1、第第6章章 一阶电路一阶电路 6.1 内容提要 6.2 重点、难点 6.3 典型例题 6.4 习题解答 6.1 内容提要内容提要 1. 线性非时变电路的基本性质线性非时变电路的基本性质线性：当满足均匀性与叠加性时，称系统为线性系统。 均匀性：若激励x(t)产生响应y(t)，则激励kx(t)产生响应ky(t)。 叠加性：若激励x1(t)产生响应y1(t)， x2(t)产生响应y2(t)，则激励x1(t)+x2(t)产生响应y1(t)+y2(t)。 因此，线性系统的数学描述为：若激励x1(t)产生响应y1(t)，x2(t) 产生响应y2(t)，则激励k1x1(t)+k2x2(t)产生响应k1y1(
2、t)+k2y2(t)。时不变性：若激励x(t)产生响应y(t)，则激励x(t-t0)产生的响应为y(t-t0)。2. 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应1) 一阶RC电路的零输入响应对如图6-1所示的电路列微分方程，有其特征方程为RC+1=0，从而得 ，则将uC(0)=U0代入上式，得U0=ke0=k，则d0, 0dCCuRCuttRC1tRCktu1ce)(1c01c0 ( )e 0d( )e 0dtRCtRCu tUtuUi tCttR 图 6-1图 6-22) 一阶RL电路的零输入响应对如图6-2所示的电路列微分方程，有其特征方程为L+R=0，从而得 ，则 将iL(0)=I0代入上
3、式，得I0=ke0=k，则d0 0dLLiLRittLRtLRLki e0e 0RtLLiIt3. 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应1) 恒定电源作用下一阶RC电路的零状态响应对如图6-3所示电路列微分方程，有微分方程的初始条件为uC(0)=0，则特征方程为 ，得 。所以，齐次解为ccsd1 0duCuIttR01RCCR1tRCku1che图 6-3令特解为uCp=Q(Q为常数)，将特解代入原方程，得Q=IsR。则微分方程的完全解为由uC(0)=k+IsR=0得k=-IsR，所以RIkuututRCs1cpchce)(1cs( )(1 e) 0tRCu tI Rt2) 恒定电源作用下
4、一阶RL电路的零状态响应对如图6-4所示电路列微分方程，有微分方程的初始条件为iL(0)=0，则特征方程为L+R=0，得 。所以，齐次解为d ( )( )( ) 0dLLsi tLRi tU tttLReRtLLik 图 6-4令特解为(Q为常数)，将特解代入原方程，得。 则微分方程的完全解为由得 所以sUQRpLishp( )eRtLLLLUi tiikRs(0)0LUikRsUkR s( )(1 e) 0RtLLUi ttR4. 完全响应完全响应利用叠加定理，完全响应可理解为零输入响应与零状态响应的叠加，即完全响应=零输入响应+零状态响应同时，在恒定电源作用下，完全响应也可以理解为暂态分量
5、和稳态分量之和。其中暂态分量是指随时间变化逐渐趋向于零的响应部分，而稳态分量是不随时间变化的响应部分。6.2 重点、难点重点、难点三要素法是求解一阶动态电路的重要方法，为本章的核心内容。使用三要素法时应准确理解动态元件的稳态特性、换路定理、戴维南等效电路以及0+等效电路等概念，同时应注意三要素法的适用范围为恒定电源作用下的一阶动态电路各支路电压、电流的求解。1. 电路响应的三要素法公式电路响应的三要素法公式对于电容电压，有对于电感电流，有 对于其他非状态变量，类似地有 )(e)()0()(ccccuuutut)(e)()0()(LtLLLiiiti)(e)()0()(ffftft2. 三要素的
