1、重庆大学材料学院重庆大学材料学院2.4 2.4 信号的频域分析信号的频域分析 第二章、信号分析基础第二章、信号分析基础 信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)x(t)变换为频域信号变换为频域信号X(f)X(f)，从而帮助人们从另一个角度，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。来了解信号的特征。 8563ASPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz傅里叶傅里叶变换变换X(t)= sin(2nft)0 t0 f重庆大学材料学院重庆大学材料学院2.4 信号的频域分析信号的频域分析 时域分析与频域分析的关系时域分析与频域分析的
2、关系时间时间幅值幅值频率频率时域分析时域分析频域分析频域分析1)1)时域描述、频域描述是同时域描述、频域描述是同一信号的不同描述，并没有一信号的不同描述，并没有改变信号本身的特性，只表改变信号本身的特性，只表征了信号的不同特征。征了信号的不同特征。2)2)信号频谱信号频谱X(f)X(f)代表了信号代表了信号在不同频率分量成分的大小，在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。直观，丰富的信息。 重庆大学材料学院重庆大学材料学院 时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示情
3、况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。信号的频率组成和各频率分量大小。 2.4信号的频域分析信号的频域分析 图例：受噪声干扰的多频率成分信号图例：受噪声干扰的多频率成分信号 重庆大学材料学院重庆大学材料学院2.4信号的频域分析信号的频域分析 大型空气压缩机传动装置故障诊断大型空气压缩机传动装置故障诊断重庆大学材料学院重庆大学材料学院1 1 时域和频域的对应关系时域和频域的对应关系131Hz147Hz165Hz175Hz2.4信号的频域分析信号的频域分析 频域参数对频域参数对应于设备转应于设备转速、固有频速、固有频率等参数，率等参数，物理意义更物理意义更明确。明
4、确。重庆大学材料学院重庆大学材料学院2 2 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析 周期信号是经过一定时间可以重复出现的信周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件：号，满足条件： x ( t )x ( t ) = = x ( t + nT )x ( t + nT )2.4信号的频域分析信号的频域分析 sin,cos00tntn 任何周期函数，都可以展开成正交函数线性任何周期函数，都可以展开成正交函数线性组合的无穷级数，如三角函数集的傅里叶级数组合的无穷级数，如三角函数集的傅里叶级数: :重庆大学材料学院重庆大学材料学院1)傅里叶级数的一般表达形式：傅里叶级数的一般表达形式：)sinco
5、s()(01020tnbtnatxnnna,.)3 , , 2 , 1( n2.4信号的频域分析信号的频域分析 各变量含义各变量含义-,.)3 , , 2 , 1( n102)cos()(0nnnatnAtx2)傅里叶级数的变形形式傅里叶级数的变形形式:具体过程具体过程-nnbnaarctg其中，重庆大学材料学院重庆大学材料学院式中式中: :/210/2/220/2/220/222( );( )cos;( )sin;TTTTnTTTnTTnnnax t dtax tntdtbx tntdtAabT周期，周期，T=2/0；0基波圆频率；基波圆频率；f0= 0 /22.4 信号的频域分析信号的频域
