1、 全等三角形全等三角形知识结构知识结构全全等等三三角角形形定义：能够定义：能够 的两个三角形的两个三角形对应元素：对应对应元素：对应_、对应、对应 、对应、对应 。性质：全等三角形的对应边性质：全等三角形的对应边 、 。判定：判定： 、 、 、 。完全重合完全重合边边角角相等相等对应角相等对应角相等SSSSASASAAAS顶点顶点全等变换全等变换平移变换平移变换旋转变换旋转变换 轴对称变换轴对称变换 全等三角形全等三角形光荣榜光荣榜优秀个人：顾溢路、周航辉、邵佳琪、优秀个人：顾溢路、周航辉、邵佳琪、顾佳伟、顾佳伟、 石燚键石燚键、葛松杰、沈威枫、葛松杰、沈威枫、胡胡锦鸿、赵沁锦鸿、赵沁优秀小组
2、：第优秀小组：第5小组、第小组、第6小组小组存在问题：存在问题：1、说理过程步骤格式不规范、说理过程步骤格式不规范 2、自主学习差距大，小组和同、自主学习差距大，小组和同 学之间不平衡。学之间不平衡。 全等三角形全等三角形自主纠错自主纠错2分钟分钟组内讨论组内讨论6分钟：分钟：1、人人参与热烈讨论，积极表达自己的思想、人人参与热烈讨论，积极表达自己的思想2、组长控制好讨论的节奏，先一对一讨论，、组长控制好讨论的节奏，先一对一讨论，再组内讨论。再组内讨论。3、讨论时，手不离笔，随时记录，修改自己、讨论时，手不离笔，随时记录，修改自己错误之处用彩色笔，未解决的问题小组长做好错误之处用彩色笔，未解决
3、的问题小组长做好记录。记录。 全等三角形全等三角形高效展示并且点评升华：高效展示并且点评升华：1、展示同学规范快速，展示图形，主要条件、展示同学规范快速，展示图形，主要条件和步骤。点评时要语言简练，声音洪亮，面朝和步骤。点评时要语言简练，声音洪亮，面朝同学，自然大方，注意和台下同学的互动让台同学，自然大方，注意和台下同学的互动让台下同学能跟上自己的思路下同学能跟上自己的思路2、讲明思路（步骤，方法）、讲明思路（步骤，方法）3、下面的同学注意倾听，积极思考，关键内、下面的同学注意倾听，积极思考，关键内容做好笔记，有不明白或有补充的要大胆提出，容做好笔记，有不明白或有补充的要大胆提出，勇于质疑勇于
4、质疑例例1 1、如图、如图, ,ACB=ACB=DFEDFE，BC=EFBC=EF要使要使ABCABCDEFDEF，则需要补充一个条件，这个，则需要补充一个条件，这个条件可以是条件可以是_。ABCFED一一.条件补充型条件补充型练习：练习： 如图如图1, 1, BAC =BAC =ABD,ABD,请你添加一个条请你添加一个条件件;_,;_,使使OC=ODOC=OD（添加一个条件即可）。（添加一个条件即可）。ABCDo二二.组合开放型组合开放型例例2. 2. 如图，在如图，在ABCABC和和DEFDEF中，中，B B，E E，C C，F F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中在同一直线上，下
5、面有四个条件，请你在其中选选3 3个作为条件，余下的一个作为结论，写一个作为条件，余下的一个作为结论，写一个正确的组合，并加以说理。个正确的组合，并加以说理。AB=DEAB=DE；AC=DFAC=DF；ABC=DEFABC=DEF；BE=CFBE=CFADBECF二二.组合开放型组合开放型练习：练习： 如图，在如图，在ABDABD和和ACEACE中，有下列中，有下列4 4个论断：个论断： AB=ACAB=AC； B=C B=C ；BAC=EADBAC=EAD；AD=AEAD=AE。 请以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结请以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个由三个条件能
