1、1v材料的热学性能?材料的热学性能主要有热容、热膨胀、热传导、热稳定性等。v有什么用？为选材、用材、改善材料热学性能、探索新材料和新工艺等打下物理理论基础。v材料的热学性能和材料中什么东西有联系？原子振动，电子运动第三章 晶格振动与晶体热学性质2概况一点击此处输入相关文本内容点击此处输入相关文本内容整体概述概况三点击此处输入相关文本内容点击此处输入相关文本内容概况二点击此处输入相关文本内容点击此处输入相关文本内容3晶格振动与格波 实际晶体中的原子并非完全固定不动，原子是不断运动的，具有动能，但是通常情况下原子又不能远离格点，被束缚在格点附近做周期性振动 由于晶体具有周期性结构，原子振动相互关联
2、，在晶体中形成格波。43.1 一维晶格的振动一、一维简单格子 设晶格常量为 a ，原子 n 偏离平衡位置的位移为 un，只考虑最近邻的相互作用，晶格振动时相邻两原子在t时刻的距离1nnruaua2n1nn1n2n1nunnuua15 晶格作小幅度振动，即 |d |a ，则相邻两原子的相互作用能可以展开为其中 U(a) 为相邻两原子在间距等于晶格常量时的相互作用能，一般可取为0，而为相邻原子间的作用力232231 ()()2r ar ar ar aUdUd Ud UFrarardrdrdr 23232311( )( )()()2!3r ar ar adUd Ud UU rU arararadrd
3、rdr！1、一维简单格子的互作用力6 忽略高阶项，只保留到2阶项，则22=,r aUr令该近似称为简谐近似，在该近似下，原子间的相互作用力1)nnFrauu 则（是弹性恢复力，式中 是弹性恢复力常数22()r ar adUd UFradrdr 711,1,111()()(2)nnnnnn nn nnnnnUFuuuuffuuuu 1nunnuua11, nnf1, nnf 第 n 个原子的所受作用力为82、一维单原子链的运动方程与解 第 n 个原子的运动方程2112d(2)dnnnnuMuuut 每个原子对应一个方程，如果原子链有 N 个原子则有 N 个方程，上式实际上就是 N 个联立的齐次方
4、程组93、玻恩-卡门条件（周期性边界条件）： 设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相联结，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 1 2nNN+1N+2N+nnnN10 上述方程具有波动形式的解-i naqtnuAe其中A为振幅， 是圆频率，q是波矢。q的物理意义：沿波的传播方向（即沿q的方向）上，单 位距离两点间的振动位相差。格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振 动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波 的形式在整个晶体中传播，称为格波。 对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动 对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相11把该解代入运动方程2()exp ()exp
5、 ()(2)iqaiqaimuitnqauitnqaee 即2(2)2 (cos1)iqaiqameeqa22(1 cos)qam2a由上式可以看出频率是波矢q的周期函数，周期为 ，正好为一维链的倒格矢，即格波频率具有倒格子周期性,式中q换成-q时，频率也不变，频率具有反演对称性。1212设波包的传播速度为v，则vq1212()sin()2qam由得12sin()avm 波格传播的速度是波长的函数，波长不同的波格传播速度不同。通常称 与q的关系称为色散关系。1313 格波的波矢量q 的取值范围？对于指数函数exp ()nuAitnqa如果 qa 改变 2 值，结果并没有什么不同，因为exp(2