6、计算三要素的计算1) 计算uC(0+)，iL(0+) 假定开关在t=0时刻动作，根据开关动作前的电路，计算出t=0-时刻的电容电压uC(0)或电感电流iL(0)，这是一个直流电阻电路的计算问题。这种计算是基于电路在开关动作前已达稳定状态，而动态元件的稳态特性为电容开路电感短路的。其次，根据电容电压和电感电流的连续性，即换路定理uC(0+)=uC(0)和iL(0+)=iL(0)，确定电容电压或电感电流在0+时刻的初始值。如果要计算非状态变量的初始值，由于非状态变量不具备连续性，即换路定理不适用，这时必须引入0+等效电路的概念，即将电路中的电容用电压源uC(0+)替代(或将电感用电流源iL(0+)
7、替代)，电路其他部分保持不变，由此可得到t=0+ 时的等效电路，依据该电路计算出所需要的非状态变量的0+初始值。注意，该电路只在t=0+ 时刻成立，仅仅是为了计算其他非状态变量的初始值而已。2) 计算稳态值uC()和iL()根据t0的电路，当t时该电路进入稳定状态，电容相当于开路，电感相当于短路，可得到一个直流电阻电路，从此电路可计算稳态值uC()和iL()。其他非状态变量的计算也可由该电路得出。3) 计算时间常数将与电容、电感连接的其余电路看做线性电阻单口网络，计算其戴维南等效电阻Req，然后利用=ReqC或=L/Req计算出时间常数。注意该时间常数对于状态变量和非状态变量均适用。3. 响应
8、表达式的求解响应表达式的求解求出三要素uC(0+)(或iL(0+)、 uC()(或iL()和后，直接代入三要素法公式即可求得响应uC(t)(或iL(t)的一般表达式。其余非状态变量也可类似得出。6.3 典型例题典型例题 【例6-1】 图6-5(a)所示电路中，开关S在t=0时动作，试求电路在t=0+时刻的各支路电压电流。图 6-5解 (1) 确定电路的初始状态。在t0时，电路处于稳定状态，电感看做短路，电路如图6-5(b)所示，根据分流关系有因为电感电流不能跳变，得 A2 . 13020203)0(_Li1.2A)0()0(LLii(2) 当t=0+时的等效电路如图6-5(c)所示。由图可知：
9、 【解题指南与点评】 该例题要求掌握电感的稳态特性(短路)以及电感电流的换路定律。同时在计算其他非状态变量的初始值时构造0+等效电路。123(0 )20 360V(0 )1.2 1518V(0 )1.2 3036VRRRuuu V54)3618()0()0()0(32RRLuuu【例6-2】 图6-6(a)所示电路中，开关S在t=0时动作，试求电路在t=0+时刻的电压、电流。图 6-6解 (1) 确定电路的初始状态。在t0时，电路处于稳定状态，电容看做开路，电容电压为V1510551510300_）（Cu(2) 根据 画出t=0+时的等效电路，如图6-6(b)所示。由图可得 【解题指南与点评】
10、 该例题要求掌握电容的稳态特性(开路)以及电容电压的换路定律。同时在计算其他非状态变量的初始值时构造0+等效电路。V15)0()0(ccuu1215 101 (0 )A25565 (0 )5(0 )V625(0 )25(0 )V6LRRiuiui 【例6-3】 图6-7(a)所示电路原已达稳定，已知Is=3 A，Us=150 V，R1=200 ，R3=R2=100 ，C=0.5 F。当t=0时开关S打开，求t0的响应uC及i。图 6-7解 (1) 确定电路的初始状态。开关动作前电路达到稳态，电容相当于开路。 由KVL方程可知: 可得i(0)=2.5 A，所以电路的初始状态为 s12s (0 )
11、(0 )iI RiRUV250)0()0(2ciRu(2) 当t=0时，S打开后电路为零输入，其等效电路如图6-7(b)所示。图中 R=R2+R3=200 因此，响应uC及i为 【解题指南与点评】 该例题要求掌握一阶RC电路的零输入响应。V250)0()0(ccuu100c(0 ) e250 eV 0ttRCcuut1001.25 eV, 0tCuitR【例6-4】 图6-8(a)所示电路中，开关S在位置1已久，t=0时合向位置2，求换路后的i(t)和uL(t)。图 6-8解 (1) 当t0后，电路如图6-8(c)所示。这是一个一阶RL零输入电路。其时间常数为 所以电感电流和电压分别为 另外，
