1、第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组生物医学工程学院生物医学工程学院第三章第三章矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组生物医学工程学院生物医学工程学院基本要求基本要求 熟练掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行熟练掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形；知道矩阵等价的概念最简形；知道矩阵等价的概念 了解初等矩阵与初等变换的联系，掌握用初等变了解初等矩
2、阵与初等变换的联系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆阵的方法换求可逆矩阵的逆阵的方法 理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法，知道矩阵的标准形与秩的关系秩的方法，知道矩阵的标准形与秩的关系 理解线性方程组无解、有惟一解或有无限多个解理解线性方程组无解、有惟一解或有无限多个解的充要条件的充要条件 熟练掌握用矩阵的初等行变换求解线性方程组的熟练掌握用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法方法第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组生物医学工程学院生物医学工程学
3、院 本章先讨论矩阵的本章先讨论矩阵的初等变换初等变换，建立矩，建立矩阵的阵的秩秩的概念的概念, ,并提出求秩的有效方并提出求秩的有效方法再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性法再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换用初等变换解线性方程组解线性方程组的方法内容丰的方法内容丰富，难度较大富，难度较大. . 第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组生物医学工程学院生物医学工程学院3.1 矩阵的初等变换 矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重
4、要的运算 它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用.第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组生物医学工程学院生物医学工程学院979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxxv方程组的同解变换与增广矩阵的关系方程组的同解变换与增广矩阵的关系 979634226422424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换. 同解变换有 交换两个
5、方程的位置.显然 交换B的第1行与第2行即得B1. 97963422644121121112B979634226421112412111B增广矩阵的比较 例如第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组生物医学工程学院生物医学工程学院979632113221112412112B2 2 显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2. 979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxxv方程组的同解变换与增广矩阵的关系方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中
6、 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换. 同解变换有 把某个方程乘以一个非零数. 例如97963422644121121112B9796323242224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx增广矩阵的比较 第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组生物医学工程学院生物医学工程学院979634226441211613303B979634226442633432143214321432xxxxxxxxxxxxxxx2 2 显然 把B的第2行乘以(2)加到第
7、1行即得B3. 979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxxv方程组的同解变换与增广矩阵的关系方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换. 同解变换有 某个方程的非零倍加到另一个方程上. 例如97963422644121121112B增广矩阵的比较 第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组生物医学工程学院生物医学工程学院 线性方程组与其增广矩阵相互对应 对方程组的变换完全可以转
8、换为对方程组的增广矩阵的变换. 把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上 就得到矩阵的三种初等变换.v方程组的同解变换与增广矩阵的关系 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上. 第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组生物医学工程学院生物医学工程学院 下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换 (i)对调两行(列) (ii)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素 (3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去. v矩阵的初等变换 这三种变换都是可逆的 且其逆变
9、换是同一类型的初等变换. rirj(cicj)对调i j两行(列) rik(cik)表示第i行(列)乘非零数k ri+krj(ci+kcj)表示第j行(列)的k倍加到第i行(列)上. v初等变换的符号表示 第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组生物医学工程学院生物医学工程学院v矩阵的等价关系 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B 就称矩阵A与B等价 记作 A B. 如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B 就称矩阵A与B行等价 记作 A B.r 如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B 就称矩阵A与B列等
10、价 记作 A B.cv等价关系的性质 (i)反身性 AA (ii)对称性 若AB 则BA (iii)传递性 若AB BC 则AC . 第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组生物医学工程学院生物医学工程学院 r3r41 1 2 1 40 1 1 1 00 0 0 2 61 1 2 1 40 2 2 2 00 5 5 3 60 3 3 4 31 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9r42r3v矩阵初等变换举例 97963422644121121112r1r2r2r3r32r
11、1r43r11 1 2 1 40 1 1 1 00 0 0 2 60 0 0 1 3r22r35r2r43r2r32r1r2r2r3行阶梯形矩阵 行最简形矩阵 1 0 1 0 40 1 1 0 30 0 0 1 30 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 1 3第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组生物医学工程学院生物医学工程学院行阶梯矩阵特点：行阶梯矩阵特点：（1）可划出一条）可划出一条阶梯线，线的下阶梯线，线的下方全为零；方全为零；5 00000310003011040101B （2）每个台
12、阶）每个台阶 只有一行，台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元元第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组生物医学工程学院生物医学工程学院行阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵：各非零行首非零元素分布在不同列当有零行时，零行在矩阵的最下端 005023 3101152 300620941 1200435076105213第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方
13、程组第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组生物医学工程学院生物医学工程学院行最简阶梯形矩阵：行最简阶梯形矩阵：各非零行首非零元素皆为1各非零行首非零元素所在列的其他元素全为零 001001 100051 100010941 0000410070105001第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组生物医学工程学院生物医学工程学院例：把矩阵化成行阶梯形和行最简行阶梯矩阵 343122321 343122321:解解 620520321122rr 133rr 第三章第三章 矩阵的初
14、等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组生物医学工程学院生物医学工程学院 62052032132rr )21(3 r 520310321232rr )1(3 r 100310321323rr )1(3 r313rr 212rr 100010321 100010001行最简形矩阵 行阶梯形矩阵 第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组生物医学工程学院生物医学工程学院学生练习：把矩阵化成行阶梯形和行最简行阶梯矩阵 231221312 34
15、1122121221第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组生物医学工程学院生物医学工程学院 对行最简形矩阵再施以初等列变换 可变成一种形状更简单的矩阵 称为标准形. 其特点是 左上角是一个单位矩阵 其余元素全为0. v矩阵的标准形00000310003011040101 c00000010000001000001比如上述行最简形矩阵经初等列变换得 0000031000011104121100000310003011040101. rr9796342264412112111200000001000001
16、000001. c第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组生物医学工程学院生物医学工程学院.,A nm和和行行最最简简形形变变换换把把他他变变为为行行阶阶梯梯形形总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行对对于于任任何何矩矩阵阵 标标准准形形总总可可经经过过初初等等变变换换化化为为矩矩阵阵 Anm nmrOOOEF .,的行数的行数行阶梯形矩阵中非零行行阶梯形矩阵中非零行就是就是三个数唯一确定，其中三个数唯一确定，其中此标准形由此标准形由rrnm第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性
17、方程组第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组生物医学工程学院生物医学工程学院 因为有上述等价关系 所以有同解线性方程组 v行最简形矩阵与线性方程组的解 v矩阵初等变换举例 979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx与00 3 3 4 43231xxxxx 其解为33443231xxxxx 其 x3为自由未知数. 0000031000011104121100000310003011040101. rr97963422644121121112第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组生物医学工程学院生物医学工程学院 所有行等价的矩阵组成的一个集合 集合中矩阵所对应的线性方程组都是同解的 其中行最简形矩阵所对应的线性方程组是最简单的 而且是最容易求解的. v行最简形矩阵与线性方程组的解