6、)exp ()Aitn qaAitnqa所以 qa 可以取在 与 之间，已涵盖该指数函数的所有独立值qa qaa 或此即一维单原子链的第一布里渊区14143、波矢q的个数，模式数由于晶体的体积是很有限的，因而格波波矢的取值不能是任意的，必然受到边界条件的限制，设晶体包含N个原子，由边界条件的周期性有：n Nnuu带入位移的表达式可得到21,iqNaleqlNa 为整数o2Naq1515重要结论：上式说明晶格振动的波矢数目等于晶格原胞数目，由色散关系式知给定一个q总有一个 与之对应。给定一组 就表示原子的一种振动形式，我们称之为振动模式。 这说明q只能取一系列不连续的值，在q空间，一个q值与一个
7、点对应，这些点在空间均匀分布，相邻q点的“距离”为 ，而q的取值在第一布里渊区，它的大小为 ,所以允许的q的总数为2N a2a22aNNaq，163.2 一维双原子链晶格的振动一、一维双原子链晶格的振动17v第 2n号原子,由虎克定律F2n-1 F2n+12n211212212221nnnnnnFuuFuu 2n号原子的运动方程22121222212nnnnndmuuuuudt2n+2 2n 2n+1 2n-1212183、试探解 同理，2n+1号原子的运动方程为 F 2n F2n+22212222112122nnnnndmuuuuudt()2()()i qnatni q na bti qna
8、tnBuAeuB eBe19把u2n、u2n+1代入以上两个运动方程 关于A、B的两个方程 A、B非零解，系数行列式为0 2121221212()0()iqaiqaMeem212122121200iqaiqaMAeBeAmB2012222121221216()sin22mMqamMmMmM 12222121221216()sin22OmMqamMmMmM 光学支12222121221216()sin22AmMqamMmMmM 声学支4、色散关系abM mMm1 12 2u2n1色散关系与力常数和格常数a a 有关 对于实际晶体， (0)在1013 1014Hz，对应于远红外光范围。离子晶体中光
9、学波的共振可引起对远红外光在 (0)附近的强烈吸收。21当 q=0 A = 0 当 q = a 12max()OmMmM112221212max21216()2AmMmMmMmM 112221212min21216()2OmMmMmMmM 225、波矢 q 的取值、格波支数利用波恩卡门边界条件，波矢q的取值 m = 0 , 1 , 2 , 2qmNa波矢数 = 原胞数 N格波模式总数=原子总数 = 2 N2312222121221216()sin2212mMqamMmMmM 例：一维双原子链结构如图，其色散关系为求：（）求色散关系（ ）讨论色散关系，作图；原子间力常数均为24212222122
10、22221222121221221sin)(4112)(2sin416)(222sin16)(22) 1 (qaMmmMmMMmqamMMmMmmMqamMMmMmmMa得：由公式格常数为25212212222(2)00211 0,2411212AOAOqMmMmMmMmqaMmMmMmMmMmMmMmMmMm 声学支光学支声学支光学支A Oqoa2 a2 263.2 三维晶格振动一、关于波矢q2qmNa 一个 m 值对应一个q 点，波矢取分离值，均匀分布相邻 q点 “距离”为 内， q 点的取值数=mqbN（1）一维 22aNNaqaa2N a27 设N1、N2和N3分别为晶体沿三个基矢方向
11、的原胞数。那么，晶体的总原胞数为：N N1 N2 N3 a1a2a3（2）三维 123312123hhhNNNqbbbh1 , h2 , h3整数一组（h1、h2、h3）确定一个波矢 q点，波矢 q 分离值、均匀分布。28可取的 q 点数 =NN *在q空间中，每一个q的取值（状态）所占的空间为：312123bNNNNbbb29结论： 三维晶体有N个原胞，每个原胞内有s个原子（一个基元）波矢数 = 原胞数 N振动模式数 = 所有原子自由度数 3sN303.3 晶格振动的量子化和声子 在简谐近似下，晶体中存在3 3sNsN个独立的简谐格波，晶体中任一原子的实际振动状态由这3 3sNsN个简谐格波
12、共同决定. . 晶格振动的系统能量是否可表示成3sN个独立谐振子能量之和吗？31首先以单原子为例eit naqnqqxA波矢为q的格波引起的第n个原子的位移为格波不同引起的原子位移一般也不同 一、简正振动第n个原子的总位移应为所有格波引起位移的迭加eit naqnqqxA32( )einaqnqqxA t将 和Aq写在同一表达式 中ei t( )qA t2qsNa(1), (2), (3), 1, 0, 1, 2,2222NNNNs 其中按经典力学，系统的总能量为动能和势能之和2211()22nnnnnETUm xxx22211(2)2nnnnnxxx x包含交叉项交叉项33有交叉项对建立物理
