1、 2021-2022 学年梅岭中学教育集团九年级（上）学年梅岭中学教育集团九年级（上） 期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，共小题，共 24 分）分） 1下列哪个方程是一元二次方程( ) A21xy B2230 xx C213xx D20axbxc 2已知O的半径为 4，点P到圆心O的距离为 4.5，则点P与O的位置关系是( ) AP在圆内 BP在圆上 CP在圆外 D无法确定 3下列语句中正确的是( ) A相等的圆心角所对的弧相等 B平分弦的直径垂直于弦 C长度相等的两条弧是等弧 D经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 4大自然是美的设计师，即使是一片小
2、小的树叶，也蕴含着“黄金分割” 如图，P为AB的黄金分割点()APBP，如果AB的长度为10cm，那么较短线段BP的长度为( ) A(55)cm B(105)cm C(5 55)cm D(15 5 5)cm 5如图，ABC内接于O，120BAC，ABAC，BD为O的直径，3AB ，则AD的值为( ) A6 B3 5 C5 D3 3 6如图，D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，且/ /DEAC，若:1:16DOEAOCSS，则 :BDECDESS等于( ) A1:5 B1:4 C1:3 D1:2 7一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现在要做一个和它相似的钢筋三角架，而只
3、有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有( ) A一种 B两种 C三种 D四种或四种以上 8将关于x的一元二次方程20 xpxq变形为2xpxq，就可以将2x表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如32()xx xx pxq，我们将这种方法称为“降次法” ，通过这种方法可以化简次数较高的代数式根据“降次法” ，已知：210 xx ，且0 x ，则31x 的值为( ) A15 B15 C35 D35 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，共小题，共 30 分）分） 9在比例尺为1:2000的
4、地图上，测得A、B两地间的图上距离为 4.5 厘米，则其实际距离为 米 10已知2925abab，则:a b 11直角三角形的两条直角边分别是 5 和 12，则它的内切圆半径为 12在实数范围内定义一种运算“*” ，其规则为22*a bab，根据这个规则，方程(2)*50 x的解 为 13如果关于x的一元二次方程22(21)10k xkx 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 14已知 m 为一元二次方程 x23x+50 的一根，则代数式 2m26m+2031 的值为 15如图，正五边形ABCDE内接于圆O，P为弧DE上的一点（点P不与点D、E重合） ，则CPD的度数为 16 如图， 将一
5、块等腰直角三角尺的锐角顶点P放在以AB为直径的半圆O上，P的两边分别交半圆O于B，Q两点，若2AB，则BQ的长是 第 16 题图 第 17 题图 17如图，Rt ABC中，90ACB，6AC ，8BC ，D是AB边的中点，P是BC边上一动点（点P不与B、C重合） ，若以D、C、P为顶点的三角形与ABC相似，则线段PC 18如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，5AB ，4AC ，D是BC上的一个动点，连接AD过点C作CEAD于E，连接BE，则BE的最小值是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 96 分）分） 19解方程： （1）x24x60； （2） （x1）
6、（x3）8 20关于x的一元二次方程22(1)0 xxn有两个不相等的实数根 （1）求n的取值范围； （2）若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根 21已知：ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为(0,3)A、(3,4)B、(2,2)C（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度） （1）画出ABC向下平移 4 个单位长度得到的111ABC，点1C的坐标是 ； （2）以点B为位似中心，在网格内画出222A B C，使222A B C与ABC位似，且位似比为2:1，点2C的坐标是 ； （3）222A B C的面积是 平方单位 22如图，ABC中，D是BC上一点，DACB，E为AB上一点
