1、二次根式二次根式1. 1.二次根式的概念二次根式的概念授课教师：游彦授课教师：游彦 正数有正数有两个两个平方根且平方根且互为相反数互为相反数； 0 0有一个平方根就是它有一个平方根就是它0 0； 负数负数没有没有平方根。平方根。1、平方根的性质：、平方根的性质：1、16的平方根是什么的平方根是什么?16的算术平方根是什么？的算术平方根是什么？2、0的平方根是什么？的平方根是什么？0的算术平方根是什么？的算术平方根是什么？3、7有没有平方根？有没有算术平方根？有没有平方根？有没有算术平方根？正数和正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。都有算术平方根；负数没有算术平方根。试一试试一试 ：说出
2、下列各式的意义；116,81,0,0.04;49观察：观察：上面几个式子中，被开方数的特点？被开方数是非负数 2 2、 表示什么？表示什么？a表示非负数a的算术平方根0:a即a (a0)表示非负数表示非负数 a 的算术平方根，的算术平方根， 形如形如 a (a0)的式子叫做的式子叫做二次根式二次根式。 它必须具备如下它必须具备如下特点特点： 1、根根指指数数为为 2； 2、被开方数必须是非负数。、被开方数必须是非负数。 想想一一想想： 1010 、 - -5 5 、3 38 8 5 5 3 3 、 ( (- -2 2) )2 2 a a (a(a0 0、a a2 2+0.1+0.1 、 - -
3、a a (a(a0 0是不是二次根式？是不是二次根式？ 1. 1.二次根式的概念二次根式的概念注意：注意：为了方便起见，我们把为了方便起见，我们把一个数的算术平方根一个数的算术平方根也叫做二次根式也叫做二次根式。如。如13,2 是不是是不是二次根式二次根式?1a 思考：思考：不是不是,它是它是二次根式二次根式的代数式的代数式.定义：定义： 像像 , , 这样表示的算术这样表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫做平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二二次根式。次根式。25002a3b s(0).a a 形如的式子叫做二次根式2. a可以是数可以是数,也可以是式也可以是式.3. 形式上含有二
4、次根号形式上含有二次根号4. a0, 0 a5.既可表示开方运算既可表示开方运算,也可表示运算的结果也可表示运算的结果.1.表示表示a的算术平方根的算术平方根( ( 双重非负性双重非负性) )例例1 : 判断判断，下列各式中哪些是二次根式？下列各式中哪些是二次根式？,10a,a,2a,04. 0,5.83,04. 0,2a,a定义：式子定义：式子 叫做二次根式叫做二次根式. . )0( aa不要忽略不要忽略其中a叫做被开方式被开方式。求下列二次根式中字母的取值范围：求下列二次根式中字母的取值范围： 11a a2112 233a求二次根式中字母的取值范围的基本依据：求二次根式中字母的取值范围的基
5、本依据：被开方数不小于零；被开方数不小于零；分母中有字母时，要保证分母不为零。分母中有字母时，要保证分母不为零。练习：练习： x取何值时取何值时,下列二次根式有意义下列二次根式有意义?xx3)2(1) 1 (1x0 x为全体实数x0 xxx1)4(4)3(23)5(x0 x21)6(x0 x求二次根式中字母的取值范围的基本依据：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数大于等于零；被开方数大于等于零；分母中有字母时，要保证分母不为零。分母中有字母时，要保证分母不为零。12a 1(7)1 2a3(8)| 4xx解：由解：由 x-10，得，得 x1。 问：问：将式子将式子 x-1 改为改为 1
6、-x ，则字母，则字母 x 的取值必须的取值必须满足什么条件呢？满足什么条件呢？ 解：由解：由 x x- -2 20 0，且，且 x x- -3 30, 0, 得得 x x2 2 且且 x x3 3。 想一想：想一想：一个正数的算术平方根是一个正数的算术平方根是 。 零的算术平方根是零的算术平方根是 。 负数有没有算术平方根？负数有没有算术平方根？ 正数正数0没有没有想一想：想一想： 假如把题目改为： 要使假如把题目改为： 要使x x- -2 2x x- -1 1 有意义，有意义，字母字母 x x 的取值必须满足什么条件？的取值必须满足什么条件？ x2x2 题型题型:确定二次根式中被开方数所含
7、字母的取值范围确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.1 1. . 当当 _时，时， 有意义。有意义。xx3 3. 3.求下列二次根式中字母的取值范围求下列二次根式中字母的取值范围x x3 31 15 5x x解得解得 - 5x- 5x3 3解：解： 0 0 x x- -3 30 05 5x x说明：二次根式被开方数说明：二次根式被开方数不小于不小于0，所以求二次根，所以求二次根式中字母的取值范围常转式中字母的取值范围常转化为不等式（组）化为不等式（组） 334aa44a有意义的条件是有意义的条件是 . .2.+练习：求下列二次根式中字母的取值范围：练习：求下列二次根式中字母的取值范围：(1
