1、2.4含绝对值不等式含绝对值不等式复复 习习 回回 顾：顾：.00bcaccbabcaccbacbcaba ，那么，那么，如果如果；，那么，那么，如果如果；，那么，那么如果如果2. 绝对值的意义：绝对值的意义： .0000时时，当，当时，时，当，当时，时，当，当xxxxxx1. 不等式的性质：不等式的性质：？的的解解的的几几何何意意义义是是什什么么2. 1 x20 2？的的解解的的几几何何意意义义是是什什么么2. 1 x的的解解集集意意义义求求出出能能否否利利用用绝绝对对值值的的几几何何2 2) 2 )1 . 2 xx20 2？的的解解的的几几何何意意义义是是什什么么2. 1 x的的解解集集意
2、意义义求求出出能能否否利利用用绝绝对对值值的的几几何何2 2) 2 )1 . 2 xx 22020 2？的的解解的的几几何何意意义义是是什什么么2. 1 x的的解解集集意意义义求求出出能能否否利利用用绝绝对对值值的的几几何何2 2) 2 )1 . 2 xx.22的点的集合的点的集合小于小于数轴上到原点距离数轴上到原点距离的几何意义：的几何意义： x 22020 2？的的解解的的几几何何意意义义是是什什么么2. 1 x0 2的的解解集集意意义义求求出出能能否否利利用用绝绝对对值值的的几几何何2 2) 2 )1 . 2 xx2.22的点的集合的点的集合小于小于数轴上到原点距离数轴上到原点距离的几何
3、意义：的几何意义： x 22020 2？的的解解的的几几何何意意义义是是什什么么2. 1 x0 2的的解解集集意意义义求求出出能能否否利利用用绝绝对对值值的的几几何何2 2) 2 )1 . 2 xx2.22的点的集合的点的集合大于大于数轴上到原点距离数轴上到原点距离的几何意义：的几何意义： x.22的点的集合的点的集合小于小于数轴上到原点距离数轴上到原点距离的几何意义：的几何意义： x 22020 2？的的解解的的几几何何意意义义是是什什么么2. 1 x.| )0( | )0( axaxxaaxaxaxaax 或或的的解解集集为为：，的的解解集集为为：一一般般地地， 问：问：为什么要加上为什么
4、要加上a0这个条件呢？这个条件呢？如果如果a0呢？呢？a=0呢？呢？题型一题型一._)0( _)0( _)0( _)0( 的解集为的解集为；的解集为的解集为；的解集为的解集为；的解集为的解集为 aaxaaxaaxaax结结 论：论：._)0( _)0( _)0( _)0( 的解集为的解集为；的解集为的解集为；的解集为的解集为；的解集为的解集为 aaxaaxaaxaax结结 论：论：._)0( _)0( _)0( _)0( 的解集为的解集为；的解集为的解集为；的解集为的解集为；的解集为的解集为 aaxaaxaaxaaxR结结 论：论：._)0( _)0( _)0( _)0( 的解集为的解集为；的
5、解集为的解集为；的解集为的解集为；的解集为的解集为 aaxaaxaaxaaxR结结 论：论：._)0( _)0( _)0( _)0( 的解集为的解集为；的解集为的解集为；的解集为的解集为；的解集为的解集为 aaxaaxaaxaaxR0 xx结结 论：论：湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2009年下学期制作06例题分析例题分析 例1(1)220 x (2) 42x 的解法的解法与与 )0( ccbaxcbax题型二题型二的解法的解法与与 )0( ccbaxcbax38 (2) 2121 )1( xx解下列不等式：解下列不等式：题型二题型二例例2类形类形去掉绝对去掉绝对值符号后值符号后解的
6、含义区别解的含义区别|ax+b|c cax+b cx|ax+bcax+bcx|ax+bc.43221 (2) 2134 (1) xx；解下列不等式：【典例训练】【典例训练】1.1.不等式不等式2x-32x-32 2的解集的解集是是_. .2.2.不等式不等式x x2+3x-8+3x-81010的解集的解集是是_. .【解析】【解析】1.1.由由2x-32x-32 2得得2x-32x-32 2或或2x-32x-3-2,-2,解得解得x x 或或 x x ,故故原不等式的解集是原不等式的解集是xxx x 或或x x . 答案：答案：xxx x 或或x x 2.2.原不等式等价于原不等式等价于-10