7、 （1）求证：CADCBA； （2）若/ /DEAC，10BD，8DC ，求DE的长 23电动自动车已成为市民日常出行的首选工具据某市某品牌电动自行车经销商 1 至 3 月份统计，该品牌电动自行车 1 月份销售 150 辆，3 月份销售 216 辆 （1）求该品牌电动自行车销售量的月均增长率； （2）若该品牌电动自行车的进价为 2300 元，售价为 2800 元，则该经销商 1 至 3 月共盈利多少元？ 24如图，已知AB为O的直径，AD、BD是O的弦，BC是O的切线，切点为B，/ /OCAD，BA、CD的延长线相交于点E （1）求证：DC是O的切线； （2）若1AE，3ED，求O的半径 25
8、 小明想利用太阳光测量楼高 他带着皮尺来到一栋楼下， 发现对面墙上有这栋楼的影子， 针对这种情况， 他设计了一种测量方案，具体测量情况如下： 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重 叠，且高度恰好相同此时，测得小明落在墙上的影子高度1.2CDm，0.8CEm，30CAm（点A、E、 C在同一直线上） 已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB （结果精确到0.1 )m 26阅读下列材料 利用完全平方公式，将多项式2xbxc变形为2()xmn的形式 例如：22222817244417(4)1xxxxx （1）填空：将多项式223x
9、x变形为2()xmn的形式，并判断223xx与 0 的大小关系 223(xxx 2) 所以223xx 0（填“” 、 “ ” 、 “ ” ) （2）如图所示的长方形边长分别是25a、32a，求长方形的面积1S（用含a的式子表示） ；如图所示的长方形边长分别是5a、5a，求长方形的面积2S（用含a的式子表示） （3）比较（2）中1S与2S的大小，并说明理由 27 【问题提出】小明在学习了“圆心角”和“圆周角”的知识后，发现了顶点在圆内（顶点不在圆心）的角，命名为圆内角比如图 1 中，APC、BPD是圆内角，所对的弧分别是AC、BD，圆内角的大小与所对弧的度数之间有什么关系呢？ 【问题解决】小明想
10、到了将APC转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角 解：连接BC，OA，OC，OB，OD 如图 2，在PBC中，APCPBCPCB 12PBCAOC，12PCBBOD 111()222APCAOCBODAOCBOD 即：APC的度数1(2AC的度数BD的度数） （1）如图 1，在O中，弦AB、CD相交于点P，若AC的度数是60，BD的度数是80，则APD的度数是 【问题探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角，圆外角的大小呢？ （2）如图 3，点P是O外一点，点A、点C在圆上，连接PA、PC，分别与O相交于点B、点D，试探索APC的度数与AC、BD度数之间的关系，并说明理由 【解释应用】
11、直接利用前面发现的结论，解决问题 （3） 如图 4， 平面直角坐标系内， 点(3A ，1)在O上， 点B、 点C是线段OM上的两个动点， 且ABAC，延长AB、AC分别与O相交于点D、E， 延长DE交y轴于点F， 试探究F的度数是否变化， 如果不变，请求出它的度数 28如图，已知矩形ABCD的边6AB ，4BC ，点P、Q分别是AB、BC边上的动点 （1）连接AQ、PQ，以PQ为直径的O交AQ于点E 若点E恰好是AQ的中点，则QPB与AQP的数量关系是 ； 若3BEBQ，求BP的长； （2）已知3AP ，1BQ，O是以PQ为弦的圆 若圆心O恰好在CB边的延长线上，求O的半径； 若O与矩形ABC
12、D的一边相切，求O的半径 2021-2022 学年梅岭中学教育集团九年级（上）学年梅岭中学教育集团九年级（上） 期中数学试卷期中数学试卷解析解析 一选择题一选择题 1B 2C 解：4r ，4.5d ， dr， 点P在O外 3D 4D 解：P为AB的黄金分割点()APPB，10ABcm， 515110(5 55)22APABcm， 10 (5 55)(15 5 5)BPABAPcm， 5D 解：120BAC，ABAC， 30ACB， 30ACBADB， BD是O的直径， 90BAD， 3AB ， 33 3tan3033ABAD 6C 解：/ /DEAC， DOECOA，又:1:16DOECOAS
