AxqFxqxx lx(2)列出剪力方程和弯矩方程 取距左端为取距左端为x处的任一截面，此截面的剪力和弯矩处的任一截面，此截面的剪力和弯矩表达式分别为表达式分别为:xFR
12、AFRBBqlA Q2lFxqx xlxqxM2(3)画剪力图、弯矩图，标出特征值FQ图ql/2ql/2ql2/8M图xFRAFRBBqlA 例例5 简支梁受一集中力简支梁受一集中力F=9ql和一集中力偶和一集中力偶Me=ql2作作用，试作出其剪力图和弯矩图用，试作出其剪力图和弯矩图。 分析分析： 1-1、2-2截截面上的剪力面上的剪力 结论：结论：当梁中间受力较复杂时，剪力方程和弯当梁中间受力较复杂时，剪力方程和弯矩方程不可能用一个统一的函数式来表达，必须分矩方程不可能用一个统一的函数式来表达，必须分段段 列出其表达式。列出其表达式。 分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷分段是以集中力
13、、集中力偶的作用位置及分布荷载的起点和终点为界载的起点和终点为界(分段点如何确定？分段点如何确定？) 1122（ ? ）3344BA(O)lCDF Mel/3l/3 解：(1)求支座反力R5AFqlR4BFql QR5AFxFql R5AM xFxql x (2)分三段AC、CD、DB列出剪力方程和弯矩方程 AC段FRAFRBBA(O)lCDF Mel/3l/3 CD段段 QFx xM QFx xMR4AFFql 2R334AFxFxlqlql xR4AFFql 2R344AeFxFxlMqlqlx DB段段 FRAFRBBA(O)lCDF Mel/3l/3ql5ql4253ql23ql243
14、ql Q544qlFxqlql qlxqlqlxqlxqlxM4443522(3)画剪力图、弯矩图，标出特征值 FQ图M图图R5AFqlR4BFql1122BA(O)CDFRAFRBlF Mel/3l/3 结论： 当梁上荷载有变化时，剪力方程和弯矩方程当梁上荷载有变化时，剪力方程和弯矩方程不可能用一个统一的函数式来表达，必须分段列出不可能用一个统一的函数式来表达，必须分段列出其表达式。分段是以其表达式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置集中力、集中力偶的作用位置及分布荷载的起点和终点及分布荷载的起点和终点为界。为界。 剪力图和弯矩图一般是连续的，且左右两端的剪力图和弯矩图一般是连续的，且左右两
15、端的剪力和弯矩剪力和弯矩为零为零（从零开始，到零结束从零开始，到零结束） 。在集。在集中力作用处剪力图发生突变，突变的数值等于集中中力作用处剪力图发生突变，突变的数值等于集中力的大小，方向与集中力的方向相同；在有集中力力的大小，方向与集中力的方向相同；在有集中力偶作用的地方弯矩图发生突变，突变的数值等于集偶作用的地方弯矩图发生突变，突变的数值等于集中力偶的大小，方向为中力偶的大小，方向为“顺下逆上顺下逆上”。 5 弯矩、剪力、荷载集度之间的关系 一、弯矩、剪力、荷载集度之间的关系 QddM xFxx QddFxq xx 0 xq Q544qlFxqlql qlxqlqlxqlxqlxM4443
16、522BA(O)CDlF Mel/3l/30yF QQQdd0FxFxFxq xx QddFxq xx0OM Qdddd02xM xM xM xFxxq xx QddM xFxx 22ddM xq xx即：弯矩对即：弯矩对x的导数等于梁上相应位置截面上的剪力。的导数等于梁上相应位置截面上的剪力。 即：剪力对即：剪力对x的导数等于梁上相应位置分布荷载的集度的导数等于梁上相应位置分布荷载的集度 。 Bq(x)xdxlAq(x)dxFQ(x)+dFQ(x)FQ(x) M(x)+dM(x)M(x) 二、剪力图、弯矩图的规律q 0 0 0 0 0MM 剪力为零的截面或其左、右侧剪力的正负号改变的截面 Q