13、模型和数学处理都带来困难. .简正变换:11( )e( )eqitinaqinaqnqqqqx tNmA eQ tNmNm2221122qqqqqETUQQ式中 称为简正坐标. () =qitqqQtN m Aeeit naqnqqxA Q(q, t)代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某个原子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的坐标，称为简正坐标。34222222111()222qqqqqqqqqEPQPQ12inEqqPQ广义动量221122imxkx经典谐振子能量简正坐标221122iQQ 由N个原子组成的一维晶体，其晶格振动能量可看成N个谐振子的能量之和.i广义坐标35按照量
14、子力学，独立的简谐振子的能量 12iiinin 0,1,2,.所以一维晶格振动的总能量1112NNiiiiiEn晶格振动的能量是量子化的，能量的增减以 计量.当n=0时0112NiiE-零点能上述方法可以推广到三维晶格,设每个原胞中含p个原子331112pNpNiiiiiEn36光子1905年爱因斯坦在研究光电效应时提出光子的概念.光是运动着的粒子流光子每个光子的能量为2hh 对照光子的概念,我们将格波的能量量子称为声子.注:(1)声子是准粒子.光子是真实粒子,可在真空中存在.声子是人们为了更好理解和处理晶格集体振动而设想的一种粒子,不能游离于固体之外.331112pNpNiiiiiEn二、声
15、子373.6 晶格的比热一、固体的定容热容E 固体的平均内能按照经典理论,每个自由度的平均能量-能均定理N个原子，晶体总能量()VVECTBk T33VABCN kR3BENk T热容是一个与温度和材料无关的常数.- 杜隆珀替定律实验表明在低温时热容量随温度迅速趋于零 !与实验不符38 根据量子理论,在简谐近似下,晶体的能量为/11iikTne/d()d21iiiiVVkTiiCCTe12iiiiiEn 频率的计算比较复杂, 在一般讨论中，常用爱因斯坦模型和德拜模型. 比热的量子理论39二、 爱因斯坦模型 1907年爱因斯坦采用了非常简单的假设：假设晶体中的原子振动是相互独立的，所有原子都具有
16、同一频率0. ()VVECT03()BBBNk fk T2/200) 1()()(00TkTkBBBBBeeTkTkf0300/1313()2121iBBNiik Tk TiNENee00/20/2()3()(1)BBk TVVBk TBEeCNkTk Te40- 爱因斯坦温度温度较高时 TE0BEk /212ETEeT 与杜隆 珀替定律相符0EBk令00/20/23() (1)BBk TVBk TBeCNkk Te/2/23()(1)EETEVBTeCNkTe3VBCNkET ，温度非常低时ET/2/23()(1)EETEVBTeCNkTe 按温度的指数形式降低41 按温度的指数形式降低 这
17、是经典理论所不能得到的结果，解决了长期以来困扰物理学的一个疑难问题. 实验表明: 温度很低时- 爱因斯坦模型过于简单,忽略了各格波之间的频率差别.3VCT温度较高时 与杜隆 珀替定律相符温度非常低时42 德拜于1912年提出了另一个简化模型, 考虑了格波的的频率分布. (1)把晶体视为连续介质,即把格波看作是弹性波.(2)假定横波和纵波的波速相等. 低温时，只有长声学波被激发，对比热容产生影响，所以实际上，德拜模型考虑的正是长声学波对比热的影响. 基本思想:三、德拜模型43Q|A您的问题是？善于提问,勤于思考问答环节44添加标题添加标题添加标题添加标题此处结束语点击此处添加段落文本 . 您的内容打在这里，或通过复制您的文本后在此框中选择粘贴并选择只保留文字45感谢观看The user can demonstrate on a projector or computer, or print the presentation and make it into a film