12、也可以利用KVL计算: 【解题指南与点评】 该例题要求掌握一阶RL电路的零输入响应。11s448LR8( )(44) ( )16eVtLLuti t 888 ( )( )(0 )e2eAd( )1 2e( 8)16eVdttLLttLi ti tiiutLt 【例6-5】 电路如图6-9(a)所示。当t=0时开关S闭合，闭合前电路已达稳态。求t0 时的响应i(t)。 图 6-9解 (1) 当t=0时，S合上，a、b两点被短接，左边为RL电路，右边为RC电路，该电路实际上为两个一阶零输入电路。 电路的初始状态为s1216(0 )A25(0 )(0 )24VLCLUiRRuRi(2) S闭合后的等
13、效电路如图6-9(b)所示。对a、b左边的RL电路，显然有所以316(0 )(0 )A25 10 sLLiiLR110006(0 )eeA 025ttLLiit对a、b右边的RC电路，显然有 所以 由KCL方程知:323(0 )(0 )24V2 10 sCCuuRC25005003( )(0 ) e24 eV 0d( )0.24 e 0dttCCtCCCututuutiCttR 50010000.24(ee) 0ttLciiiAt 【解题指南与点评】 该例题的难点在于应理解开关闭合后该电路是两个一阶电路而非二阶电路，这是因为描述电路的方程是两个一阶微分方程。【例6-6】 图6-10(a)所示电
14、路中，开关S闭合前，电容电压uC为零。在t=0时，S闭合，求t0时的uC(t)和iC(t)。解 (1) 由题意知：uC(0+)=uC(0)=0 V，所以这是零状态响应的问题。图 6-10(2) 在t时，电容相当于开路，等效电路如图6-10(b)所示。由图可知: 等效电阻为所以时间常数所以当t0时，电容电压电容电流V10)1010(1020)(cu010 10510k(10 10)R36010 1010 100.1 sRC10( )( ) (1 e)10 (1 e)VttCCutu 10d( )emAdtCCuitCt【解题指南与点评】 该例题要求掌握一阶RC电路的零状态响应，同时掌握等效电阻的
15、计算方法。【例6-7】 图6-11(a)所示电路在开关打开前已处稳定状态。当t=0时，开关S打开，求t0时的uL(t)。图 6-11解 (1) 由图6-11(a)可知，当t0后，电感电流为电感电压为【解题指南与点评】 该例题要求掌握一阶RL电路的零状态响应，同时掌握等效电阻的计算方法。50( )( ) (1 e)1.4 (1 e)AttLLi ti 50d( )14 eVdtLLiutLt【例6-8】 图6-12所示电路中，L=8 H，iL(0)=3 A，求全响应iL(t)。图 6-12解 直接用三要素法求解。t=0+时，iL(0+)=iL(0)=3 A; 当t时， iL()=4 A，且。因此
16、，由三要素法可得电路的响应为 当然，也可以使用叠加定理，即全响应=零输入响应+零状态响应的方法求解(见例6-9)。【解题指南与点评】 重点掌握三要素法，体会三要素法在求解一阶电路全响应时的便捷。1sLR( ) (0 )( ) e( )(4e )A 0ttLLLLi tiiit 【例6-9】 图6-13所示电路中，当t=0时闭合开关S，在下列两种情况下求uC、 iC: (1) uC(0)=3 V； (2) uC(0)=15 V。图 6-13解 由题意知， uC(0+)=uC(0)0，且当t0 后，电路有外加激励电源的作用，所以本题为一阶电路的全响应问题。对线性电路而言，全响应=零输入响应+零状态
17、响应即 由图可知，当t时， 时间常数=RC=21=2 s( )(0 ) e( ) (1e)ttCCCutuu s( )2 612VCuR i (1) 当uC(0+)=3 V时， 0.50.50.5( )3 e12 (1e) (129e)VttCtut 0.50.5d( )1 ( 9) e( 0.5)d 4.5 eAtCCtuitCt (2) 当uC(0+)=15 V时，零输入响应为零状态响应为所以电容电压的全响应为0.5( )15 eVtCut0.5( )12 (1e)VtCut0.5( )( )( )123 eVtCCCututut 0.50.5d( )1 3 e( 0.5)1.5 eAdt
