1、背景背景 假设一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过一个月就能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内这群兔子没有发生死亡，问：一对刚出生的兔子，一年内繁殖成多少对兔子？解解 答答第一个月1对小兔子解解 答答第一个月1对小兔子第二个月1对大兔子解解 答答第一个月1对小兔子第二个月1对大兔子第三个月1大1小共2对解解 答答第一个月1对小兔子第二个月1对大兔子第三个月1大1小共2对第四个月2大1小共3对解解 答答第一个月1对小兔子第二个月1对大兔子第三个月1大1小共2对第四个月2大1小共3对第五个月3大2小共5对解解 答答第一个月1对小兔子第二个月1对大兔子第三个月1大1小共2对第四个
2、月2大1小共3对第五个月3大2小共5对第六个月5大3小共8对解解 答答第一个月1对小兔子第二个月1对大兔子第三个月1大1小共2对第四个月2大1小共3对第五个月3大2小共5对第六个月5大3小共8对第七个月8大5小共13对解解 答答第一个月1对小兔子第二个月1对大兔子第三个月1大1小共2对第四个月2大1小共3对第五个月3大2小共5对第六个月5大3小共8对第七个月8大5小共13对第八个月13大8小共21对解解 答答将结果以表格的形式给出：1月月2月月3月月4月月5月月6月月1123587月月8月月9月月10月月11月月12月月1321345589144因此，通过计算，第因此，通过计算，第12个月的兔
3、子数为个月的兔子数为144对对 有趣的数列：有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，这就是斐波那契数列，这就是斐波那契数列斐波那契生平斐波那契生平斐波那契（斐波那契（Fibonacci,11751250） 出生出生于意大利的比萨。于意大利的比萨。 他小时候就对算术很有兴趣。后来，他他小时候就对算术很有兴趣。后来，他的父亲带他旅行到埃及、叙利亚、希腊（拜占的父亲带他旅行到埃及、叙利亚、希腊（拜占庭）、西西里和普罗旺斯，又接触到东方国家庭）、西西里和普罗旺斯，又接触到东方国家的数学。由于他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，的数学。由于他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事
4、，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，因此得以在一个阿拉派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他是第一个研究了印度和阿拉伯数伯老师的指导下研究数学。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他确信印度学理论的欧洲人。他确信印度阿拉伯计算方法在应用上的优阿拉伯计算方法在应用上的优越性。越性。12021202年，在回到家里不久，他发表了著名的算盘书。年，在回到家里不久，他发表了著名的算盘书。 斐波那契的才能受到了弗里德里希二世的重视，因此被斐波那契的才能受到了弗里德里希二世的重视，因此被邀请到宫廷参加数学竞赛。他还曾向官吏和市民讲授计算方邀请到宫廷参加数
5、学竞赛。他还曾向官吏和市民讲授计算方法。法。 他的最重要的成果在不定分析和数论方面，除了算盘他的最重要的成果在不定分析和数论方面，除了算盘书外，保存下来的还有实用几何等四部著作。书外，保存下来的还有实用几何等四部著作。斐波那契生平斐波那契生平斐波那契数列斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，（1 1）递推关系）递推关系（2 2）通项公式）通项公式12121(3,4,5,6,)nnnnFnFFFFFn用表示第 个月的兔子数 则115115()()2255nnnF 斐波那契数列的每一项都是自然数，可斐波那契数列的每一项都是自然数，可它的通项公式居然是用无理数来表
6、示的！它的通项公式居然是用无理数来表示的！斐波那契数列的奇妙属性斐波那契数列的奇妙属性 从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1 1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少每个偶数项的平方都比前后两项之积少1.1.（注：奇数项和偶（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而不是指数列的数字本身的奇偶）数项是指项数的奇偶，而不是指数列的数字本身的奇偶）1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，斐波那契数列的奇妙属性斐波那契数列的奇妙属性 从第三个数开始每隔两个数必是从第三个数开始每隔两个数必是2的倍数，从第四个的倍数，从第四个数