6、分析 重庆大学材料学院重庆大学材料学院00021( )(cossin)annnx tan t bn t,.)3 , , 2 , 1( n2.4 信号的频域分析信号的频域分析 0002200222221002102122()(cossin)coscossinsincos()nnannnnnnnnnannnnannnbnnnnaabxtabn tn tababAn tn tAn tAabarctg 式 中 ：为 谐 波 分 量 的 幅 值 ，物理意义物理意义-重庆大学材料学院重庆大学材料学院0021( )cos()annnx tAn t2.4 信号的频域分析信号的频域分析 由上式可以看出：由上式可
7、以看出：1) 1)上式实际描述了周期信号上式实际描述了周期信号x(t)x(t)的频率结构。幅的频率结构。幅值值- -频率构成幅值频谱图，简称频率构成幅值频谱图，简称频谱图频谱图；相位；相位- -频频率构成相位频谱图，简称相位图。率构成相位频谱图，简称相位图。00n2) 2)具体来说，周期信号的频谱是离散的，即各具体来说，周期信号的频谱是离散的，即各次谐波频率都是基频次谐波频率都是基频 的整数倍的整数倍举例举例-重庆大学材料学院重庆大学材料学院频谱图的概念频谱图的概念 工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以f fn n ( ( 0 0) )为横坐标，为横坐标
8、，b bn n 、a an n为纵坐标画图，称为实为纵坐标画图，称为实频虚频谱图。频虚频谱图。2.4 信号的频域分析信号的频域分析 图例图例重庆大学材料学院重庆大学材料学院 以以f fn n为横坐标，为横坐标，A An n、 为纵坐标画图，则称为为纵坐标画图，则称为幅值相位谱；幅值相位谱；n2.4 信号的频域分析信号的频域分析 重庆大学材料学院重庆大学材料学院 以以f fn n为横坐标，为横坐标， 为纵坐标画图，则称为为纵坐标画图，则称为功率谱。功率谱。 2nA2.4 信号的频域分析信号的频域分析 重庆大学材料学院重庆大学材料学院2.4 信号的频域分析信号的频域分析 求图求图1 1所示周期方波
9、所示周期方波x(t)x(t)的频谱：的频谱：0/ 2( )00/ 2 AtTx ttttATtT 及分析分析1) 1)奇函数，则奇函数，则00002/naaT2) 2)其余参数代其余参数代入公式计算入公式计算)sincos()(01020tnbtnatxnnna,.)3 , , 2 , 1( n重庆大学材料学院重庆大学材料学院2.4信号的频域分析信号的频域分析 计算：计算：该周期方波可写成：该周期方波可写成：频谱图频谱图重庆大学材料学院重庆大学材料学院2.4 信号的频域分析信号的频域分析 求图求图2 2所示三角波的频谱：所示三角波的频谱：(2/)/ 20( )(2/) 0/ 2AA T tTt
10、x tAA T ttT 分析分析1) 1)偶函数偶函数, ,因为因为( )()0nx txtb2) 2)其余参数代其余参数代入公式计算入公式计算)sincos()(01020tnbtnatxnnna,.)3 , , 2 , 1( n重庆大学材料学院重庆大学材料学院2.4 信号的频域分析信号的频域分析 计算：计算：于是有：于是有：频谱图频谱图0002411()(coscos3cos5.)2925AAxtttt重庆大学材料学院重庆大学材料学院 三角波信号频谱比方波信号的频谱衰减快三角波信号频谱比方波信号的频谱衰减快得多得多,说明前者频率结构主要由低频成份组成说明前者频率结构主要由低频成份组成,而方
11、波高频成份比较大。反映到时域波形上，而方波高频成份比较大。反映到时域波形上，含高频成份多的时域波形变化比高频成份少的含高频成份多的时域波形变化比高频成份少的三角波要剧烈得多。可根据时域波形变化的剧三角波要剧烈得多。可根据时域波形变化的剧烈程度，判断其频谱成份。烈程度，判断其频谱成份。2.4信号的频域分析信号的频域分析 方波频谱三角波频谱重庆大学材料学院重庆大学材料学院1 1）周期信号的频谱是离散的；）周期信号的频谱是离散的；2 2）周期信号频谱中的谱线只能出现在基频的）周期信号频谱中的谱线只能出现在基频的整数倍频率处；整数倍频率处；3 3）周期信号的频谱线是收敛的。）周期信号的频谱线是收敛的。