13、S， 14DEAC， / /DEAC， 14BEDEBCAC， 13BEEC， BDES与CDES的比是1:3， 7B 解：由相似三角形对应边成比例可知，只能将30cm长的作为一边，将50cm长的截成两段， 设从50cm的钢筋上截下的两段分别长xcm，ycm， 当30cm长的边对应20cm长的边时，20506030 xy，75()xcm，50()xcm，不成立； 当30cm长的边对应50cm长的边时，20506030 xy，12()xcm，36()ycm， 4850 xycmcm，成立； 当30cm长的边对应60cm长的边时，20506030 xy，10()xcm，25()ycm， 3550
14、xycmcm，成立 8D 解：210 xx ， 152x ，且21xx， 32211(1)11(1)122xx xx xxxxxx ， 0 x ， 35112222532xx ， 二填空题二填空题 990 解：设A，B两地的实际距离为xcm，则： 1:20004.5:x， 解得9000 x 900090cmm 101913 /19：3 解：2925abab 5(2 )9(2)abab 510189abab 1913ba 19:13a b 112 解：直角三角形的斜边2251213， 所以它的内切圆半径5 12 1322 123x 或7x 解：据题意得， 22(2)*5(2)5xx 24210
15、xx， (3)(7)0 xx， 3x 或7x 1314k 且0k 解：根据题意得20k 且22(21)40kk， 解得14k 且0k 142021 解：实数 m 是关于 x 方程 x23x+50 的一根， m23m+50， m23m5， 2m26m+2031 2（m23m）+2031 2021 1536 解：如图，连接OC，OD ABCDE是正五边形， 360725COD， 1362CPDCOD， 162 解：如图，连接OQ 290BOQBPQ ， 又1OBOQ， 22112BQ， 17 4或254 解：Rt ABC中，90ACB，6AC ，8BC ， 10AB， D是AB边的中点， 152C
16、DBDAB， 以D、C、P为顶点的三角形与ABC相似， 90DPC或90CDP， （1）若90DPC，则/ /DPAC， 12BDBPABBC， 142BPBC， 则4PC ； （2）若90CDP，则CDPBCA， CDPCBCAB， 即5810PC， 254PC 4PC或254 18132 解：如图，取AC的中点O，连接BO、BC CEAD， 90AEC， 在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动， AB是直径， 90ACB， 在Rt ABC中，4AC ，5AB ， 2222543BCABAC， 在Rt BCO中，22222313BOBCCO ， O EBE O B， 当O、E、B共
17、线时，BE的值最小，最小值为132O BO E， 三解答题（共三解答题（共 10 小题）小题） 20解： （1）根据题意知，2( 2)4 1 (1)0n ， 解得0n ； （2）0n且n为取值范围内的最小整数， 1n ， 则方程为220 xx， 即(2)0 x x， 解得10 x ，22x 21 （1）1(2, 2)C； （2）2(1,0)C； （3）22220A C ，22220B C ，22240A B ， 222A B C是等腰直角三角形， 222A B C的面积是：120102平方单位 22 （1）证明：CC，DACB， CADCBA （2）解：CADCBA， CACDCBCA， 28
18、 18CACD CB ， 12CA（负根已经舍弃） ， / /DEAC， DEBDACBC， 101218DE， 203DE 19解： （1）x24x60 x24x6 x24x+410 （x2）210 x210， x12+10，x2210； （2） （x1） （x3）8 x24x50 （x5） （x+1）0 x50 或 x+10， x15，x21 23解： （1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x， 根据题意列方程：2150(1)216x， 解得1220%x （不合题意，舍去） ，220%x 答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率20% （2）二月份的销量是：150 (120%)180（