7、开始每隔三个数必是数开始每隔三个数必是3的倍数，从第五个数开始每隔四的倍数，从第五个数开始每隔四个数必是个数必是5的倍数，的倍数， 随着数列的项数的增加，前一项与后一项的之比越随着数列的项数的增加，前一项与后一项的之比越来越逼近黄金分割的数值来越逼近黄金分割的数值0.6180339887这个可以由它的通项公式直接得到，极限值为这个可以由它的通项公式直接得到，极限值为152 黄金分割点，是代表大自然的和谐的一个数字黄金分割点，是代表大自然的和谐的一个数字1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，自然界中的斐波那契数自然界中的斐波那契数 斐波那契数列中的任一个数，都叫斐波那契数
8、。斐波那契数是自然界的一个基本模式，它出现在许多场合。 下面举几个例子：花瓣数中的斐波那契数花瓣数中的斐波那契数 许多植物的花，其花瓣数恰是斐波那契许多植物的花，其花瓣数恰是斐波那契数。例如，兰花、茉莉花、百合花有数。例如，兰花、茉莉花、百合花有3 3个花个花瓣，毛茛属的植物有瓣，毛茛属的植物有5 5个花瓣，翠雀属植物个花瓣，翠雀属植物有有8 8个花瓣，万寿菊属植物有个花瓣，万寿菊属植物有1313个花瓣，紫个花瓣，紫菀属植物有菀属植物有2121个花瓣，雏菊属植物有个花瓣，雏菊属植物有3434、5555或或8989个花瓣。个花瓣。树杈的数目树杈的数目 树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休
9、息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。向日葵花盘内葵花子排列的螺线数向日葵花盘内葵花子排列的螺线数 向日葵花盘内，种子是按对数螺向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的，如图所示，有顺时针转和线排列的，如图所示，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，的条数往往成相继的两个斐波
10、那契数，一般是一般是34和和55，大向日葵是，大向日葵是89和和144，还曾发现过一个更大的向日葵有还曾发现过一个更大的向日葵有144和和233条螺线，它们都是相继的两个斐波条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数。那契数。松果种子的排列松果种子的排列 松果表面的凸起，它们的排列也是分别成8：13这样的比例，也是斐波那契数列中相邻两项的比。 这一有趣的现象在几个世纪前就已经引起了人们这一有趣的现象在几个世纪前就已经引起了人们的关注，此后更被广泛研究，但真正满意的解释直的关注，此后更被广泛研究，但真正满意的解释直到到1993年才得出。这种解释是：这是植物生长的动年才得出。这种解释是：这是植物生长的动
11、力学特性造成的，相邻器官原基之间的夹角是黄金力学特性造成的，相邻器官原基之间的夹角是黄金角角137.50776度，这使种子的堆集效率达到最高。度，这使种子的堆集效率达到最高。音乐中的斐波那契音乐中的斐波那契生活中的斐波那契生活中的斐波那契 例：（走楼梯问题）一段为例：（走楼梯问题）一段为1010级台阶的楼梯，现在规定每一级台阶的楼梯，现在规定每一步只能跨步只能跨1 1级或者级或者2 2级台阶，问要登上级台阶，问要登上1010级台阶有几种不同的级台阶有几种不同的走法？走法？解析：登上解析：登上2级台阶有：第一步跨级台阶有：第一步跨1级级接下来只有一种走法，第一步跨接下来只有一种走法，第一步跨2级
12、只有级只有一种走法，一共有一种走法，一共有2种走法；种走法；登上登上3级台阶有：第一步跨级台阶有：第一步跨1级接级接下来的下来的2级台阶有级台阶有2种走法，第一步跨种走法，第一步跨2级接下来的级接下来的1级台阶只有级台阶只有1种走法，一共种走法，一共有有3种走法；种走法； 登上登上4级台阶有：第一步跨级台阶有：第一步跨1级接下来的级接下来的3级台阶有级台阶有3种走法，第种走法，第一步跨一步跨2级接下来的级接下来的2级台阶有级台阶有2种走法，一共有种走法，一共有5种走法；种走法；变式：如图所示，一只蜜蜂从变式：如图所示，一只蜜蜂从0号蜂房开始爬，只能往比原来号蜂房开始爬，只能往比原来的房号大的蜂房爬，最后爬到的房号大的蜂房爬，最后爬到9号蜂房，问有多少种不同的爬号蜂房，问有多少种不同的爬法？（法？（2003年全国希望杯数学邀请赛）年全国希望杯数学邀请赛）