18、tCCui tCt 【解题指南与点评】 本题重点掌握利用叠加定理求解全响应的方法，实际上与三要素法无本质区别。【例6-10】 图6-14(a)所示电路中，当t=0时开关S1打开， S2闭合，在开关动作前，电路已达稳态。试求t0时的uL(t)和iL(t) 。图 6-14解 (1) 当t0后，电路如图6-14(c)所示。当t时，电感看做短路，因此iL()=3 A。从电感两端向电路看去的等效电阻为时间常数04 24423R00.3 39s440LR根据三要素公式，有则电感电压 【解题指南与点评】 本题重点掌握三要素法，同时掌握等效电阻的计算方法。409 (0 )( ) e( )(37 e)AttLL
19、LLiiii 404099d4028 e( )0.3 7eVd93ttLLiu tLt 【例6-11】 图6-15(a)所示电路中，已知is=10(t) A， R1=1 ， R2=2 ，C=1 F， uC(0)=2 V， g=0.25 S。求全响应i1(t)、 iC(t)、 uC(t)。图 6-15解 把电容断开，如图6-15(b)所示，先求当t0时一端口电路的戴维南等效电路。由KVL得由KVL得oc121uuRgu1s11uIguR联立求解以上两个方程，解得 把端口短路，得到短路电流2s1oc1(1)(12 0.25) 10 14V(1)1 1 0.25RgIRuRg 11s2sc11212
20、(1)1 10 (1 0.25 2)5 A123sRIRIgRIguRRRR故等效电阻为等效电路如图6-15(c)所示。由三要素法，得根据图6-15(c)所示电路，有代入三要素公式，得电容电压为oc0sc4 32.45uRIVuucc2)0()0(oc( )4VCuu 6602.4 1 102.4 10 sRC 65104.17 102.4( )4(24) e(42e) VttCut电容电流为列出KCL方程:代入u1=R1i1，解得电流54.17 10d( )0.833 eAdtCCuitCts11CIigui54.17 10s11()(80.667e)A(1)tCIiigR【解题指南与点评】
21、 本题求解电路的阶跃响应。单位阶跃函数(t)作用于电路，相当于单位直流源在t=0时接入电路。该题仍可用三要素法求解，但要特别注意等效电阻的计算。本题利用戴维南等效电路的方法计算了uC()和等效电阻。同时在求解i1(t)时，由于i1(t)本身并不是状态变量，故而应先求解状态变量uC(t)，再间接地求出i1(t)。当然也可以利用三要素法直接求解i1(t)，这时就涉及到0+等效电路的问题。6.4 习题解答习题解答6-1 如图6-16所示，列出以电感电流为变量的一阶微分方程。图 6-16解 由KVL得整理得2s1sd()dLLLiLi Rii Rut12s1 sd()dLLiLRR iuRit6-2
22、如图6-17所示，列出以电感电流为变量的一阶微分方程。图 6-17解 原电路化简为如图6-18所示电路。其中，对化简后的电路列写KVL方程，有 代入uoc及Req，化简后得232ocseq12323, R RRuuRRRRRReqocddLLiLi Rut 231213232sd()()dLLiRR LR RR RR R iR ut 图 6-186-3 如图6-19所示，列出以电容电流为变量的一阶微分方程。图 6-19解 原电路变换为图6-20所示电路。由节点的KCL方程得 将上式两边求导，得 (1)2s112323CCCuuRiiiRRRRRs2112323ddddd11dddddCCCiu
23、uiRitRtRRttRRt图 6-20由于，因此 (2) 由于，因此 (3) 将式(2)、(3)代入式(1)，整理得ddCCuitCddCCuiCt11CuiR111dd1ddCCuiitRtRC2311232123dd()()()ddCsCiiRR RCRRRR iR RR Ctt6-4 图6-21电路中的开关闭合已经很久，t=0时断开开关，试求uC(0+)和u(0+)。图 6-21解 换路前的等效电路如图6-22所示，解得 换路瞬间电容电流不可能是无穷大，故有 换路后，t=0+等效电路如图6-23所示，求得(0 )40VCu(0 )(0 )40VCCuu8(0 )4016V128u图 6