7、-10 x x2+3x-8+3x-810,10,即即 原不等式的解集是原不等式的解集是(-6,-2)(-1,3)(-6,-2)(-1,3) 答案：答案：(-6,-2)(-1,3(-6,-2)(-1,3)52521212125222x3x810 x3x8 10，x1x26x3或 ， ，【变式【变式1 1】若把题若把题1 1中不等式的左边改为中不等式的左边改为 22呢？呢？【解析【解析】原不等式等价于原不等式等价于 答案：答案：32x30 x21572x3x.244， 573xxx442 且12x3【变式【变式2 2】解不等式解不等式22x-2x-24.4.【解析】解析】原不等式等价于原不等式等价
8、于 -2x0-2x0或或4x6.4x6.原不等式的解集为原不等式的解集为xx-2x0-2x0或或4x6.4x6.x22x24x22x224x24 或x0 x42x6 或【典例训练】【典例训练】1.1.解不等式解不等式|x+1|+|x-1|3|x+1|+|x-1|3；【解析】【解析】1.1.方法一方法一: :如图如图, ,设数轴上与设数轴上与-1,1-1,1对应的点分别为对应的点分别为A,B,A,B,（1 1）A,BA,B两点间的距离为两点间的距离为2,2,因此区间因此区间-1,1-1,1上的数都不是不上的数都不是不等式的解等式的解. .（2 2）设在）设在A A点左侧有一点点左侧有一点A A1
9、 1到到A,BA,B两点的距离和为两点的距离和为3,A3,A1 1对应数轴对应数轴上的上的x.x.所以所以-1-x+1-x=3,-1-x+1-x=3,得得x=x=- .（3 3）同理设）同理设B B点右侧有一点点右侧有一点B B1 1到到A,BA,B两点的距离和为两点的距离和为3 3，B B1 1对应对应数轴上的数轴上的x,x,所以所以x-1+x-(-1)=3x-1+x-(-1)=3.所以所以x x= .3232从数轴上可看到，点从数轴上可看到，点A A1 1，B B1 1之间的点到之间的点到A A，B B的距离之和都小于的距离之和都小于3 3；点点A A1 1的左边或点的左边或点B B1 1
10、的右边的任何点到的右边的任何点到A A，B B的距离之和都大于的距离之和都大于3 3，所以原不等式的解集是所以原不等式的解集是(-,- (-,- ,+).,+).3232【方法二】【方法二】（1 1）当当x-1x-1时时, ,原不等式可以化为原不等式可以化为-(x+1)-(x-1)3,-(x+1)-(x-1)3, 解得解得xx- .（2 2）当）当-1-1x x1 1时时, ,原不等式可以化为原不等式可以化为x+1-(x-1)3,x+1-(x-1)3,即即23.23.不成不成立立, ,无解无解. .（3 3）当）当x1x1时时, ,原不等式可以化原不等式可以化为为x+1+x-13.x+1+x-
11、13.所以所以x x .综上综上, ,可知原不等式的解集为可知原不等式的解集为x|xx|x- 或或x x 32323232方法三方法三: :将原不等式转化为将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-30.|x+1|+|x-1|-30.构造函数构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,y=|x+1|+|x-1|-3,即即 -2x-3-2x-3， x-1,x-1,y= -1y= -1， -1x1,-1x1, 2x-3 2x-3， x1.x1.作出函数的图象作出函数的图象( (如图如图).). 函数的零点是函数的零点是- , ,- , ,从图象可知当从图象可知当x- x- 或或x x 时时,y0.,y0
12、.即即|x+1|+|x-1|-30.|x+1|+|x-1|-30.所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为(-,- (-,- ,+).,+).323232323232【典例训练】【典例训练】1.1.不等式不等式2x-32x-33x+13x+1的解集是的解集是_._.2.2.解关于解关于x x的不等式的不等式logloga aaxax2 2logloga ax x+2.+2. ( (一一) )形如形如|f(x)|a(aR)|f(x)|a(aR)型不等式型不等式 解法：等价转化法，解法：等价转化法， 当当a0a0时，时，|f(x)|a|f(x)|a-af(x)a. -af(x)a |f(x)|af