19、辆) 所以该经销商 1 至 3 月共盈利：(28002300) (150 180216)500 546273000（元) 24 解： （1）证明：连接DO / /ADOC， DAOCOB，ADOCOD 又OAOD， DAOADO， CODCOB 在COD和COB中 ODOB，OCOC， ()CODCOB SAS ， CDOCBO BC是O的切线， 90CBO， 90CDO， 又点D在O上， CD是O的切线； （2）设O的半径为R，则ODR，1OER， CD是O的切线， 90EDO， 222EDODOE， 2223(1)RR， 解得4R， O的半径为 4 25 解：过点D作DGAB，分别交AB、
20、EF于点G、H， / /ABCD，DGAB，ABAC， 四边形ACDG是矩形， 1.2EHAGCD，0.8DHCE，30DGCA， / /EFAB， FHDHBGDG， 由题意，知1.7 1.20.5FHEFEH， 0.50.830BG，解得，18.75BG， 18.75 1.2 19.9520.0ABBGAG 楼高AB约为 20.0 米 26 （1）1，2； 解： （1）2222321 13(1)2xxxxx ， 2(1)0 x， 2(1)20 x （2）21(25)(32)61910Saaaa，225 (5)525Sa aaa； （3）22221261910(525 )610(3)1SSa
21、aaaaaa 2(3)0a 2(3)10a ， 120SS， 12SS 27110 解： （1）AC的度数是60，BD的度数是80， 1(2APCAC的度数BD的度数）1(6080 )702 ， 180110APDAPC， （2）APC的度数1(2AC的度数BD的度数） ，理由如下： 如图 3，连接BC，OA，OC，OB，OD， APCABCPCB，12ABCAOC，12PCBBOD， 111()222APCAOCBODAOCBOD， 即APC的度数1(2AC的度数BD的度数） ； （3）F的度数不变，30F，理由如下： 如图 4，连接OA， ABAC， ABCACB， 1(2AM的度数DN的
22、度数）1(2AN的度数ME的度数） ， AM的度数DN的度数AN的度数ME的度数， DN的度数ME的度数AN的度数AM的度数， F的度数1(2DN的度数ME的度数） ， F的度数1(2AN的度数AM的度数）1(2AON的度数AOM的度数） ， (3A ，1)， 3tan3AOP， 30AOP， 9030120AON，903060AOM， 1(12060 )302F 28 （1）2QPBAQP 解：点E恰好是AQ的中点，90ABQ， BEAEEQ， EABEBA， 2QEBEBP ， 以PQ为直径的O交AQ于点E， QPBQEB，PBEPQA， 2QPBAQP ， BEBQ， BEQBQE，且B
23、PQBEQ， BPQBQE， tantanBPQBPQ， ABBQBQBP， 633BP， 32BP （2）如图 1，过点O作OEPQ， 3AP ，6AB ， 3BP， 229 110PQPBBQ ， OEPQ， 102QEPE， cosBQQEPQBPQOQ， 101210OQ 5OQ， O的半径为 5； 如图 2，若O与BC相切于点Q，连接OQ，过点O作OEPQ于E， 102EQPE， BC是O切线， OQBC，且ABBC， / /OQAB， OQPBPQ， coscosOQPBPQ， QEPBOQPQ， 103210OQ 53OQ； 如图 3，若O与AB相切于点P，连接OP，过点O作OE
24、PQ于E， 102EQPE， AB是O切线， OPAB，且ABBC， / /OPBC， OPQPQB， coscosOPQPQB， PEBQOPPQ 101210OP， 5OP； 如图 4，若O与AD相切于点M，连接OM，OQ，OP，延长MO交BC于F，作OHAB于H点， OMAD，且/ /BCAD， OFBC， 90ABAMOOFBOHB ， 四边形AHOM，OHBF是矩形， OMAH，OHBF， 222OQOFFQ，222OPOHPH， 222(6)(1)OQOQBF，222(3)OQBFOQ， 2 553OQ 若图 5，若O与CD相切于点N，连接ON，OQ，OP，延长NO交BC于E，作OHBC于H点， 同理可得：222OPPEOE，222OQOHQH， 222(3)(4)OQOHOQ，222(41)OQOHOQ， 35 6 30OQ