6、推出结论成立的式子，并论，写出一个由三个条件能推出结论成立的式子，并说明原因（用序号表示说明原因（用序号表示 ）EDACB三.猜想证明型例例3.3.如图，如图， 在正方形在正方形ABCDABCD中，点中，点P P是是CDCD上一动点，连接上一动点，连接PAPA，分别，分别过点过点B B、D D作作BEPA,DF PA,BEPA,DF PA,垂足为垂足为E E、F,F,如图如图（1 1）请探索猜想）请探索猜想BEBE、DFDF、EFEF这三条线段的长度具有怎样的数量这三条线段的长度具有怎样的数量关系；若点关系；若点P P在在DCDC的延长线上（如图的延长线上（如图），那么这三条线段的），那么这三
7、条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点长度之间又具有怎样的数量关系？若点P P在在CDCD的延长线上呢的延长线上呢（如图（如图）？请直接写出结论；）？请直接写出结论；（2 2）请在（）请在（1 1）中的三个结论中选择一个说明理由。）中的三个结论中选择一个说明理由。BADECFPBADECFPPBADECF练习：如图练习：如图 ，两个不全等的直角三角形，两个不全等的直角三角形OABOAB和直角三角形和直角三角形OCDOCD叠放在一起，叠放在一起，并且有公共的直角顶点并且有公共的直角顶点O.O.其中其中OA=OB,OC=OD.OA=OB,OC=OD.（1 1）将图）将图中的中的ABCABC绕点
8、绕点O O顺时针旋转顺时针旋转45450 0 ，在图，在图中作出旋转后的中作出旋转后的OAB(OAB(不写作法，不需证明）；不写作法，不需证明）；（2 2）在图）在图中，你发现了中，你发现了COACOA和和DOBDOB的数量关是的数量关是 ， 线段线段AC,BDAC,BD数量关系是数量关系是 ； （3 3）将图）将图中的中的 OABOAB绕点绕点O O顺时针旋转得到图顺时针旋转得到图，请你猜想这时（，请你猜想这时（2 2）中的）中的两个结论还成立吗？作出判断并说明理由。两个结论还成立吗？作出判断并说明理由。 BACDOOCDOABCD三.猜想证明型四.模拟探究型例例4.4.复习复习“全等三角形
9、全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：的知识时，老师布置了一道作业题：“如图如图，已知在，已知在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，P P是是ABCABC内部任意一点，内部任意一点，将将APAP绕着绕着A A顺时针旋转至顺时针旋转至AQAQ，使，使QAP=BAC,QAP=BAC,连接连接BQ,CPBQ,CP，则，则BQ=CP.”BQ=CP.” 小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，得出的分析，得出ABQACP,ABQACP,从而得到从而得到BQ=CPBQ=CP，之后，他将点，之后，他将点P P移到等腰三角移到等腰三角形形ABCABC外，原题中的
10、条件不变，发现外，原题中的条件不变，发现 BQ=CPBQ=CP仍然成立仍然成立 ，请，请你就图你就图说明理由。说明理由。 BAQCPBACPQ练习：练习： 数学老师布置了一道思考题：如图，点数学老师布置了一道思考题：如图，点M,NM,N分别在正三角形分别在正三角形ABCABC的的BCBC边边上，且上，且BM=CN,AM,BNBM=CN,AM,BN交于点交于点Q Q。说明：。说明：BQM=60BQM=600 0 . .（1 1） 请你完成这道思考题；请你完成这道思考题；（2 2） 做完（做完（1 1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了
11、许多问题， 如如若将题中若将题中“BM=CN”BM=CN”于与于与“BQM=60BQM=600 0 ” ”位置交换，时是否正确？位置交换，时是否正确？ 若将题中的点若将题中的点M,NM,N分别移动到分别移动到BC,CABC,CA的延长线上，是否仍能得到的延长线上，是否仍能得到 BQM=60BQM=600 0 ？ 若将题中的条件若将题中的条件“点点M,NM,N分别在正三角形分别在正三角形ABCABC的的BC,CABC,CA边上边上”改为改为“点点 M,NM,N分别在正方形分别在正方形ABCDABCD的的BC,CDBC,CD边上边上”, ,是否仍能得到是否仍能得到BQM=60BQM=600 0 请