12、2.4 信号的频域分析信号的频域分析 周期信号频谱相关结论：周期信号频谱相关结论：重庆大学材料学院重庆大学材料学院3)傅里叶级数的复数表达形式：傅里叶级数的复数表达形式：x tC ennjntn( ),(,.) 00 1 22.4 信号的频域分析信号的频域分析 由欧拉公式由欧拉公式：-1cos()21sin()2j tj tj tj tteetjee代入傅里叶级数一般形式代入傅里叶级数一般形式：0000-01( )()()222jntjntjntjntnnnaabx teej ee重庆大学材料学院重庆大学材料学院2.4 信号的频域分析信号的频域分析 进一步得到进一步得到：00-0111( )
13、()()222jntjntnnnnnax tajb eajb e令令：0011()()2212nnnnnnCajbCajbCa则则：000-011( )(0, 1, 2,.)jntjntjntnnnnnnx tCC eC eC en 重庆大学材料学院重庆大学材料学院实验：方波信号的合成与分解实验：方波信号的合成与分解2.4 信号的频域分析信号的频域分析 .5/ )5sin(3/ )3sin()sin()(1tAtAtAtxn重庆大学材料学院重庆大学材料学院实验：实验：手机和弦铃声手机和弦铃声的合成的合成2.4信号的频域分析信号的频域分析 重庆大学材料学院重庆大学材料学院3 3 非周期信号的频谱
14、分析非周期信号的频谱分析 非周期信号是时间上不会重复出现的信号，非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。这种信号的频域分析手段是傅立叶量为有限值。这种信号的频域分析手段是傅立叶变换。变换。 ()( )1( )()2jtjtXx t edtx tXed2.4 信号的频域分析信号的频域分析 1( )( )2jtjtx tx t edt ed 傅里叶积分傅里叶积分可写作可写作重庆大学材料学院重庆大学材料学院12( )( )( )( )j tj tXx t edtx tXed或或)()()(fjefXfX)(
15、Im)(Re)(22fXfXfX)(Re)(Im)(fXfXarctgf 2.4 信号的频域分析信号的频域分析 求解求解：式中|X(f)|信号在频率f处的幅值谱密度； 。 信号在频率f处的相位差。 重庆大学材料学院重庆大学材料学院 与周期信号相似，非周期信号也可以分解为与周期信号相似，非周期信号也可以分解为许多不同频率分量的谐波和，所不同的是，由于许多不同频率分量的谐波和，所不同的是，由于非周期信号的周期非周期信号的周期T T，基频，基频f fdfdf，它包含了，它包含了从零到无穷大的所有频率分量，各频率分量的幅从零到无穷大的所有频率分量，各频率分量的幅值为值为X(f)dfX(f)df，这是无
16、穷小量，所以频谱不能再用，这是无穷小量，所以频谱不能再用幅值表示，而用幅值密度函数描述，称频谱密度幅值表示，而用幅值密度函数描述，称频谱密度函数。函数。 另外，与周期信号不同的是，非周期信号的谱另外，与周期信号不同的是，非周期信号的谱线出现在线出现在0,f0,fmaxmax的各连续频率值上，这种频谱称为的各连续频率值上，这种频谱称为连续谱。连续谱。2.4 信号的频域分析信号的频域分析 举例举例-重庆大学材料学院重庆大学材料学院傅里叶变换由来傅里叶变换由来00000000/21/200000( )/2,/2( ),( );/2,/2,lim.( )(TjntjntnnTTnj tnTx tTTx
17、 tC eCx t edtTTTdnC Tx t edtX j 设有一周期信号，则其在区间内的傅里叶级数的复指数形式为：式中 当时，积分区间由变为(- , )；谱线间隔离散频率连续变量 ，因此上式变形为：，用000)()( )()lim.lim()()j tnnTfX jx t edtCX jC TfX jX j表示为：，称傅里叶积分变换或简称傅里叶变换 显然， 即为单位频宽上的谐波幅值，具有“密度”的含义，故把称为瞬态信号的“频谱密度函数”，或简称“频谱函数”重庆大学材料学院重庆大学材料学院2.4 信号的频域分析信号的频域分析 对比对比:方波谱方波谱求以下波形的频谱求以下波形的频谱。 工程上