24、-22图 6-236-5 图6-24电路中的开关闭合已经很久，t=0时断开开关，试求iL(0)和i(0+)。图 6-24解 开关断开前的等效电路如图6-25所示，求得20(0 )5mA4k(0 )(0 )5mALLLiii图 6-25t=0+时的等效电路如图6-26所示。对此电路列网孔方程：得 201054000)40004000(31i1400.005 A=5mA8000i 1(0 )(0 )(0 )5mA5mA0Liii图 6-266-6 图6-27电路中的开关闭合已经很久，t=0时断开开关，试求uC(0+)和iL(0+)。图 6-27解 t=0时的等效电路如图6-28所示，解得5(0 )
25、0.01A10mA500(0 )(0 ) 4004V(0 )(0 )4V(0 )(0 )10mALCLCCLLiuiuuii图 6-286-7 如图6-29所示，开关闭合已经很久，t=0时断开开关，试求t0时的电流i(t)，并判断该响应是零状态响应还是零输入响应。 图 6-29解 开关断开前，t=0-时的等效电路如图6-30所示，求得 开关断开后，电路等效为如图6-31所示的电路，从而有18(0 )6A3i115H11520L 图 6-30由KVL及换路定理得 解得换路后无电源，故是零输入响应。d550d(0 )(0 )6iitii( )6e A 0ti tt图 6-316-8 如图6-32所
26、示，开关接在a点为时已久，t=0时开关接至b点，试求t0时的电容电压uC(t)，并判断该响应是零状态响应还是零输入响应。 图 6-32解 t=0时的等效电路如图6-33所示，求得12k(0 )8060V12k+4kCu图 6-33开关动作后的电路等效为如图6-34所示的电路。由节点的KCL方程及电容的换路定理，得解得是零输入响应。d0.10d40(0 )(0 )60VCCCCuutuu0.25( )60eV 0tCutt图 6-346-9 如图6-35所示，开关闭合在a端已经很久，t=0时开关接至b端，试求t0时的电容电压uC(t)和电阻电流i(t)，并判断该响应是零状态响应还是零输入响应。
27、图 6-35 解 用三要素法求解。 开关动作前，uC(0)=0。 开关动作后的电路如图6-36所示。t=0+时， uC(0+)=uC(0)=0此时电容相当于短路，由分流公式可得 t=时，电路进入直流稳态，电容相当于开路，有i()=2 AuC()=24=8 V6(0 )21.2A46i图 6-36将电流源置零，从电容两端看进去的等效电阻为R=6+4=10 得=RC=1010103=0.1 s 由三要素公式，得t0t0 由于电容初始电压为零，因此是零状态响应。1010( )8(08)e88eVttCut1010( )2(1.22)e20.8eAtti t6-10 如图6-37所示，开关断开已经很久
28、，t=0时闭合开关，试求t0时的电感电流iL(t)和电阻电压u(t)，并判断该响应是零状态响应还是零输入响应。 图 6-37解 用三要素法求解。开关动作前，iL(0)=0。 开关动作后，电路等效为如图6-38所示电路。t=0+时，此时，电感相当于断开，即有 t=时，电路进入直流稳态，电感相当于短路。由分流公式得0)0()0(LLii(0 )0.1 (100/ /100)0.1 505Vu150( )0.10.05A11110010050Li ( )0.1 (100 / /100 / /50)0.1 252.5Vu 图 6-38将电流源置零，从电感两端看进去的等效电阻为 由三要素公式，得 是零状