12、你做出猜想判断，并对请你做出猜想判断，并对 的判断选择一个给出理由的判断选择一个给出理由。 BNACMQ四.模拟探究型五五.方案设计型方案设计型例例5. 5. 如图，如图， 一（一（3 3）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角。设计了如下方案：角。设计了如下方案：方案方案1 1： AOBAOB是一个任意角，将角尺的直角顶点是一个任意角，将角尺的直角顶点P P介于射线介于射线 OA,OBOA,OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M,NM,N重合，即重合，即PM=PN,PM=PN,过角尺顶点过角尺顶点P P的射线的射线
13、OPOP就是就是AOBAOB的平分线。的平分线。方案方案2 2： AOBAOB是一个任意角，在边是一个任意角，在边OA,OBOA,OB上分别截取上分别截取OM=ON,OM=ON,将将角尺的直角顶点角尺的直角顶点P P介于射线介于射线 OA,OBOA,OB之间，移动角尺使角尺两边相之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与同的刻度与M,NM,N重合，即重合，即PM=PN,PM=PN,过角尺顶点过角尺顶点P P的射线的射线OPOP就是就是AOBAOB的平分线。的平分线。回答下列问题：方案回答下列问题：方案1 1、方案、方案2 2是否可行是否可行? ?若可行，请证明；若不若可行，请证明；若不可行，请说明理
14、由。可行，请说明理由。六六.阅读纠错型阅读纠错型 例例6 6 ：已知：已知: :如图如图,D,D为为ABCABC中中BCBC上一上一点点,E,E为为ADAD上一点上一点,EB=EC, ABE=ACE,EB=EC, ABE=ACE,求求证证:BAE=CAE.:BAE=CAE.证明证明:在在AEB和和AEC中中,EB=EC ABE=ACEAE=AEAEB AEC, (第一步第一步)BAE=CAE, (第二步第二步)ABCDE问问:上述证明过程是否正确上述证明过程是否正确,若正确若正确,写出每一步的推理依据写出每一步的推理依据;若不正确若不正确,请请指出错在哪一步指出错在哪一步,并写出正确的证明并写
15、出正确的证明过程。过程。证明证明:EB=ECEBD=ECDABE=ACEABD=ACDAB=ACAEB AECBAE=CAE二次根式二次根式平移作图平移作图平移平移性质性质 平移平移概念概念 方向相同方向相同 距离相等距离相等 转化转化从特殊到一般从特殊到一般我学到我学到了什么了什么1.1.条件补充型条件补充型 2.2.组合开放型组合开放型3.3.猜想证明型猜想证明型4.4.模拟探究型模拟探究型5.5.方案设计型方案设计型6.6.阅读理解型阅读理解型 知识知识 方法方法数学中的数学中的猜想猜想思想思想数学中的数学中的分类分类思想思想 已知已知 : :如图如图,D,D是是ABCABC中中BCBC
16、边上一点边上一点,E,E是是ADAD上一点上一点,EB=EC, ,EB=EC, 1=2.1=2.求证求证:ADBC:ADBC证明证明: :在在AEBAEB和和AECAEC中中, , EB=EC EB=EC AE=AE AE=AE 1=2 1=2 AEBAEBAEC.(AEC.(第一步第一步) )AB=AC 3=4 (AB=AC 3=4 (第二步第二步) )ADBCADBC 上面的证明过程是否正确上面的证明过程是否正确,如正确如正确,请写出每一步的推理过程请写出每一步的推理过程;若不正确若不正确,请指请指出关键错在哪一步出关键错在哪一步,并写出你认为正确的证明过程并写出你认为正确的证明过程.答答