18、习惯将计算结果用图形方式表示，以f为横坐标，ReX(f)、ImX(f)为纵坐标画图，绘出的曲线图称为时频虚频密度谱图；以f为横坐标，|X(f)|、(f) 为纵坐标画图，绘出的曲线图称为幅值相位密度谱。以f为横坐标，|X(f)|2为纵坐标画图，绘出的曲线图称为功率密度谱 重庆大学材料学院重庆大学材料学院2.4 信号的频域分析信号的频域分析 求如下图所示脉冲方波的频谱函数：求如下图所示脉冲方波的频谱函数：11( )0 AtTx ttT 1111( )( )Tj Tj Tj tj tTAxx t edtAedteej进一步得到进一步得到：1111sin( )22sin ()TxATATcTT重庆大学
19、材料学院重庆大学材料学院实验：典型信号的频谱分析实验：典型信号的频谱分析2.4信号的频域分析信号的频域分析 重庆大学材料学院重庆大学材料学院4 4 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质c.c.对称性对称性 若若 x(t) X(f)x(t) X(f)，则，则 X(-t) x(-f) X(-t) x(-f) 2.4 信号的频域分析信号的频域分析 a.a.奇偶虚实性奇偶虚实性b.b.线性叠加性线性叠加性 若若 x1(t) X1(f)x1(t) X1(f)，x2(t) X2(f) x2(t) X2(f) 则：则：c1x1(t)+c2x2(t) c1X1(f)+c2X2(f)c1x1(t)+c2x2(t)
20、c1X1(f)+c2X2(f)重庆大学材料学院重庆大学材料学院e. 时移性时移性2.4 信号的频域分析信号的频域分析 d. 时间尺度改变性时间尺度改变性 若若 x(t) X(f)，则，则 x(kt) 1/kX(f/k)f. 频移性频移性 1）若）若k1，时域波形被压缩，时域波形被压缩k倍，频域波形被扩展倍，频域波形被扩展k倍；反之亦然。倍；反之亦然。2）尺度特性说明了时间和频率之间的反比关系。）尺度特性说明了时间和频率之间的反比关系。时域信号时延时域信号时延t0，则对应于其频谱在频域中产生附，则对应于其频谱在频域中产生附加相移加相移t0，而幅度保持不变，可用来搬移频谱，而幅度保持不变，可用来搬
21、移频谱。x(f)在频域中沿在频域中沿f轴移动轴移动f0，则对应于，则对应于x(t) 在时域中在时域中乘以乘以ej2f0。020( )( )( )()jf tx tx fx t ex ff若，则020( )( )()( )jftx tx fx ttx f e若，则重庆大学材料学院重庆大学材料学院2.4信号的频域分析信号的频域分析 奇偶虚实性证明奇偶虚实性证明设设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略） tttftttfdsinjdcos 显然显然 tttfXtttfRdsindcos RR 的的偶偶函函数数关关于于 XX的奇函数的奇函数关于关于 t
22、tfFtde )()(j 重庆大学材料学院重庆大学材料学院例子：求下图波形的频谱例子：求下图波形的频谱+X1(f)X2(f)用线性叠加定理简化用线性叠加定理简化2.4 信号的频域分析信号的频域分析 重庆大学材料学院重庆大学材料学院5 5 频谱分析的应用频谱分析的应用 频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析中最常用的一种手段。信号分析中最常用的一种手段。案例：案例：在齿轮箱故障诊断在齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱分析，通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后根据确定最大频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障机床转速和传动链，找出故障齿轮。齿轮。案例：案例：螺旋浆设计螺旋浆设计可以通过频谱分析确定螺旋浆可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速，确定的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作范围。螺旋浆转速工作范围。2.4 信号的频域分析信号的频域分析