29、态响应。10010010010010050R0.11s1001000LR10001000( )0.05(00.05)e(0.050.05e)A 0ttLi tt10001000( )2.5(52.5)e(2.52.5e)V 0ttu tt6-11 如图6-39所示，开关断开已经很久，t=0时闭合开关，试求t0时的电感电流iL(t)。图 6-39解 开关动作前，iL(0)=0。将开关动作后的电路化简。电感左边的二端电路如图6-40 所示。图 6-40令端口电流为0，求uoc。 令独立电压源为零，求等效电阻Req。 假设端电压u和端电流i的参考方向如图6-41所示，设i已知，则有1401A2020
30、i oc1115201515Vuiii iii5 . 02020201iiiiiu5 . 75 . 01515205111eq7.5uRi图 6-41换路后的电路可化简为如图6-42所示，从而求得由三要素公式，得iL(t)=2(1e500t) A t033 (0 )(0 )015 ( )2A7.515 102 10 s7.5LLLiiiLR 图 6-426-12 如图6-43所示，开关闭合在a端已经很久了，t=0时开关接至b端。求t0时电压u(t)的零输入响应和零状态响应，并判断u(t)中的暂态响应和稳态响应，求出完全响应。图 6-43解 开关动作前，uC(0)=9 V。将开关动作后的电路化简
31、。电容和2 电阻串联支路左边的二端电路如图6-44所示。求得该二端电路的端口VAR，便可得其等效电路。图 6-44设端电压u和端电流i的参考方向如图6-44所示，设i已知，则有 解得u=12+8i即该二端电路uoc=12 V， Req=8 iiiiiu2242111开关动作后的电路可简化如图6-45所示，从而求得 (0 )(0 )9V129 (0 )0.3A82(0 )(0 )2(0 )9.6V ( )12V (82) 0.11 sCCCuuiuiuuRC 由三要素公式，得全响应为 其中，暂态分量为2.4et V，稳态分量为12 V。( )12(9.6 12)e122.4e V 0ttu tt
32、图 6-45若令换路后的电路中的独立电源为零，则图6-45 中uoc=0。用三要素法可求得零输入响应为(过程略去)u(t)=7.2et V t0该零输入响应中只含暂态分量，稳态分量为零。若令uC(0+)=0，用三要素法对简化后的电路求得零状态响应为(过程略去) 其中，暂态分量为9.6et V，稳态分量为12 V。( )12(2.4 12)e129.6e V 0ttu tt6-13 如图6-46所示，已知uC(0)=12 V，t=0时闭合开关，试求t0时电容电压uC(t)的零输入响应和零状态响应及其固有响应分量和强制响应分量，并判断uC(t)中的暂态响应和稳态响应，求出完全响应。图 6-46解
33、换路后的电路变换为如图6-47所示，其中oceq33eq2k96V2k+1k1k2k2k1k+2k3221010s33uRRC图 6-47令原电路中独立源为零，得uoc=0uC(0+)=uC(0)=12 VuC()=0由三要素法，求得零输入响应为 令uC(0+)=0，独立源不为零，得32( )12eV 0tCutt( )6VCu 由三要素法求得零状态响应为 据“全响应=零输入响应+零状态响应”，因此，全响应为 t0 其中，暂态分量(固有分量)为6e1.5t V，稳态分量(强制分量)为6 V。32( )6(1 e)V 0tCutt1.51.51.5( )12e6(1e)66eVtttCut6-1
34、4 如图6-48所示，电流源3u(t) mA为阶跃电流源，试求t0时的电感电流iL(t)。图 6-48解 用三要素法求解。t=0时，电路是直流稳态，电感视为短路。此时阶跃电流源为零，可求得 t=时，电路进入新的直流稳态，电感可视作短路。电流源为3 mA，由叠加原理求得5(0 )0.5mA4k6k (0 )(0 )0.5mALLLiii356k( )+3 104k+6k6k+4k (0.5 1.8)mA2.3mALi 令独立源置零，则从电感两端看过去的二端电路的等效电阻为 由三要素公式，求得3634k+6k10k10 1010 s10 10RLR6610102.3(0.52.3)e2.3 1.8emA 0ttLit