17、0Fx 0dxxdM该截面的弯矩有极大值；该截面的弯矩有极大值；该截面的弯矩有极小值。该截面的弯矩有极小值。Q0Fx MQ0F M结论： “+”“-” “-”“+” 结论（规律）： (2)当梁的支承情况当梁的支承情况对称对称，荷载，荷载反对称反对称时，则弯矩时，则弯矩图永为图永为反对称反对称图形，剪力图永为图形，剪力图永为对称对称图形。图形。 (1)当梁的支承情况当梁的支承情况对称对称，荷载也，荷载也对称对称时，则弯矩时，则弯矩图永为图永为对称对称图形，剪力图永为图形，剪力图永为反对称反对称图形；图形；FQ图M图CBAq/2EIlABCEIlq/2q/2 例例7 图示左端外伸梁，外伸端图示左端
18、外伸梁，外伸端A作用一集中力偶作用一集中力偶Me=qa2，BA段所受荷载的分布集度为段所受荷载的分布集度为q，试利用微分试利用微分关系作梁的剪力图、弯矩图关系作梁的剪力图、弯矩图。0yF0AMRA76FqaRB116Fqa解：(1)求支座反力三、画剪力图、弯矩图的简便方法Bq3aAMeCaFRAFRB(2)作剪力图(3)作弯矩图aqqax6767maxMRB116FqaRA76Fqa2721211211611611611qaaaqaqax7/6qa11/6qa=121/72qa2FQ图M图MeMmaxBq3aAMeCaFRAFRB2m2m2mFRA=5kNFRB=4kNP=3kNM1=2kNm
19、M2=6kNmq=1kN/m2mBA+466683222FQ (kN)M(kNm) 作用梁的内力图作用梁的内力图例例8 试作出图试作出图(a)示简支梁的剪力图和弯矩图示简支梁的剪力图和弯矩图。 A(O)Fl/2DEaa/2BlF/2F/2A(O)aa/2BlaqQFMqqaaaqa22/qa22/qaqaqaqa2qaqa3qa2qa22qa22qa22qaq2qaa2aaQFMqa5qaACBD6 叠加法作剪力图和弯矩图 Q21elaFlllxxMFq 222exMllxxM xqla xFl Q12eMllFxxaFlq 222elaaxFxMlxxMlqlx Q12eMllFxxaFlq
20、 2212elaaxFlxxMllxxMqBqACMeDlbaF 结论结论：q、F、Me共同作用共同作用时产生的内力等于时产生的内力等于q、F、Me分别分别单独作用单独作用时产生的内力之时产生的内力之和和。 因此，当梁上有几种（或几个）荷载作用时，可以因此，当梁上有几种（或几个）荷载作用时，可以先分别计算每种（或每个）荷载单独作用时的梁的反先分别计算每种（或每个）荷载单独作用时的梁的反力和内力，然后将这些分别计算所得的结果代数相加力和内力，然后将这些分别计算所得的结果代数相加得梁的反力和内力。这种方法称为得梁的反力和内力。这种方法称为叠加法。 将上面的剪力方程和弯矩方程写成如下的统一将上面的剪
21、力方程和弯矩方程写成如下的统一形式：形式： Q123eFxqFM eMFqxM321OOO12+OOO12+1 叠加原理成立的前提条件：叠加原理成立的前提条件：（1）小变形）小变形（2）材料满足虎克定理（线性本构关系）材料满足虎克定理（线性本构关系）当变形为微小时，可采用变当变形为微小时，可采用变形前尺寸进行计算。形前尺寸进行计算。1、叠加原理叠加原理：当梁在各项：当梁在各项荷载作用下某一横截面上荷载作用下某一横截面上的弯矩等于各荷载单独作的弯矩等于各荷载单独作用下同一横截面上的弯矩用下同一横截面上的弯矩的代数和。的代数和。2、区段叠加法作弯矩图区段叠加法作弯矩图： 设简支梁同时承受跨间荷设简
22、支梁同时承受跨间荷载载q与端部力矩与端部力矩MA、MB的作用的作用。其弯矩图可由简支梁受端部。其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯矩图与跨力矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩间荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即：图叠加得到。即：+MAMBM0+MAMBM0弯曲内力弯曲内力 xMxMxM0BMAAqMBlB 注意注意：这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拚合。而不是指图形的拚合。d图中的纵坐标如同图中的纵坐标如同M图的纵图的纵坐标一样，也是垂直于杆轴线坐标一样，也是垂直于杆轴线AB。（1）选定外力的不连续点）选定外力的不连续