13、(x)af(x)a或或f(x)-a.f(x)-a. 当当a=0时，时，|f(x)|af(x)0. 当当a0时，时，|f(x)|af(x)有意义有意义.常见题型解法归类常见题型解法归类湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2009年下学期制作06 ( (二二)|x-a|+|x-b|c)|x-a|+|x-b|c和和|x-a|+|x-b|c|x-a|+|x-b|c 型不等式的解法型不等式的解法(1)(1)利用绝对值不等式的几何意义求解利用绝对值不等式的几何意义求解. .(2)(2)以绝对值的零点为分界点以绝对值的零点为分界点, ,将数轴分为几个区间将数轴分为几个区间, ,利用利用“零零 点分段讨论
14、点分段讨论”求解求解. .(3)(3)通过构造函数，利用函数的图象求解通过构造函数，利用函数的图象求解. .( (三三) )形如形如|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)型不等式型不等式 解法解法: :等价转化法，即等价转化法，即 |f(x)|g(x)|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x),-g(x)f(x)g(x)|f(x)|g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或或f(x)-g(x)f(x)-g(x) ( (其中其中g(x)g(x)可正也可负可正也可负).). 若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂. .( (四四) )形如形如a|
15、f(x)|a0)a|f(x)|a0)型不等式型不等式 解法：等价转化法，即解法：等价转化法，即 a|f(x)|b(0ab)a|f(x)|b(0ab)af(x)baf(x)b或或-bf(x)-a.-bf(x)-a.( (五五) )形如形如|f(x)|f(x)|f(x)|f(x)型不等式型不等式 解法：绝对值的定义，即解法：绝对值的定义，即 |f(x)|f(x)|f(x)|f(x)|f(x)|f(x)f(x)0.f(x)0.【熟能生巧】【熟能生巧】1.1.解不等式解不等式|x|+|x-3|5.|x|+|x-3|5. .方法一方法一几何意义：是数轴上到几何意义：是数轴上到0 0和和3 3两点的距离之
16、和不超过两点的距离之和不超过5 5的的x x的范围的范围, ,结合数轴易得出结合数轴易得出-1x4,-1x4,所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为-1,4-1,4.方法二方法二: :原不等式原不等式|x|x|+|x-3|5+|x-3|5可等价转化为可等价转化为 或或 或或解解不不等式组得等式组得-1x4.1x4.所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为x|-1x4.x|-1x4.x3xx35，x0 x3x5 ，0 x3x3x5 ，【思考】【思考】求解此类不等式的关键是什么？求解此类不等式的关键是什么？提示：提示：关键是理解绝对值的几关键是理解绝对值的几何何意义意义. .【变式训练】变式训练
17、】解不等式：解不等式：3x-53x-5- -x+2x+24.4.【解析】（【解析】（1 1）当当x-2x-2时，不等式可化为时，不等式可化为5-3x+x+25-3x+x+24,4,解得解得x x , ,与与x-2x-2矛盾；矛盾；（2 2）当）当-2-2x x 时，不等式可化为时，不等式可化为5-3x-x-25-3x-x-24,4,解得解得x x- - , ,故故- - x x 为不等式的解集；为不等式的解集；3253141453（3）当）当 xx时，不等式可化为时，不等式可化为3x-5-x-23x-5-x-24,4,解得解得x x ,故故 xx 也为也为不不等式的解集等式的解集. .综上，原
18、不等式的解集为综上，原不等式的解集为xx- x x .531125311214112【解析】【解析】1.1.解题流程解题流程. .答案：答案：( ( ，+)+)审题审题转化转化|2x-3|3x+1|2x-3|0,3x+10,原不等式转化为原不等式转化为-(3x+1)2x-33x+1-(3x+1)2x-3g(x)g(x)的求解方法的求解方法: :()()根据实数的绝对值的意义分类讨论，根据实数的绝对值的意义分类讨论，即即|a|= |a|= ；a (a0)a (a0)-a (a0)-a (a0)()()根据公式根据公式:|x|a:|x|a-axa(aR-ax0)a0)；f(x)f(x)g(x)g(