17、:不正确不正确,错在第一步错在第一步.ABCDE证明证明:EB=ECEBC=ECB1=2ABC=ACBAB=AC再证再证ABE ACE(SAS)得得BAE=CAE从而从而ADBC12五五.阅读纠错型阅读纠错型六六.方案设计型方案设计型练习练习. 如图，在人民公园人工湖两侧的，如图，在人民公园人工湖两侧的，两点欲建一座观赏桥，由于受条件限制，两点欲建一座观赏桥，由于受条件限制，无法直接度量，间的距离，请你用学无法直接度量，间的距离，请你用学过的知识，设计一种测量方案。过的知识，设计一种测量方案。要求：要求：（）画出你设计测（）画出你设计测量的平面草图；（）在图量的平面草图；（）在图形中标出测量的
18、数据（长度形中标出测量的数据（长度用用、，角度用，角度用表示），并写出测量的依据表示），并写出测量的依据及的表达式。及的表达式。EABCD1234ABCD12ABCD12E练一练：练一练：.（年湖州）如图，已知，是中边上的两点，请你再附加一个条件，使 图.（年镇江）如图，点，（年镇江）如图，点，在上，在上，请补充条件：请补充条件：（写出一个即可），（写出一个即可），使使 图. 如图，要使如图，要使 应添加的条件是应添加的条件是图. 如图，已知，在如图，已知，在和和中，若不增加任何字母中，若不增加任何字母与辅导线，要使与辅导线，要使 则还需增加一个条件是则还需增加一个条件是. 如图，点，在线段上
19、，如图，点，在线段上，且且，若要使，若要使 ，则还须补充一个条，则还须补充一个条件件图图. 如图，如图，中，已知，要中，已知，要使，需要添加的一个条使，需要添加的一个条件是：件是：答：应附加答：应附加或或，从而可推出从而可推出；答：应附加或答：应附加或等等. 如图，如图，给出下列结论：，给出下列结论：； ；其中正确的结论是：其中正确的结论是：图图. 已知：如图，点，在已知：如图，点，在线段上，请线段上，请你添加一个条件，使图中存在你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给出证明全等三角形，并给出证明所添条件为，所添条件为，你得到一对全等三角形是你得到一对全等三角形是 图. 如图，在如图，在中，
20、点在中，点在上，点在上，上，点在上，（）请你再添加一个条件，使得（）请你再添加一个条件，使得 并给出证明并给出证明你添加的条件是：你添加的条件是：证明：证明：图.如图，三点在如图，三点在一条直线上，一条直线上，和和均均为等边三角形，连结，为等边三角形，连结，（）求证：（）求证：（）如果把绕点顺时针再旋转一个（）如果把绕点顺时针再旋转一个角度，（）中的结论还成立吗？角度，（）中的结论还成立吗？.如图如图,在在AFD和和BEC中中,点点A,E,F,C在同在同一直线上一直线上,有四个论断有四个论断:AD=CB AE=CF B=D ADBC 请用其中三个作为条件请用其中三个作为条件,余下一个作为结论余
21、下一个作为结论,编一道数学问题编一道数学问题,并写出解答过程并写出解答过程.ABCDEF现举一例现举一例:证明证明:AE=CF, AEEF=CEEF 即即AF=CE又又ADBC A=C在在ADF和和CBE中中, AF=CE D=B A=C ADF CBEAD=BC. 如图，如图，中，分别是，中，分别是，上的点，与交于点给出下列四个条件：上的点，与交于点给出下列四个条件：上述四个条件中，哪两个条件可判上述四个条件中，哪两个条件可判断断是等腰三角形（用序号写出是等腰三角形（用序号写出所有情形）；所有情形）；选择第（）小题中的一种情形，证明是选择第（）小题中的一种情形，证明是等腰三角形等腰三角形答：
22、答：选择选择证明：先证证明：先证 得得从而从而得得选择选择证明：证明：DEO选择选择证明：先证证明：先证 得得且且选择选择证明：证明：再证再证 得得. 如图，如图，中，中，分别在，分别在，上，且，上，且，图中是否存在和，图中是否存在和全等的三角形？并证明全等的三角形？并证明. 如图，都是等腰直角三角形，如图，都是等腰直角三角形，且在上，的延长线与交于请你在图且在上，的延长线与交于请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程它们全等的过程答：答： .阅读理解题阅读理解题已知已知 :如图如图,D是是ABC中中BC边上一点边上一点,E是是AD上一点上一点,E