8、)1a 1(2)12a2(3) (3)a x524 2125x xx2356 xx1127（8）3x125x 1xx303xx得：由25052xx得：由01001xxxx且得：由2(3)_1x 2(1)_x2(2)2xx2(7)17xx 31x2x7x求二次根式中字母的取值范围的基本依据：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数不小于零；被开方数不小于零；分母中有字母时，要保证分母不为零。分母中有字母时，要保证分母不为零。小结一下小结一下 ?做一做做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必要使下列各式有意义，字母的取值必 须满足什么条件？须满足什么条件？ 1、 x+3 2、 2-5x 3
9、、 1 x 4、 a2+1 5、 x-3 + 4-x 6、x-1x-2 非负数的算术平方根仍然是非负数。非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质性质 1： a 0 (a0) （双重非负性）（双重非负性） 引引例例：|a-1|+(b+2) 2=0 , 则则 a= b= 解：解： a+2 0、|3b-9|0、(4-c) 20， 又又 a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 a= -2 , b= 3 ,c= 4。 2a-b+c=2(-2) -3+4 = -3。 二次根式的双重非负性解析二次根式的双重非负性解析经常作为隐含条件，是解题的关键经常作为隐
10、含条件，是解题的关键例已知，求例已知，求xy的值的值130 xy-+=解：解：，1x-3y+130 xy-+=，1x-3y+x，yxy例例4求下列二次根式的值求下列二次根式的值22(1) (3)(2)21(3)xxxp-+= -2(3)|3|pp-=-解解：(1)30p-2(3)3pp-=-(2)2221(1)|1|xxxx-+=-=-当当x 时，时，x0 )( a =0 )( a 0 )a试一试试一试1.计算下列各题计算下列各题:215(1)(2)2512.若若 ,则则x的取值范围为的取值范围为 ( )xx1)1 (2A. x1 B. x1 C. 0 x1 D.一切有理数一切有理数3. 与与
11、 是一样的吗？是一样的吗？你的理由是什么，请小组讨论一下。你的理由是什么，请小组讨论一下。2a a（ ）23、二次根式具有哪些性质？、二次根式具有哪些性质？ 1、什么叫做二次根式？、什么叫做二次根式？ 形如形如 a (a0)的式子叫做二次根式。的式子叫做二次根式。 2、二次根式有哪两个形式上的特点？、二次根式有哪两个形式上的特点？ （1）根指数为根指数为 2； （2）被开方数必须是非负数。被开方数必须是非负数。 课堂小结课堂小结性性质质 1： a 0 (a0) （双双重重非非负负性性） 性质性质 2：( a )2 = a (a0) 性质性质 3：当当 a0 时，时， a2 = a ； 当当 a
12、0 时，时， a2 = -a 。 也就是说：也就是说： a2 = |a| 。 x0 , 4x0,例例5 5: :已知已知:x0,化简化简:216x2216x(4 )4:xx解解原式原式 = -4x练一练练一练: : 1296:22 xxxx化化简简 ( -1 x3) 其其中中化简：化简：(1) （2） (3) (a0,b0)(4) (a1 ) (5) (1x3 )1024a22ba221aa2269) 1(xxx2(0)( aa a 2aa )0( aa)0( aa22(）与注意区别aa1. 求式子求式子 有意义时有意义时X的取值范围的取值范围。x51x105 | 011得5 |5551xxx
13、xxxx 解:由题意得,二二 次次 根根 式式三个概念三个性质两个公式四种运算最简二次根式最简二次根式同类二次根式同类二次根式有理化因式有理化因式0, 0babaabbaba)0, 0(ba1、2、加加 、减、乘、除、减、乘、除知识结构知识结构-不要求，只不要求，只需了解需了解1、02aaa 3、0aa2a)0(0aa2、题型：题型：最简二次根式：、被开方数不含分数；、被开方数不含分数；、被开方数不含开的尽方的因数或因式；、被开方数不含开的尽方的因数或因式；注意：分母中不含二次根式分母中不含二次根式。322751yx323练习1：把下列各式化为最简二次根把下列各式化为最简二次根式式552477
14、2xyyx63化简二次根式的方法化简二次根式的方法：（1 1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因式分解式分解, ,然后利用积的算术平方根的性质然后利用积的算术平方根的性质, ,将式子化简。将式子化简。（2 2）如果被开方数是分数或分式时）如果被开方数是分数或分式时, ,先利用商的算术平先利用商的算术平方根的性质方根的性质, ,将其变为二次根式相除的形式将其变为二次根式相除的形式, ,然后利用分然后利用分母有理化母有理化, ,将式子化简。将式子化简。练习：把下列各式化成最简二次根式练习：把下列各式化成最简二次根式22164)2(5.1)1(aa2623aa52202题型：题型：同类二次根式同类二次根式：化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式。27832189m332322m32418832、是同类二次根式下列哪些是同类二次根式同类二次根式题型：利用) 0()(2aaa进行分解因式例：分解因式：2)1(2x2232)2(yx22)2(22xxxyxyxyx3232)3()2(221532x2242ba