19、x)-g(x)f(x)g(x)-g(x)f(x)a|x|axaxa或或x-a(aRxg(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或或f(x)-g(x).f(x)0.a0. (1) (1)当当a=1a=1时，求不等式时，求不等式f(x)3x+2f(x)3x+2的解集；的解集； (2)(2)若不等式若不等式f(x)0f(x)0的解集为的解集为x|x-1x|x-1，求，求a a的值的值. .【解析】【解析】1.1.若若a=1,a=1,则则f(x)=2|x-1|,f(x)=2|x-1|,不满足题设条件不满足题设条件. .若若a1,a1,则则f(x)f(x)= -2x+a+1-2x+a+1, xax
20、a 1-a1-a, ax1ax1,a1,则则f(x)f(x)= -2x+a+1,x12x+a+1,x1 a-1a-1, 1xa1x0,a0,所以不等式组的解集为所以不等式组的解集为x|xx|x .由题设可由题设可得得 =-1,-1,故故a=2.a=2. xaxa3x0，xaax3x0 ，xaax4，xaax.2 ，a2a2【易错误区】【易错误区】绝对值不等式变形不等价致误绝对值不等式变形不等价致误 【典例】【典例】不等式不等式x+2x+2- -2x-12x-111的解集是的解集是_._.【解题指导】【解题指导】()()()()()()无解，无解，()()的解集为的解集为0 x0 x ,(),(
21、)的解集为的解集为 x2.x2.综上综上(),(),()(),(),()取并集取并集，得原不等式的解集为，得原不等式的解集为0 0，2 2. .答案：答案：0 0，2 2 12x2x22x11, 1x2x22x11,1212【解析】原不等式等价于【解析】原不等式等价于 ()() x2x22x11,【阅卷人点拨】【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：题启示总结如下：( (此处的此处的见解析过程见解析过程) )【即时训练【即时训练】函数函数f(x)=f(x)=2x+12x+1- -x-4x-4的最小值是的最小值是_._.【解析
22、】【解析】令令y=y=2x+12x+1- -x-4x-4, ,则则 -x-5,x- ,-x-5,x- ,y y= 3x-3,- 3x-3,- x x4 4, x+5,x4x+5,x4.在一个坐标系中分别画出以上分段函数，在一个坐标系中分别画出以上分段函数，由图象可知，当由图象可知，当x=- x=- 时，时，y=y=2x+12x+1- -x-4x-4取得最小取得最小值值 . .答案答案：92922121211.1.若集合若集合M=xM=xx|2,N=xx|2,N=xx x2 2-3x=0-3x=0，则，则MN=( )MN=( )(A)3 (B)0(A)3 (B)0(C)0,2 (D)0,3(C)
23、0,2 (D)0,3【解析】【解析】选选B.M=xB.M=x-2x2,N=0,3,-2x2,N=0,3,MN=0.MN=0.2.2.不等式不等式|2x-log|2x-log2 2x|2x|+|logx|2x|+|log2 2x|x|的解为的解为( )( )(A)1x2 (B)0 x1(A)1x2 (B)0 x1 (D)x2(C)x1 (D)x2【解析】【解析】选选C.C.由由|a-b|a|+|b|,|a-b|a|+|b|,其中等号成立的条件为：其中等号成立的条件为：ab0,ab0,原不等式成立，即原不等式成立，即2xlog2xlog2 2x0,x1.x0,x1.3. 03. 0的解集为的解集为
24、( )( )(A)x(A)xx x 或或x- x- (B)x(B)x- x - x x 或或x- x00且且x-3,x-3,原不等式等价于原不等式等价于2x-12x-1-20,-20,即即2x-12x-12,2x-122,2x-12或或2x-1-2,2x-1 或或xx 或或xx3|x+3|-|x-3|3的解集的解集. .【解析】【解析】由绝对值不等式的几何意义知由绝对值不等式的几何意义知：数轴上的点数轴上的点x x到点到点-3-3和和3 3的距离之差的绝对值大于的距离之差的绝对值大于3 3，不难得出不难得出x x 或或xx 或或xx- .32323232当当a=0a=0时，时，|f(x)|a|f(x)|a|f(x)|af(x)0.f(x)0.当当a0a0时，时，|f(x)|a|f(x)|a|f(x)|af(x)f(x)有意义有意义. .小结：小结：