23、B=EC, 1=2.求证求证:ADBC证明:在AEB和AEC中, EB=EC AE=AE 1=2 AEB AEC.(第一步)AB=AC 3=4 (第二步)ADBC 上面的证明过程是否正确上面的证明过程是否正确,如正确如正确,请写出每一步的推理过程请写出每一步的推理过程;若不正确若不正确,请指出关键错在哪一步请指出关键错在哪一步,并写出你认为正确的证明过程并写出你认为正确的证明过程.答答:不正确不正确,错在第一步错在第一步.ABCDE证明证明:EB=ECEBC=ECB1=2ABC=ACBAB=AC再证再证ABE ACE(SAS)得得BAE=CAE从而从而ADBC12018040、（6分）分）“转
24、化转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题。象的问题转化为具体的问题。根据已经学过的知识我们知道星形（图根据已经学过的知识我们知道星形（图1）中）中A+B+C+D+E=，若对图若对图1中星形截去一个角，中星形截去一个角，如图如图2，请你求出，请你求出A+B+C+D+E+F的度数。的度数。（需要写出解题过程）（需要写出解题过程）（2）若再对图）若再对图2中的角进一步截去，你能由题中的角进一步截去，你能由题1中所得的方法或规中所得
25、的方法或规律，猜想出图律，猜想出图3A+B+C+D+E+F+G+H+M+N的度数吗？的度数吗？（只要写出结论，不需要写出解题过程。）（只要写出结论，不需要写出解题过程。）AMLGFEDCBNCD（3）如图）如图3，AE=AD，要使，要使ABD ACE，请你添加一个条，请你添加一个条件是件是_。ADEBC图3三.猜想证明型例例3.如图，如图，E，F分别是平行四边形分别是平行四边形ABCD对角线所在直线上两点，对角线所在直线上两点，DE=BF，请你以两点中的一点为端点，和图中已请你以两点中的一点为端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已
26、有的某一条线段猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等。相等。BADECF解解: :连结连结CF,CF,猜想猜想CF=AECF=AE理由如下理由如下:四边形是平行四边形四边形是平行四边形AD=BC,ADBCAD=BC,ADBCADB=DBC, FBC=ADEADB=DBC, FBC=ADE又又DE=BFDE=BFFBCEDAFBCEDACF=AECF=AE六六.操作探究型操作探究型 例例4 ：两个大小不同的等腰直角三角形三角板：两个大小不同的等腰直角三角形三角板D为为ABC中中BC上一点上一点,E为为AD上一点上一点,EB=EC, ABE=ACE,求证求证:BAE=CAE.证明证明:在在AEB和
27、和AEC中中,EB=EC ABE=ACEAE=AEAEB AEC, (第一步第一步)BAE=CAE, (第二步第二步)ABCDE问问:上述证明过程是否正确上述证明过程是否正确,若正确若正确,写出每一步的推理依据写出每一步的推理依据;若不正确若不正确,请请指出错在哪一步指出错在哪一步,并写出正确的证明并写出正确的证明过程。过程。证明证明:EB=EC1=2ABE=ACEABD=ACDAB=ACAEB AECBAE=CAE 已知已知 :如图如图,D是是ABC中中BC边上一点边上一点,E是是AD上一点上一点,EB=EC, 1=2.求证求证:ADBC证明:在AEB和AEC中, EB=EC AE=AE 1=2 AEB AEC.(第一步)AB=AC 3=4 (第二步)ADBC 上面的证明过程是否正确上面的证明过程是否正确,如正确如正确,请写出每一步的推理过程请写出每一步的推理过程;若不正确若不正确,请指出关键错在哪一步请指出关键错在哪一步,并写出你认为正确的证明过程并写出你认为正确的证明过程.答答:不正确不正确,错在第一步错在第一步.ABCDE证明证明:EB=ECEBC=ECB1=2ABC=ACBAB=AC再证再证ABE ACE(SAS)得得BAE=CAE从而从而ADBC12五五.阅读纠错型阅读纠错型我学到我学到了什么？了什么？