23、点(如如集中力、集中力偶的作用点，集中力、集中力偶的作用点，分布力的起点和终点等分布力的起点和终点等)为控为控制截面，求出控制截面的弯矩制截面，求出控制截面的弯矩值。值。 （2）分段画弯矩图。当控）分段画弯矩图。当控制截面之间无荷载时，该段弯制截面之间无荷载时，该段弯矩图是直线图形。当控制截面矩图是直线图形。当控制截面之间有荷载时，用叠加法作该之间有荷载时，用叠加法作该段的弯矩图。段的弯矩图。 例七例七 作图示简支梁的弯矩图作图示简支梁的弯矩图。利用内力图的特性和弯矩图利用内力图的特性和弯矩图叠加法，将梁弯矩图的一般叠加法，将梁弯矩图的一般作法作法归纳如下归纳如下：弯曲内力弯曲内力2FCl/2
24、ABFl/2l/22/FlM2/Fl2/Fl4/Fl作业作业： P114 习题习题5-1 5-2 5-3 5-6 5-7 5-8 (思考思考)5-9 5-11 5-121 q(x)=0 QFxC Q10Fx 结论结论: :弯矩图为一水平直线弯矩图为一水平直线 。FQM+lABMe Q20FxC 结论结论: :剪力图为一水平直线，弯矩图为斜率剪力图为一水平直线，弯矩图为斜率的绝对值等于的绝对值等于FS一斜直线一斜直线 （）。（）。lFABFQFMFl- Q30FxClFABFQF-MFl+ 结论结论: :剪力图为一水平直线，弯矩图为斜率的绝对值剪力图为一水平直线，弯矩图为斜率的绝对值等于等于FS
25、一斜直线一斜直线 （）。（）。 2 q(x)0 结论结论:剪力图为斜率等于剪力图为斜率等于q的的 一斜直线（）一斜直线（） ，弯矩，弯矩图为抛物线（开口向下）。图为抛物线（开口向下）。BqlAM图FQ图ql/2ql/2 3 q(x)0 结论结论:剪力图为斜率等于剪力图为斜率等于q的的 一斜直线（）一斜直线（） ，弯，弯矩图为抛物线（开口向上）。矩图为抛物线（开口向上）。qBlAxFQ图ql/2ql/2ql2/8M图 4 集中力F作用处R1AaFFlRBaFFl 结论结论: :在集中力作用在集中力作用处剪力图发生突变处剪力图发生突变( (弯弯矩不变矩不变) )，突变的数值，突变的数值等于集中力的
26、大小，方等于集中力的大小，方向与剪力的方向相同。向与剪力的方向相同。 laF 1laF1FQ图alaF 1M图FRAFRBlFaAB 已知简支梁在均布载荷已知简支梁在均布载荷q作用下，梁的中点挠度作用下，梁的中点挠度为为 。求梁在中点集中力。求梁在中点集中力F作用下作用下(见图见图)，求，求梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积 。EIqlf38454Fl/2l/2 5 集中力偶Me作用处 结论结论:在有集中力偶作用的地方弯矩图发生突在有集中力偶作用的地方弯矩图发生突变变(剪力不变剪力不变)，突变的数值等于集中力偶的大小，突变的数值等于集中力偶的大小，方向
27、为方向为“顺下逆上顺下逆上”。 lMFeRAlMFeRBlMeeeMlbMlbMelMebxFQ图M图FRAFRB解：解：lxqvEIqlF04d3845lxvq0dqEIFl38454424长长力长力45384qlFqEIFxdxvqxdxqdxEIql38454 例例6 试判断图示各题的试判断图示各题的FQ、M图是否正确，如图是否正确，如有错请指出并加以改正。有错请指出并加以改正。lFABMxFl-MeABlMx+Me3mAq=20kN/mBF=70kN1mCFQxMx+60kN50kN60kN.mRB50kNFRA60kNF 23.6kN.m144.2kN.mM+x36.4kNFQ+23.6kNx4m1mCDq=15kN/mA5.5mBMe=10kN.mFRA=36.4kNFRB=23.6kN
